Математичні парадокси
Математичні парадокси · теорія ймовірностей

Задачі, у яких інтуїція помиляється

Відповіді на ці задачі здаються хибними навіть тоді, коли їх доведено. Тому задачі тут не лише пояснюють: у кожну можна зіграти, перевірити її тисячами симуляцій і розібрати кількома способами, від таблиці до формули.

Обрати задачу Почати з Монті Голла
  1. 1СпробуйтеЗіграйте й зафіксуйте, що підказує інтуїція.
  2. 2ПеревіртеЗапустіть тисячі експериментів у браузері.
  3. 3ЗрозумійтеОберіть пояснення, яке вам ближче.

Задачі

Кожна задача має окрему сторінку: умова, гра, симуляція, кілька пояснень і ускладнені варіанти.

Теорія ймовірностей · 3 двері

Парадокс Монті Голла

Ви на телешоу й обрали одні з трьох дверей. Ведучий, який знає, де авто, відчиняє інші двері з козою й пропонує змінити вибір. Змінювати?

Інтуїція50 / 50
Насправді2/3 за зміну

Найвідоміша задача про умовну ймовірність. Її правильну відповідь у 1990 році заперечували тисячі читачів, серед них математики з науковими ступенями.

Розібратися з парадоксом Монті Голла →
Спробуйте тут

Експоненційне зростання · 30 днів

Задача про ряску в озері

Ряска щодня подвоюється, і одна рослина вкриває озеро за 30 днів. За скільки днів упораються дві рослини?

Інтуїція15 днів
Насправді29 днів

Класична задача про експоненційне зростання і подвоєння, і пояснення, чому інтуїція тут помиляється.

Розібратися із задачею про ряску →
Спробуйте тут

Комбінаторика · 365 днів

Парадокс днів народження

Скільки людей має зібратися в кімнаті, щоб двоє з них, імовірно, народилися в один день?

Інтуїція≈ 183 людини
Насправді23 людини

Задача про збіги, у якій інтуїція помиляється в рази. На тій самій ідеї побудована «атака днів народження» на криптографічні хеші.

Розібратися з парадоксом днів народження →
Спробуйте тут

Теорема Баєса · медичні тести

Парадокс хибнопозитивного тесту

Хворобу має 1% людей. Тест точний на 99%, і ваш результат позитивний. Який шанс, що ви справді хворі?

Інтуїція99%
Насправді50%

Задача про помилку базової частоти: що насправді означає позитивний результат точного тесту, коли хвороба рідкісна.

Розібратися з хибнопозитивним тестом →
Спробуйте тут

Оптимальна зупинка · 100 кандидатів

Задача про секретаря: коли зупинитися

100 кандидатів приходять по одному, і про кожного треба вирішити одразу. Який шанс найняти найкращого?

Інтуїція≈ 1%
Насправді37%

Класична задача оптимальної зупинки: скільки кандидатів варто пропустити, перш ніж обирати, і на який шанс тоді можна розраховувати.

Розібратися із задачею про секретаря →
Спробуйте тут

Статистика · таблиця 2×2

Парадокс Сімпсона

Метод A лікує і малі, і великі камені в нирках краще за метод B. Чи може B бути кращим для всіх пацієнтів разом?

ІнтуїціяНі, A кращий
НасправдіB: 83% проти 78%

Класичний парадокс статистики на реальних даних про камені в нирках: як читати загальні відсотки і навіщо для рішень потрібна причинна схема.

Розібратися з парадоксом Сімпсона →
Спробуйте тут

Умовна ймовірність · 2 дитини

Парадокс двох дітей

У сім'ї двоє дітей, і хоча б один із них хлопчик. Який шанс, що обидва хлопчики? А якщо хоча б один із них хлопчик, народжений у вівторок?

Інтуїція1/2
Насправді1/3 і 13/27

Класична задача Мартіна Гарднера про умовну ймовірність: що насправді означає «хоча б один хлопчик» і чи важить день тижня народження.

Розібратися з парадоксом двох дітей →
Спробуйте тут

Геометрична ймовірність · π

Голка Бюффона

Сірник завдовжки як ширина дошки падає на дерев'яну підлогу навмання. Як часто він перетинає шов між дошками?

Інтуїція≈ 50%
Насправді2/π ≈ 63,7%

Випадковий експеримент без жодного кола, з якого виходить число π. Один із найперших прикладів методу Монте-Карло.

