Літаки, що повернулися з бою, мають найбільше дірок у фюзеляжі та крилах, а на двигунах їх майже немає. Броня важка, тож поставити її можна лише на дві частини літака. Куди? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її у грі, на симуляції десяти тисяч вильотів і в поясненнях.
Літаки, що повернулися з бою, мають найбільше дірок у фюзеляжі та крилах, а на двигунах їх майже немає. Броню треба ставити саме на двигуни і кабіну. Дірок там мало не тому, що туди не влучають, а тому, що літаки з такими влучаннями не повертаються. Ми бачимо лише тих, хто вижив. Цю ідею пов'язують з Абрагамом Вальдом і його меморандумами 1943 року.
Друга світова війна. Бомбардувальники щодня літають над ворожою територією, і частина з них не повертається. Командування хоче додати броні, але знає, що важкий літак повільніший і бере менше бомб.
Кожен літак, що повернувся, оглядають і позначають на схемі кожну дірку від куль і осколків. За кілька місяців набирається багато схем.
Зі 100 дірок на літаках, що повернулися: 42 у фюзеляжі, 40 у крилах, 10 у хвості, 4 на двигунах і 4 у кабіні.
Броні вистачає лише на дві частини літака з п'яти: двигуни, кабіну, фюзеляж, крила або хвіст. Броня не робить частину невразливою, але зменшує шанс, що влучання туди зіб'є літак.
Куди поставити броню, щоб не повернулося якомога менше літаків?
«Туди, де найбільше дірок: на фюзеляж і крила»
Насправді броня потрібна двигунам і кабіні. Дірки на літаках, що повернулися, показують влучання, які літак пережив. Влучань, після яких він не повернувся, на схемах немає взагалі.
Броні вистачає на дві частини. Оберіть варіант, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Уявіть, що будь-яке влучання в двигун одразу збиває літак. Скільки дірок на двигунах ви знайдете на літаках, що повернулися?
Дірки рахують лише на літаках, що повернулися. Якщо кулі лягають рівномірно, двигуни, які займають 12% площі, мали б отримати близько 12% влучань. Де решта?
Порівнюйте дірки не між собою, а з площею. Частина, де дірок набагато менше, ніж за площею, — це місце, після влучання в яке літаки не повертаються.
Оберіть дві частини для броні, клацнувши по літаку або по кнопках, і відправте 100 бомбардувальників на завдання. На схемі з'являться дірки на літаках, що повернулися. Потім покажіть літаки, які не повернулися, і подивіться, куди влучали в них.
Кожен літак отримує випадкову кількість влучань, у середньому 1,2, і кожне влучання падає в випадкове місце літака. Влучання в двигун збиває літак з імовірністю 70%, у кабіну 60%, у хвіст 20%, у крила 8%, у фюзеляж 4%. Порівняйте, куди влучали в усі літаки і де дірки на тих, що повернулися. Змініть кількість влучань і вразливість двигунів.
Смуги показують симуляцію, риска точне значення за формулою з раунду 4.
Схеми дірок складають лише з літаків, що повернулися. Це не випадкова вибірка всіх літаків: літак потрапляє в неї, тільки якщо пережив свої влучання.
Тоді на літаках, що повернулися, не було б жодної дірки в двигуні. Пояснень два: або ворог чомусь влучає куди завгодно, крім двигунів, або кожне влучання в двигун збиває літак. Друге пояснення набагато правдоподібніше.
Наш випадок м'якший, але логіка та сама. Двигуни займають 12% площі, а дірок на них лише 4%. Решта влучань у двигуни лишилися на літаках, які не повернулися.
