Задача Паскаля
Найдавніша відома згадка задачі — лист Блеза Паскаля до П'єра Ферма 1656 року. Того ж року П'єр де Каркаві переказав її Крістіану Гюйгенсу: двоє кидають три кубики, перший отримує очко, коли випаде 11, другий — коли 14.
У вас $100. Ви ставите по $1 на червоне в європейській рулетці й граєте, доки не матимете $200 або доки не скінчаться гроші. Червоне випадає майже в половині спінів. Який шанс піти з казино з $200? Зафіксуйте відповідь, а потім зіграйте самі, запустіть тисячі сесій і подивіться, як ставка, ціль і багатство казино змінюють шанси.
Гравець із $100 ставить по $1 на червоне в європейській рулетці, доки не матиме $200 або нуль. Червоне випадає з шансом 48,6%, майже половина, але подвоїть гроші лише 1 гравець із 224, тобто 0,45%. Перевага казино лише 2,7 цента на долар, проте за 3667 ставок вона з'їдає майже все. Одна ставка $100 дала б 48,6%. Тут ви зіграєте самі, запустите тисячі сесій і побачите, чому сміливість у казино вигідніша за обережність.
Ви вирішили: або подвоюю гроші, або програю все, і тоді додому. Граєте найобережніше, як можна: найменшою ставкою на майже рівну гру.
У європейській рулетці 37 комірок: 18 червоних, 18 чорних і одне зелене зеро. Кулька падає в будь-яку з однаковим шансом, тож червоне випадає з шансом 18/37 ≈ 48,6%.
Щоразу ви ставите $1 на червоне. Випало червоне: казино повертає ставку й доплачує $1. Чорне або зеро: ставка згоряє. Тобто +$1 або −$1.
Ви граєте, доки не матимете рівно $200 або доки не програєте останній долар. Інших причин піти немає: ні втоми, ні закриття казино.
Який шанс, що ви підете додому з $200?
«Майже 50 на 50, ну хай 45%»
Насправді шанс лише 0,45%, 1 з 224. Кожна ставка майже чесна, але таких ставок у середньому 3667, і за цей час маленька перевага казино зсуває гроші вниз сильніше, ніж їх розгойдує випадковість. Одна ставка $100 на червоне дала б 48,6%.
Що буде, якщо міняти ставку, розберемо в раундах 2 і 5.
Оберіть варіант, перш ніж читати далі. Старт $100, ставки по $1 на червоне, гра до $200 або до нуля.
Нагадування: червоне випадає в 18 випадках із 37, тобто з шансом 48,6%.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Не дивіться лише на одну ставку: вона справді майже чесна. Спитайте себе, скільки таких ставок знадобиться, щоб дійти до $200 або до нуля.
У чесній грі без зеро відповідь була б рівно 50%. А тут кожна ставка в середньому забирає 1/37 долара. Скільки це за кілька тисяч ставок?
Програш у 19/18 рази ймовірніший за виграш, а до $200 потрібно на 100 виграшів більше, ніж програшів. Що буде, якщо помножити 19/18 саме на себе 100 разів?
Старт $100, ціль $200. Крутіть колесо по одному спіну або догравайте сесію до кінця. Потім змініть ставку: обережні $1 чи сміливі $100 разом? Лічильник праворуч рахує, скільки сесій закінчилися на $200.
Кожен гравець починає з $100 і ставить по $1 на червоне до $200 або до нуля. Перемкніть на чесну монету, щоб побачити ту саму гру без зеро: там до $200 доходить рівно половина, зате сесії тривають майже втричі довше.
Кожен стовпчик — сесії, що закінчилися в цьому проміжку. Хвіст праворуч довгий: деякі гравці бродять біля середини десятки тисяч ставок.
Скільки грошей гравець мав у найкращий момент, перш ніж сесія закінчилася. Багато хто бував у плюсі, але піти з плюсом правила не дозволяють.
Одна ставка майже чесна. Нечесним робить гру те, скільки таких ставок доводиться зробити, щоб дійти до $200.
Кожна ставка в середньому забирає 1/37 долара. За n ставок це n/37, а випадковий розмах навколо цього середнього близько √n. На початку розмах більший, і гравець може піднятися. Але знос росте швидше: після 3700 ставок він сягає $100, а розмах лише близько $61.
У чесній грі середня сума в кишені не змінюється, скільки б ви не грали. Наприкінці там або $200, або $0, тому 200 · P = 100, і P = 1/2. Загалом шанс дійти від i до N дорівнює i/N. А середня тривалість дорівнює i · (N − i) = 100 · 100 = 10 000 ставок. Варто прибрати 1 комірку з 37, і замість 50% лишається 0,45%.
Казино забирає в середньому 1/37 від кожного поставленого долара, хоч яка стратегія. Тож середня втрата дорівнює 2,7% від суми всіх ставок. Обережний гравець ганяє ті самі гроші туди-сюди 3667 разів і в середньому втрачає $99,11. Сміливий ставить $100 лише раз і втрачає в середньому $2,70. Звідси й різниця в шансах.
Програш у 19/18 рази ймовірніший за виграш. Щоб дійти до $200, треба на 100 виграшів більше, ніж програшів, а щоб до нуля, на 100 програшів більше. Ці 100 кроків множать перекіс: (19/18)100 ≈ 223, як 5,6% річних за 100 років. Тому нуль ймовірніший за $200 приблизно в 223 рази, і шанс на $200 дорівнює 1/(223 + 1) = 1/224.
Гравець має i доларів, ціль N, виграє ставку з шансом p, програє з шансом q = 1 − p. Шанс дійти до N задовольняє просте рівняння: після однієї ставки ви або на крок вище, або на крок нижче.
