Два потяги стоять за 100 км один від одного на сусідніх коліях і одночасно рушають назустріч, кожен зі швидкістю 50 км/год. Тієї ж миті з носа першого потяга злітає муха і летить до другого зі швидкістю 75 км/год. Долетівши, миттєво розвертається і летить назад до першого, потім знову до другого, і так туди-сюди, доки потяги не зустрінуться. Скільки кілометрів вона пролетить загалом?
Здається, що треба складати нескінченно багато відрізків: 60 км, потім 12, потім 2,4… Але можна не стежити за мухою. Потяги зближуються на 100 км/год і зустрічаються рівно через годину. Увесь цей час муха летить без зупинок зі швидкістю 75 км/год, тож пролітає 75 км. Нескінченний ряд дає те саме число: 60 + 12 + 2,4 + … = 75.
Стара задача, яку люблять давати на співбесідах. Вона перевіряє не вміння рахувати, а вміння подивитися на задачу з іншого боку. За нею стоїть геометрична прогресія, одна з найкорисніших сум у математиці.
Між потягами 100 км. Вони стоять на сусідніх коліях, носами один до одного, і рушають одночасно, кожен зі сталою швидкістю 50 км/год. Розганятися й гальмувати не треба: швидкість стала від першої до останньої секунди.
Сидить на носі першого потяга і злітає разом зі стартом. Летить до другого потяга зі сталою швидкістю 75 км/год, торкається його носа і миттєво розвертається назад. І так туди-сюди, щоразу між носами двох потягів.
Політ закінчується, коли носи потягів порівнялися: тоді летіти мусі вже нікуди. Потяги на сусідніх коліях, тож ніхто не постраждав.
Скільки кілометрів пролетить муха загалом, від старту до зустрічі потягів?
«Відрізків нескінченно багато, тож треба сумувати нескінченний ряд, а може, і шлях нескінченний»
Відрізків справді нескінченно багато, але кожен уп'ятеро коротший за попередній, і сума скінченна. А рахувати ряд не обов'язково: потяги зустрінуться через годину, і всю цю годину муха летить зі швидкістю 75 км/год. 75 км.
100 км між потягами, по 50 км/год у кожного, муха 75 км/год. Оберіть число або скажіть, що шлях нескінченний.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Не стежте за мухою. Спитайте себе інакше: скільки часу вона взагалі в повітрі?
Муха летить, доки потяги не зустрінуться. Потяги зближуються на 50 + 50 км/год. Через скільки вони зустрінуться?
Увесь цей час муха летить без зупинок з однаковою швидкістю. Помножте її швидкість на час польоту.
Щораунду нові потяги й нова муха, швидкості потягів можуть бути різні. Впишіть шлях мухи, поки не скінчився час. Можна просити підказку «ще один відрізок»: сторінка порахує наступний відрізок польоту, але забере 3 секунди. Очки — секунди, що лишилися, якщо відповідь точна (до 0,5 км).
Вона підказує розв'язок, тож спершу вгадайте самі.
Перший спосіб — годинник: шлях = швидкість мухи × час до зустрічі. Другий — точна сума відрізків, один за одним, поки між потягами не лишиться менше міліметра. Третій — симуляція: потяги й муха рухаються маленькими кроками по 0,1 секунди, і муха, долетівши до потяга, відбивається від нього назад. Стовпці на графіку — відрізки, лінія — сума відрізків, точки — шлях мухи в симуляції в момент кожного розвороту. Розворотів у симуляції скінченно багато: коли відрізок коротший за крок, симуляція вже не бачить окремих розворотів, але шлях мухи від цього не змінюється.
Є два шляхи до відповіді: стежити за мухою або стежити за годинником. Обидва чесні, і обидва дають 75.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Муха ні на мить не зупиняється і летить з однаковою швидкістю, хоч куди повернута. Тож її шлях — це просто швидкість, помножена на час польоту. А час польоту — це час, за який потяги зустрінуться. Ця картка не пояснює, як нескінченно багато відрізків можуть скластися в скінченне число. Про це наступна.