Нехай у кожен з 1 000 літаків влучили один раз. За площею двигуни мали отримати 120 влучань. На літаках, що повернулися, їх лише 36. Отже, 84 влучання в двигуни пішли разом з літаками.
| Частина | Мало бути | Знайшли | Бракує |
|---|---|---|---|
| Двигуни | 120 | 36 | 84 |
| Кабіна | 80 | 32 | 48 |
| Фюзеляж | 350 | 336 | 14 |
| Крила | 350 | 322 | 28 |
| Хвіст | 100 | 80 | 20 |
| Разом | 1 000 | 806 | 194 |
Повернулися 806 літаків, і на кожному одна дірка. 194 літаки не повернулися, і 132 з них збиті влучанням у двигун або кабіну.
Кожна дірка на літаку, що повернувся, доводить: таке влучання літак витримав. Фюзеляж, повний дірок, найкраще свідчить, що фюзеляжу броня потрібна найменше.
Порівнювати треба не дірки між собою, а дірки з площею. Фюзеляж має 1,19 дірки на одиницю площі від середнього, двигуни лише 0,37. Чим менше відношення, тим частіше влучання туди смертельне.
Вальд у своїх меморандумах ретельно виписував такі припущення і перевіряв, як вони впливають на висновок.
Абрагам Вальд працював у Статистичній дослідницькій групі (SRG) при Колумбійському університеті. 1943 року він написав вісім технічних меморандумів про те, як оцінити вразливість літака за пошкодженнями тих, що вижили. Порад, куди ставити броню, у них немає: рішення ухвалювали військові.
Історію про броню переказав керівник групи Аллен Волліс 1980 року: військові хотіли захистити частини з найбільшою кількістю влучань, а Вальд, за його словами, виходив з того, що влучання розподілені рівномірно. Драматичні подробиці, які гуляють інтернетом, здебільшого пізніші реконструкції.
Відома схема літака, вкритого червоними точками, сучасна. Її намалював користувач Вікіпедії McGeddon 2016 року на основі креслення патрульного літака Lockheed PV-1 Ventura, а 2021 року Мартен Гранжан перевів її у вектор. Ідея походить з пізніших «карт влучань» ВПС США. Схем Вальда, якщо він їх малював, не збереглося.
Влучання падає в частину s з імовірністю, що дорівнює її частці площі as. Літак переживає влучання туди з імовірністю 1 − ks, де ks — вразливість частини.
Формула Баєса: де дірка на літаку, що повернувся.
Відношення дірок до площі: чим воно менше за 1, тим вразливіша частина. Звідси оцінка вразливості, коли відомо, скільки літаків вилетіло (N) і повернулося (S).
Якщо влучань у літак кілька, їхня кількість випадкова (розподіл Пуассона з середнім λ), а кожне влучання незалежне. Тоді частки дірок на тих, що повернулися, ті самі, хоч яке λ. Частка тих, що повернулися, і середнє λ, оцінене за дірками:
Основне рівняння Вальда: Si — скільки літаків повернулися з i влучаннями, qi — шанс пережити i-те влучання. У прикладі Вальда (за Менджелом і Саманьєго) з 400 літаків повернулися 380, з них 320 без влучань.
Перший рядок задає модель. Другий — формула Баєса: частка дірок на двигунах падає з 12% до 4,5%. Третій перевертає її: зі знайдених дірок Hs і площі оцінюємо, наскільки смертельне влучання в кожну частину. Четвертий узагальнює це на кілька влучань. Останній — рівняння з меморандумів Вальда: якщо шанс пережити кожне влучання однаковий, у його прикладі це приблизно 85%.
Як побачити невидиме за даними тих, хто вижив, чому фонди, що вижили, виглядають розумнішими за ринок і де ще ховається ця помилка.
Комп'ютер загадав нову вразливість кожної частини. Ви бачите лише, скільки літаків вилетіло й повернулося і де дірки на тих, що повернулися. Метод з раунду 4 оцінює вразливість, а потім можна відкрити правду.
| Частина | Площа | Дірок | Оцінка | Правда |
|---|
Мертві не розкажуть своєї історії, але їхню відсутність можна виміряти. Кількість дірок у кожній частині на тих, що повернулися, разом з часткою тих, що повернулися, дає рівно стільки рівнянь, скільки невідомих: середню кількість влучань і вразливість кожної з п'яти частин.