Його розв'язок, де r = q/p. Для чесної гри r = 1, і формула стає i/N.
Ціль удвічі більша за старт, N = 2i, тож дріб скорочується.
Середня кількість ставок до кінця гри. Для чесної гри D = i(N − i).
Тотожність Вальда: середня втрата дорівнює перевазі казино, помноженій на середню суму всіх ставок.
Ключова частина — множник ri. Коли гра хоч трохи несправедлива, r більше за 1, і r100 вже величезне. Тому шанс падає не пропорційно перевазі казино, а експоненційно від кількості кроків до цілі. Удвічі менша ставка подвоює кількість кроків і підносить перекіс до квадрата.
Від точної теореми про найкращу стратегію в несправедливій грі до логіки «казино досить чекати» і двох практичних уроків: чому подвоєння ставок не рятує і скільки ставити, коли перевага на вашому боці.
| Стратегія | Точний шанс | Симуляція | Ставок |
|---|
Смілива гра: щоразу ставити все, що маєте, або рівно стільки, скільки бракує до цілі, якщо це менше. Від $100 до $400 це дві ставки: $100, потім $200. Лестер Дубінс і Леонард Севідж довели, що коли кожна ставка несприятлива, жодна стратегія не дає більшого шансу дійти до цілі. Що менше ставок, то менше разів казино бере свої 2,7%.
У чесній грі стратегія не важлива: будь-яка дає шанс i/N. А якщо гра на вашу користь, усе навпаки, і вигідно ставити помалу. Для ставок по $1 на ціль $1000 шанс менший за 10−21, і симуляція його ніколи не побачить.
Гравець із $100 ставить по $1 проти казино з нескінченними грошима й грає, доки не розориться. Криві показують, яка частка гравців уже без грошей після n ставок. Точний розрахунок, вісь ставок логарифмічна.
Нехай ціль N росте до нескінченності. У формулі i/N для чесної гри шанс виграти прямує до 0, отже, розорення неминуче з імовірністю 1. Але чекати доведеться довго: середня тривалість i(N − i) теж росте без меж. Після 10 000 ставок без грошей лише 32% гравців, після мільйона 92%.
У рулетці картина інша: гравець розоряється в середньому за 100 · 37 = 3700 ставок. Шанс хоч колись опинитися на $100 у плюсі дорівнює (18/19)100 ≈ 0,45%, майже стільки ж, скільки в основній задачі. Казино не мусить вигравати кожну ставку. Йому досить грошей, щоб пережити вашу удачу, і часу.
Система мартингейл: поставити $1, після програшу подвоїти ставку, після виграшу повернутися до $1. Кожна серія закінчується виграшем $1, якщо вистачить грошей на подвоєння. Із $100 ви витримуєте 6 програшів поспіль (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63), а на сьомий подвоєний $64 уже не вистачає. Тоді ставите залишок.
Шість програшів поспіль трапляються лише в 1,8% серій, тож здебільшого гроші ростуть сходинками по $1. Але щоб дійти до $200, потрібно близько сотні серій, і одна погана серія забирає все. Підсумок: 42,1%. Краще, ніж по $1, але гірше, ніж одна ставка $100, як і обіцяє теорема Дубінса і Севіджа.
Коли гра на вашу користь, розорення стає головним ворогом: поставите забагато, і кілька програшів поспіль виженуть вас із гри. Джон Келлі показав, що капітал найшвидше росте, якщо щоразу ставити частку f = 2p − 1. Для шансу 55% це 10% капіталу. Ставка в частках сама зменшується після програшів, тож до нуля ви не дійдете ніколи.
Ставка вдвічі більша за Келлі майже не дає росту, а ще більша веде вниз, хоч кожна ставка вигідна. Для рулетки 2p − 1 від'ємне: найкраща частка дорівнює нулю. Цей принцип узяв Едвард Торп для блекджеку, а потім для інвестицій.
Найдавніша відома згадка задачі — лист Блеза Паскаля до П'єра Ферма 1656 року. Того ж року П'єр де Каркаві переказав її Крістіану Гюйгенсу: двоє кидають три кубики, перший отримує очко, коли випаде 11, другий — коли 14.
Гюйгенс поставив задачу останньою з п'яти в трактаті De ratiociniis in ludo aleae: у кожного по 12 фішок, програв очко — віддай фішку. Сума 11 випадає 27 способами з 216, а 14 лише 15. Відповідь: шанси на перемогу того, хто чекає 14, і того, хто чекає 11, співвідносяться як 244 140 625 до 282 429 536 481, тобто (5/9)12.
Абрахам де Муавр у праці De Mensura Sortis розв'язав задачу для будь-яких капіталів і будь-яких шансів, тобто вивів ту саму формулу з ri, що в раунді 4. Назву «розорення гравця» задача отримала значно пізніше.
Саме так називається книжка Лестера Дубінса і Леонарда Севіджа, де доведено, що в несприятливому казино смілива гра оптимальна. Ідея ілюструється так: якщо вам терміново потрібна сума, яку можна лише виграти, ставте на одну спробу якомога більше.
Джон Келлі, інженер Bell Labs, опублікував статтю «Нова інтерпретація швидкості передачі інформації», де пов'язав ставки з теорією інформації Шеннона. Історію формули і того, як її застосовували в казино та на біржі, розповідає книжка Вільяма Паундстоуна «Формула фортуни».
Обережний гравець у нашій задачі в середньому робить 3667 ставок по $1, тобто ставить у 37 разів більше, ніж приніс. Якщо колесо крутиться раз на хвилину, це понад 60 годин гри без перерви, і в середньому він іде додому з 89 центами.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.