Перший відрізок: муха і другий потяг летять одне одному назустріч на 75 + 50 = 125 км/год, тож 100 км вони здолають за 0,8 години, і муха пролетить 60 км. За цей час потяги зблизилися на 80 км, між ними лишилося 20 км, уп'ятеро менше, ніж було. Далі все повторюється в масштабі 1 : 5: 12 км, 2,4 км, 0,48 км… Смужка вгорі — це 75 км, поділені на відрізки. Після кожного відрізка до 75 км лишається уп'ятеро менше: 15, 3, 0,6… Тому сума підходить до 75 і ніколи її не перескакує.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Усі числа точні: кожне наступне вп'ятеро менше за попереднє. Після сьомого відрізка мусі лишається пролетіти менше метра, а до зустрічі потягів — менше 0,05 секунди. Відрізків нескінченно багато, але їхня сума — 75 км, і час на них — рівно година.
60 + 12 + 2,4 + … = 75 · (0,8 + 0,16 + 0,032 + …)
Кожен відрізок — це 75 км/год, помножені на його тривалість: 0,8 год, 0,16 год, 0,032 год… Ці шматочки часу без проміжків укладаються в годину до зустрічі. Тож сума відрізків — це 75 × (сума часу) = 75 × 1. Ряд і годинник рахують одне й те саме, просто ряд нарізає годину на нескінченно багато шматочків.
Відстань D, потяги зі швидкостями u і v, муха зі швидкістю f, причому f більша за u і v. Годинник дає відповідь одразу.
Ряд: після відрізка до другого потяга зазор множиться на r₁, після відрізка до першого — на r₂. Відрізки чергуються, і за кожну пару зазор множиться на q = r₁r₂.
Для однакових потягів (u = v) частка одна, і ряд простий. У нашій задачі D = 100, v = 50, f = 75.
Якщо підставити r₁ і r₂ і спростити, дріб у ряді перетворюється рівно на fD/(u + v). Сторінка звіряла обидві формули на тисячі випадкових умов у раунді 3. Ряд правильний, просто довший.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Sn = a + ar + … + arn−1 = a · (1 − rn) / (1 − r)
Помножте суму на r: вийде та сама сума, зсунута на один доданок. Відніміть одну від іншої, і майже все скоротиться: S − rS = a − arⁿ. Якщо |r| < 1, то rⁿ з кожним кроком меншає і прямує до нуля, а сума всіх доданків дорівнює a / (1 − r). Для мухи a = 60, r = 1/5, і 60 / (4/5) = 75. Якщо |r| ≥ 1, доданки не меншають, і сума нескінченна. Тому важить не кількість доданків, а те, як швидко вони меншають.
Цю задачу найчастіше згадують разом з Джоном фон Нейманом. Пол Галмош переказав історію 1973 року в статті «The Legend of John von Neumann» (American Mathematical Monthly) серед інших легенд про нього. У його версії замість потягів два велосипеди за 20 миль, кожен їде 10 миль на годину, муха летить 15. Фон Нейман миттєво відповів «15 миль». Той, хто питав, розчаровано сказав, що він, мабуть, знав трюк. Фон Нейман здивувався: який трюк? Він просто склав нескінченний ряд.
Це анекдот, а не задокументована подія: Галмош подає його як одну з історій, що ходили про фон Неймана, і в інших переказах змінюються числа й навіть ті, хто питав. Але суть та сама: ряд дає правильну відповідь, просто вимагає більше роботи. Наша задача — версія Галмоша з числами, помноженими на 5: частка така сама, 1/5.
У мухи два уроки. Математичний: нескінченна сума може бути скінченною, і геометрична прогресія рахується в один рядок. Логічний: іноді краще не стежити за процесом, а знайти те, що в ньому не змінюється. Практичний: той самий ряд визначає ціну вічної ренти.