Розібратися з голкою Бюффона →
Спробуйте тут

Теорія графів · середні

Парадокс дружби

У кого більше друзів: у вас чи, в середньому, у ваших друзів?

Інтуїціяпорівну
Насправдіу друзів більше

Парадокс Скотта Фелда з теорії графів: як чесно порівняти кількість своїх друзів із кількістю друзів у ваших друзів, формула E[d²]/E[d] і той самий ефект у класах, автобусах і епідеміях.

Розібратися з парадоксом дружби →
Спробуйте тут

Геометрія · 40 075 км

Мотузка навколо Землі

Мотузку навколо екватора подовжили на 1 метр і рівномірно підняли. Яка щілина між нею і землею?

Інтуїціямікроскопічна
Насправді15,9 см

Задача про довжину кола: наскільки додатковий метр мотузки піднімає її над кулею, від апельсина до Сонця.

Розібратися із задачею про мотузку →
Спробуйте тут

Перестановки · 100 коробок

100 в'язнів і 100 коробок

Кожен із 100 в'язнів може відкрити 50 коробок зі 100, щоб знайти свій номер. Усіх звільнять, лише якщо свій номер знайде кожен. Який шанс у найкращої стратегії?

Інтуїція≈ 0%
Насправді31,2%

Задача про випадкові перестановки й цикли: чи може стратегія врятувати в'язнів, які не можуть радитися під час пошуку.

Розібратися із задачею про 100 в'язнів →
Спробуйте тут

Психологія мислення · 3 питання

М'яч і бита: тест когнітивної рефлексії

Бита й м'яч разом коштують 1,10 $. Бита на 1 долар дорожча за м'яч. Скільки коштує м'яч?

Інтуїція10 центів
Насправді5 центів

Три питання тесту Шейна Фредеріка, на які хочеться відповісти миттєво. Про Систему 1 і Систему 2 та звичку перевіряти першу думку.

Розібратися з тестом когнітивної рефлексії →
Спробуйте тут

Ймовірність · 50 наліпок

Скільки наліпок потрібно, щоб зібрати альбом

В альбомі 50 місць, а наліпки в пакетиках випадкові. Скільки наліпок у середньому треба купити, щоб заповнити весь альбом?

Інтуїція≈ 70 наліпок
Насправді≈ 225 наліпок

Задача про збирача купонів: скільки пакетиків іде на повний альбом і як допомагає обмін дублікатами.

Розібратися із задачею про збирача купонів →
Спробуйте тут

Статистика · вміння + везіння

Регресія до середнього

Після похвали гравці грають гірше, а після критики краще. Чи означає це, що критика працює?

ІнтуїціяТак, критика діє
НасправдіТак було б і без слів

Задача про вміння, везіння і те, що насправді змінює результат після дуже вдалої чи дуже поганої гри. І навіщо медичним дослідженням контрольна група.

Розібратися з регресією до середнього →
Спробуйте тут

Імовірність · логіка міркувань

Парадокс двох конвертів

В одному конверті вдвічі більше грошей, ніж в іншому. Ви взяли один. Чи варто його обміняти?

Інтуїціяміняти: +25%
Насправдібайдуже

Розрахунок «в іншому 2A або A/2, отже, 1,25A» здається бездоганним. Розбираємо, чи він правильний і що змінюється, коли ви бачите суму в конверті.

Розібратися з парадоксом двох конвертів →
Спробуйте тут

Ймовірність · 100 кидків

Серії в підкиданні монети

Якою буває найдовша серія однакових сторін, якщо підкинути чесну монету 100 разів?

Інтуїція3–4 кидки
Насправді≈ 7 кидків

Як насправді виглядає випадковість: серії однакових сторін, помилка гравця і «гаряча рука» в баскетболі.

Розібратися із серіями в підкиданні монети →
Спробуйте тут

Геометрична ймовірність · хорди

Парадокс Бертрана

У колі навмання проводять хорду. Який шанс, що вона довша за сторону вписаного рівностороннього трикутника?

Інтуїціяодна відповідь
Насправді1/3 · 1/2 · 1/4

Задача Жозефа Бертрана 1889 року про геометричну ймовірність і про те, що насправді означає слово «навмання».

Розібратися з парадоксом Бертрана →
Спробуйте тут

Ймовірність · гра з монетою

Гра Пенні

Ви обрали трійку ООО, суперник після вас обрав РОО. Монету підкидають, доки одна з трійок не випаде поспіль. Який шанс суперника?

