Ви обираєте двері. Ведучий, який знає, де приз, відкриває інші двері з козою й пропонує змінити вибір. Здається, що тепер шанси 50 на 50. Насправді ні. Перевірте це самі: на відео, у грі, на симуляції, у поясненнях і на 20 дверях.
Задачу Монті Голла (її ще називають парадоксом Монті Холла) названо на честь ведучого американського шоу Let's Make a Deal, що виходило з 1963 року. Саме такої гри на шоу не було, але атмосфера та сама: ведучий, двері, призи і спокуса передумати.
Ви фіналіст. Перед вами три зачинені двері. За одними стоїть новенький автомобіль, за двома іншими кози. Призи розставили заздалегідь і навмання. Де що, знає лише ведучий.
Ви вказуєте на одні двері, скажімо №1. Їх поки не відчиняють.
Ведучий відчиняє одні з двох дверей, яких ви не обирали, скажімо №3. Там коза. Ваші двері він не чіпає, а авто ніколи не показує. Якщо кози за обома невибраними дверима, він відчиняє будь-які з них навмання.
«Бажаєте залишитися на дверях №1 чи перейти на №2?» Закритих дверей двоє, і за одними з них авто.
Відчиняють двері, які ви обрали остаточно. Якщо там авто, воно ваше. Якщо коза, ви йдете додому з козою.
Чи вигідно змінити вибір? Чи це не має значення?
Більшість людей відповідає: не має, тепер шанси 50 на 50. У 1990 році Мерилін вос Савант написала в журналі Parade, що змінювати вигідно. Їй надійшло близько 10 000 листів незгоди, серед них майже тисяча від людей з науковими ступенями. Права була вона.
Варто змінити хоча б одне правило, і відповідь стає іншою. Як саме, показано в раунді 4.
У фільмі «21» (2008) професор математики Міккі Роза (Кевін Спейсі) ставить студентові Бену Кемпбеллу (Джим Стерджесс) задачу з телешоу. Бен відповідає, що змінив би двері, і пояснює чому.
«21» (2008), реж. Роберт Лукетич · фрагмент з російським озвученням · відкрити на YouTube
Чого фільм не каже. Відповідь 2/3 правильна лише тоді, коли ведучий завжди відкриває двері з козою і завжди пропонує обмін. Якби він відкривав навмання або пропонував обмін лише тим, хто вже вгадав, відповідь була б іншою. Про це в раунді 4.
Зіграйте 15–20 разів, пробуючи обидві стратегії. Праворуч видно, як часто виграє кожна з них у вашій сесії.
Риска на шкалі показує теоретичний результат. На малій кількості ігор розкид великий, тому корисно глянути й на раунд 3.
Комп'ютер грає за вас: обирає двері навмання, ведучий відкриває кози, далі гравець або залишається, або міняє. Графік показує, як частка виграшів наближається до теорії.
Двоє закритих дверей не означають 50 на 50. Ваші двері обрано навмання, а другі залишив ведучий, який знає, де авто, і не має права його показати. Ці двері нерівноправні. Ось п'ять способів у цьому переконатися: оберіть той, що вам ближчий.
Нехай ви обрали двері №1. Авто з однаковою ймовірністю стоїть за будь-якими дверима.
| Авто за | Ведучий відкриває | Залишитись | Змінити |
|---|---|---|---|
| №1 | №2 або №3 | авто | коза |
| №2 | №3 | коза | авто |
| №3 | №2 | коза | авто |
| Виграш | 1 з 3 | 2 з 3 | |
Стратегія «міняти» програє тільки тоді, коли ви одразу вгадали. А вгадати одразу можна лише в одному випадку з трьох.
Уявіть, що ведучий одразу пропонує: «Залиште свої двері або заберіть обидві інші». Ви взяли б дві. Відкрита коза нічого не змінює: серед двох дверей хоча б одна коза є завжди, і ведучий просто показав, яка саме. Шанс групи 2/3 тепер зосереджений в одних дверях.
Коли ведучий знає, де авто, його вибір обмежений, і це обмеження несе інформацію. Коли він відкриває навмання, козу за дверима можна було знайти й випадково, тому інформації менше. Перевірте: симуляція відкине ігри, де ведучий випадково показав авто.
Ключова асиметрія в середньому множнику. Якщо авто за вашими дверима, ведучий обирає між №2 і №3 навпіл. Якщо авто за №2, у ведучого немає вибору: він мусить відкрити №3. Тому відкриті №3 удвічі краще узгоджуються з гіпотезою «авто за №2».
Якщо три двері не переконали, збільшимо масштаб. На двадцяти дверях інтуїція зазвичай здається.
Симуляція 20 000 ігор для 6 дверей.
Поки ви тримаєте перші двері, їхній шанс заморожений на 1/n: ведучому заборонено їх відкривати, тож кожна показана коза нічого про них не каже. Шанс відкритих дверей перетікає до інших закритих. Коли залишиться двоє дверей, увесь шанс (n−1)/n зібрано в одних, і саме тоді варто змінити вибір. Якщо змінити раніше, нові двері «замерзнуть» на нижчому рівні, і частина виграшу втрачається.
Після колонки Мерилін вос Савант у журналі Parade (1990) редакція отримала близько 10 000 листів, і майже тисяча з них були від людей з науковими ступенями, які пояснювали, що вона помиляється. Вос Савант на той час була занесена до Книги рекордів Гіннесса як людина з найвищим IQ.
Пал Ердеш, автор понад 1 500 наукових статей і один з найплідніших математиків в історії, відмовлявся приймати відповідь 2/3. Переконала його лише комп'ютерна симуляція, яку показав колега Ендрю Важоні. Ваш раунд 3 зробив те саме.
У дослідженні 2010 року голубів і людей навчали грати в Монті Голла сотні разів. Голуби, які просто запам'ятовували, що приносить їжу, навчилися міняти двері майже завжди. Люди так і не дійшли до оптимальної стратегії: їм заважала «логіка» 50 на 50.
В інтерв'ю The New York Times у 1991 році Монті Голл показав журналістові, що на справжньому шоу він не був зобов'язаний пропонувати обмін. Він міг пропонувати його тим, хто вже обрав авто, і тоді міняти було б погано. Саме тому в умові важливе правило «ведучий пропонує обмін завжди».
Та сама логіка з'являється в «парадоксі скриньок» Жозефа Бертрана (1889) і в «задачі трьох в'язнів», яку Мартін Гарднер опублікував у 1959 році. Телешоу лише дало старій ідеї двері й кіз.
Фільм «21» знято за книжкою Бена Мезріча про студентів MIT, які рахували карти й вигравали в казино Лас-Вегаса. Сцена з Монті Голлом у фільмі — перевірка, чи вміє герой відкидати інтуїцію заради розрахунку.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.