Математика
М'ячик падає з висоти h і щоразу відскакує на частку r попередньої висоти. Швидкість у нього весь час різна, тож «швидкість × час» не працює: стрибки треба складати. Шлях: h + 2hr + 2hr² + … = h + 2hr / (1 − r). Для 10 м і 60% це 10 + 30 = 40 м. Час теж ряд, але з часткою √r, бо час падіння пропорційний кореню з висоти: для 10 м і 60% це приблизно 11,2 с (g = 9,81 м/с²).
Отже, ряд — не «довгий шлях для тих, хто не бачить трюку». Коли інваріанта немає, а кожен крок у стале число разів менший, геометрична прогресія — найкоротша дорога. Модель ідеальна: справжній м'ячик з часом перестає відскакувати не тому, що ряд закінчився, а через тертя й деформацію.
Логіка
Дві склянки: 100 мл вина і 100 мл води. Ложку вина переливають у воду, перемішують і ложку суміші переливають назад. Чого більше: вина у воді чи води у вині?
Можна рахувати частки після кожного переливання, а можна помітити одне: наприкінці в кожній склянці знову 100 мл. Скільки вина пішло зі склянки з вином, стільки ж води прийшло на його місце. Тож вина у воді рівно стільки, скільки води у вині, хоч яка ложка і хоч як погано перемішали.
З мухою те саме: її траєкторія заплутана, але одне не змінюється — вона летить увесь час, поки потяги не зустрілися. Коли процес виглядає нескінченним, шукайте величину, яка від нього не залежить: час, об'єм, парність, суму. Цей прийом стоїть і за задачею про 100 в'язнів і капелюхи, де інваріант — парність.
Практика
Облігація платить 1000 грн щороку. Скільки вона коштує сьогодні, якщо гроші можна покласти під 5% річних? Виплата через рік варта сьогодні 1000 / 1,05, через два роки 1000 / 1,05², і так далі: геометрична прогресія з часткою 1/1,05. Сума за N років: 1000 · (1 − 1,05⁻ᴺ) / 0,05. Якщо виплати тривають вічно, сума дорівнює 1000 / 0,05 = 20 000 грн. Виплати за 50 років коштують 18 256 грн, тобто 91% від «назавжди»: далекі роки майже нічого не додають.
Обережно: нескінченна сума скінченна, лише коли доданки меншають досить швидко. Якщо ставка нуль, кожна виплата варта 1000, і «назавжди» коштує нескінченно багато. А сума 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … теж має доданки, що меншають, але росте без меж: меншати мало, треба меншати геометрично чи принаймні досить швидко.
Історію про те, як фон Нейман миттєво «склав ряд», найчастіше цитують за статтею Пола Галмоша «The Legend of John von Neumann» в American Mathematical Monthly 1973 року. Галмош подає її як одну з легенд, а не як подію, яку бачив сам.
Після трьох відрізків муха пролетіла 74,4 км, тобто 99,2% шляху. Після сьомого їй лишається пролетіти 96 см, після дванадцятого — третину міліметра. Справжня муха ширша, тож її політ закінчився б задовго до «нескінченності».
Архімед у трактаті «Квадратура параболи» (III століття до н. е.) знайшов площу параболічного сегмента, додаючи трикутники, кожен шар яких учетверо менший за попередній: 1 + 1/4 + 1/16 + … = 4/3. Це одна з найдавніших відомих сум геометричної прогресії.
Зенон Елейський (V століття до н. е.) стверджував, що Ахілл ніколи не наздожене черепаху: щоразу, як він добігає туди, де вона була, вона трохи просувається. Апорію переказує Арістотель у «Фізиці». Структура та сама, що в мухи: нескінченно багато кроків укладаються в скінченний час.
Британія випускала «консолі» — облігації без строку погашення, що платять відсотки вічно, — з 1751 року. Ними торгували понад 250 років, доки уряд не викупив останні 2015 року. Їхня ціна — та сама сума C / r, що й у раунді 5.
1648 року нідерландське управління дамб Lekdijk Bovendams випустило вічну облігацію на ремонт дамби на річці Лек. 2003 року її купила Єльська бібліотека Бейнеке, а 2015 року куратор з'їздив у Нідерланди й отримав відсотки за 12 років.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.