Інтуїція50 на 50
Насправді7/8

Гра з монетою, у якій виграє той, хто обирає другим: на будь-яку трійку є сильніша, як у грі «камінь, ножиці, папір».

Розібратися з грою Пенні →
Спробуйте тут

Ймовірність · очікування

Парадокс автобуса

Автобус ходить у середньому раз на 10 хвилин, але без розкладу. Ви приходите на зупинку в довільний момент. Скільки в середньому чекатимете?

Інтуїція5 хвилин
Насправді10 хвилин

Парадокс інспекції: чому ви частіше потрапляєте в довгі інтервали, навіщо транспорту розклад і чому студенти бачать заняття більшими, ніж декан.

Розібратися з парадоксом автобуса →
Спробуйте тут

Статистика · 4 номери

Задача про німецькі танки

Завод нумерує танки 1, 2, 3, … Вам трапилися чотири з номерами 4, 10, 15 і 60. Скільки танків випустив завод?

Інтуїція60
Насправді≈ 74 танки

Як за кількома серійними номерами оцінити все виробництво і чому такий підрахунок виявився точнішим за розвідку союзників.

Розібратися із задачею про танки →
Спробуйте тут

Ймовірність · монета і банк

Санкт-Петербурзький парадокс

Монету підкидають до першої решки. Банк починається з $2 і подвоюється з кожним орлом, наприкінці ви його забираєте. Скільки в середньому дає така гра?

Інтуїціякілька доларів
Насправдінескінченність

Гра з нескінченним середнім виграшем, за яку ніхто не заплатить і $100. Як її пояснювали Бернуллі, Крамер і Феллер.

Розібратися із Санкт-Петербурзьким парадоксом →
Спробуйте тут

Статистика · перші цифри

Закон Бенфорда

Візьміть степені двійки 2, 4, 8, 16, … аж до 21000. Яка частка з них починається з цифри 1?

Інтуїція1/9 ≈ 11%
Насправді30,1%

Чому одиниця стоїть першою втричі частіше, ніж здається: логарифмічна шкала, складні відсотки і добутки випадкових чисел.

Розібратися із законом Бенфорда →
Спробуйте тут

Логіка · 1000 пляшок

Отруєне вино і щури

З 1000 пляшок вина одна отруєна. Отрута вбиває щура приблизно через 20 годин, а бенкет за добу, тож перевірити можна лише раз. Кожен щур може скуштувати скільки завгодно пляшок. Скільки щурів потрібно, щоб напевно знайти отруєну?

Інтуїція999
Насправді10

Задача зі співбесід, за якою стоїть групове тестування: від аналізів крові до пошуку помилок у коді.

Розібратися з отруєним вином →
Спробуйте тут

Статистика · 30 млн виборців

Скільки людей опитати перед виборами

У країні 30 мільйонів виборців. Скільки випадкових людей треба опитати, щоб передбачити результат з точністю ±3 пункти в 95 опитуваннях зі 100?

Інтуїціясотні тисяч
Насправді1 068

Чому розмір вибірки не залежить від розміру країни і чому мільйони анкет від «зручних» людей помиляються сильніше за тисячу випадкових.

Розібратися з опитуваннями →
Спробуйте тут

Логіка · 100 поверхів

Два яйця і 100 поверхів

Будинок на 100 поверхів і два однакові яйця. З якогось поверху і вище яйце б'ється, нижче лишається цілим, а ціле можна кидати знову. Скільки кидків потрібно в найгіршому випадку, щоб напевно знайти найвищий безпечний поверх?

Інтуїція50
Насправді14

Задача зі співбесід про пошук, у якому кожна помилка має ціну: від навантажувальних тестів до краш-тестів.

Розібратися з двома яйцями →
Спробуйте тут

Логіка · 12 монет

12 монет і терези

Серед 12 однакових монет одна фальшива: вона легша або важча, невідомо. Є шалькові терези без гир. Скільки зважувань потрібно, щоб напевно знайти фальшиву монету і сказати, легша вона чи важча?

Інтуїція4–6
Насправді3

Задача зі співбесід, за якою стоїть трійкова система і правило, що будує дерева рішень у машинному навчанні.

Розібратися з монетами →
Спробуйте тут

Логіка · 100 капелюхів

Капелюхи в ряд

100 людей стоять у ряд, на кожному чорний або білий капелюх. Кожен бачить капелюхи попереду, але не свій. Починаючи із заднього, кожен уголос називає один колір. Стратегію можна обговорити заздалегідь. Скільки людей можуть напевно назвати колір свого капелюха?

Інтуїція50
Насправді99

Задача зі співбесід, за якою стоять біт парності, RAID-масиви і контрольна цифра банківської картки.

Розібратися з капелюхами →
Спробуйте тут

Логіка · 5 піратів

Пірати і 100 золотих

П'ятеро піратів різного рангу ділять 100 монет. Найстарший пропонує поділ, голосують усі. Якщо «за» хоча б половина, так і ділять, а якщо ні, його викидають за борт, і пропонує наступний. Пірати бездоганно логічні й жадібні. Скільки монет залишить собі капітан?

Інтуїція20
Насправді98

Задача зі співбесід про обернену індукцію: міркування з кінця, на якому стоїть теорія ігор.

Розібратися з піратами →
Спробуйте тут

Логіка · 100 + 100 острів'ян

Блакитноокі острів'яни

На острові 100 людей із блакитними очима і 100 з карими. Дзеркал немає, про колір очей не говорять, а хто дізнався свій колір, мусить опівночі поїхати. Усі бездоганні логіки. Гість каже при всіх: «Я бачу когось із блакитними очима». Кожен і так це знав. Що станеться?

Інтуїціянічого
Насправдініч 100

Задача зі співбесід про спільне знання: від брудних дітей до двох генералів і TCP.

Розібратися з острів'янами →
Спробуйте тут

Логіка · 25 коней

25 коней і 5 доріжок

Є 25 коней і доріжка лише на 5. Секундоміра немає: забіг показує тільки порядок фінішу. Кожен кінь завжди біжить однаково, і всі швидкості різні. Скільки забігів потрібно, щоб напевно знайти трьох найшвидших і їхній порядок?

Інтуїція6
Насправді7

Задача зі співбесід про те, що саме доводить кожен забіг. За нею стоять тенісні турніри Льюїса Керролла й алгоритми вибору.

Розібратися з кіньми →
Спробуйте тут

Логіка · 4 людини, 1 ліхтарик

Міст і ліхтарик

Уночі четверо мають перейти вузький міст, що тримає щонайбільше двох. Ліхтарик один, і без нього на міст не ступиш. Вони проходять міст за 1, 2, 5 і 10 хвилин, пара йде в темпі повільнішого. За скільки хвилин усі можуть опинитися на тому боці?

Інтуїція19
Насправді17

Задача зі співбесід про те, що найкращий план не складається з найзручніших кроків.

Перейти міст →
Спробуйте тут

Теорія ігор · 4000 водіїв

Парадокс Браеса

4000 водіїв їдуть двома маршрутами, по 2000 на кожному, і дорога займає 65 хвилин. Місто відкриває безкоштовну перемичку між маршрутами, яку проїжджають миттєво. Кожен водій обирає найшвидший шлях для себе. Скільки тепер займе поїздка?

Інтуїція, хв< 65
Насправді, хв80

Задача з теорії ігор про те, як нова дорога може сповільнити всіх і чому міста інколи закривають вулиці.

Розібратися з парадоксом Браеса →
Спробуйте тут

Статистика · 1943

Помилка тих, хто вижив: літаки Вальда

Бомбардувальники повертаються з дірками у фюзеляжі та крилах, а на двигунах дірок майже немає. Броні вистачає на дві частини літака. Куди її поставити?

Інтуїціяфюзеляж і крила
Насправдідвигуни і кабіна

Чому дірки на літаках, що повернулися, показують, куди влучати безпечно, і як та сама помилка прикрашає інвестиційні фонди й поради мільярдерів.

Розібратися з помилкою тих, хто вижив →
Спробуйте тут

Умовна ймовірність · суперечка філософів

Задача про Сплячу красуню

Якщо монета впала орлом, Красуню будять один раз, якщо решкою, двічі, і щоразу стирають пам'ять. Вона прокинулася. Який шанс, що випав орел?

Інтуїція1/2, монета ж чесна
Насправді1/3 на пробудження

Половина експериментів закінчується орлом, але пробуджень після орла лише третина. Розбираємо, яке питання ставить кожен із двох таборів філософів і чиї ставки окупаються.

Розібратися із задачею про Сплячу красуню →
Спробуйте тут

Ймовірність · рулетка і випадкове блукання

Розорення гравця

У вас $100. Ви ставите по $1 на червоне в рулетці, доки не матимете $200 або доки не скінчаться гроші. Червоне випадає в 18 спінах із 37. Який шанс подвоїти гроші?

Інтуїціямайже 50%
Насправді0,45%, 1 з 224

Кожна ставка майже чесна, але їх тисячі, і перевага казино з'їдає майже все. Чому одна ставка $100 дає 48,6% і чому сміливість тут вигідніша за обережність.

Розібратися з розоренням гравця →
Спробуйте тут

Статистика · відбір

Парадокс Берксона

У місті врода і доброта не пов'язані. Ви ходите на побачення лише з тими, у кого врода і доброта разом дотягують до планки. Чи пов'язані ці риси серед ваших побачень?

ІнтуїціяНі, зв'язку немає
НасправдіВродливіші менш добрі

Задача про те, як сам відбір створює зв'язок між незалежними рисами. І чому лікарняні дані, вступ до університету чи найм можуть показувати те, чого в житті немає.

Розібратися з парадоксом Берксона →
Спробуйте тут

Статистика · A/B-тести

A/A-тест: дві однакові сторінки

Та сама сторінка показується як «A» і як «B», конверсія 5%, по 1 000 відвідувачів. Як часто одна з них «переможе» іншу на 20% або більше?

Інтуїціярідко, кілька %
Насправді35,8%

Чому 1 000 відвідувачів означає лише 50 покупок, як шум малює «переможців» і скільки трафіку насправді треба, щоб помітити +10%.

Розібратися з A/B-тестами →
Спробуйте тут

Статистика · A/B-тести

Підглядання в A/B-тест

Дві однакові сторінки, тест на 30 днів. Маркетолог щовечора дивиться на дашборд і зупиняє тест на першому «95% впевненості». Як часто одну з однакових сторінок оголосять переможцем?

Інтуїція5%
Насправді28%

Чому кожен погляд на тест дає шумові ще один шанс і що робити, якщо чекати повну вибірку ніколи.

Розібратися з підгляданням →
Спробуйте тут

Статистика · A/B-тести

Ріжте результат, доки щось не виграє

Новий лист B нічим не кращий за старий A. Аналітик перевіряє результат окремо в 20 країнах із порогом p < 0,05. Який шанс, що хоча б одна країна покаже «значущу» різницю?

Інтуїція5%
Насправді64%

Чому кожен новий розріз, метрика й варіант купує шуму ще один лотерейний квиток і як не потрапити у звіт із фальшивим інсайтом.

Пошукати переможця самому →
Спробуйте тут

Про проєкт

Це збірка інтерактивних пояснень відомих математичних парадоксів і задач із теорії ймовірностей: парадоксу Монті Голла, парадоксу днів народження та інших. Кожна сторінка поєднує умову задачі, гру, симуляцію, кілька незалежних пояснень і ускладнені варіанти.

Усе працює в браузері, без реєстрації, українською та англійською. Сайт створено разом з AI, і нові задачі з'являються поступово.

Задачі зручно використовувати й на співбесідах. Вони добре показують, як людина міркує: чи помічає хибне припущення, чи готова засумніватися в очевидній відповіді й чи вміє пояснити свою думку. Після розмови інтерактивна сторінка допоможе розібрати задачу разом.

Школярам і студентамПобачити, як працює ймовірність, а не лише вивчити формулу.
ВчителямГотові інтерактиви для уроку: гра, симуляція, пояснення.
Тим, хто проводить співбесідиДайте кандидату умову, вислухайте міркування, а потім разом перевірте відповідь грою і симуляцією.
Усім, хто сперечавсяПосилання, яке переконає співрозмовника краще за слова.
Про автора Дмитро Кудренко

Дмитро Кудренко

Співзасновник компаній

На співбесідах я люблю обговорювати логічні задачі, на які інтуїтивно хочеться відповісти неправильно, хоча в них є точне математичне рішення. Для мене ніколи не було важливо, чи правильно відповів кандидат. Важливо інше: чи може він у розмові поставити під сумнів хибне припущення, а якщо він правий, то наскільки добре пояснює свою ідею або спростовує чужу.

Якось я пояснював синові одну з найвідоміших таких задач, ту, що з фільму «21», а потім знайомим. І помітив, що кожному заходить своє пояснення, залежно від складу розуму. Так з'явилася ідея цього проєкту: візуалізувати такі задачі, давати кілька простих пояснень і ускладнювати їх для тих, хто математично допитливий.

Перші кілька задач я зробив разом з AI, щоб перевірити ідею. Але проєкт мені так сподобався, що зупинитися вже було важко, тож задач тут ставатиме більше.

Розсилка

Нові задачі, пояснення й обговорення

Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.

Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.