Точність залежить від кількості літаків. При 200 вильотах оцінка для малих частин, як кабіна, часто помиляється на 10–30 пунктів. При 10 000 похибка лише кілька пунктів. Вальд у меморандумах працював саме з такою невизначеністю: виводив не одне число, а межі, у яких лежить відповідь.
Основне рівняння Вальда розв'язує ще складнішу задачу: знаючи лише, скільки літаків повернулися з 0, 1, 2… влучаннями, оцінити шанс пережити кожне наступне влучання. Для прикладу з 400 літаків виходить приблизно 85% на влучання.
1 000 фондів без жодного вміння: щороку кожен відстає від ринку в середньому на 1 пункт (комісії) плюс випадковий розкид. Фонд, що відстав від ринку більше, ніж на поріг, закривають. Через 15 років рахуємо середній результат.
Фонди, як і літаки, «гинуть» нерівномірно: закривають або зливають з іншими саме ті, що погано заробляють. Тож середній результат фондів, які існують сьогодні, завищений. У симуляції жоден фонд не вміє обігравати ринок, а ті, що вижили, у середньому його обганяють. Усі фонди разом, рахуючи закриті, відстають приблизно на свою комісію.
Елтон, Грубер і Блейк 1996 року оцінили це завищення для фондів акцій США приблизно в 0,9 пункту на рік. За звітом S&P SPIVA за 2020 рік, за 20 років зникли майже 70% фондів, що інвестували в акції США. Ті, хто лишився, і складають рекламні рейтинги.
1987 року ветеринари Animal Medical Center у Нью-Йорку описали 132 котів, що випали з вікон: з тих, кого лікували, вижили 90%. Відомим дослідження зробило спостереження, що коти, які впали з вищих поверхів, мали в середньому менше травм, ніж ті, що впали з середніх. Пояснювали це тим, що кіт встигає розслабитися й розпластатися.
Але в дослідження потрапили лише коти, яких принесли до клініки живими. Кота, що розбився на смерть, частіше не несуть до ветеринара. 1996 року на це вказала колонка The Straight Dope; керівник клініки тоді заперечив, що це спотворює дані. Хорватське дослідження 2004 року (119 котів) знайшло протилежне: падіння з сьомого поверху й вище пов'язані з важчими травмами. Висновок про «безпечну висоту» стоїть на слабкому ґрунті.
Вісім меморандумів Вальда 1943 року за війну не опублікували. Аллен Волліс зберіг папери групи в коробці і близько 1980 року віддав їх Філу Депою з Центру військово-морського аналізу (CNA). Той відібрав лише роботи Вальда і в липні 1980 року видав їх під назвою «Метод оцінки вразливості літака за пошкодженнями тих, що вижили».
Меморандуми Вальда дуже технічні. Марк Менджел і Франсіско Саманьєго 1984 року пояснили їх у статті «Abraham Wald's Work on Aircraft Survivability» в Journal of the American Statistical Association. Звідти й приклад: 400 літаків, 380 повернулися, 320 без жодного влучання.
Картинку, яку прикладають до кожного переказу історії про Вальда, намалювали на Вікіпедії 2016 року поверх креслення Lockheed PV-1 Ventura. Математик Білл Касселман зауважив, що інтернет ілюструє цю історію будь-якими літаками, аж до транспортного DC-3.
Саме на стільки, за оцінкою Елтона, Грубера і Блейка (1996), середня дохідність фондів США завищена, якщо рахувати лише ті, що вижили. За 20 років різниця в 0,9 пункту на рік накопичується майже до п'ятої частини капіталу.
Стільки котів, що випали з висоти, описали 1987 року в Journal of the American Veterinary Medical Association. 90% з них мали травми грудної клітки, а з тих, кого лікували, вижили 90%. Мертвих котів у вибірці не було.
Абрагам Вальд народився 1902 року в Клужі. Після аншлюсу Австрії він емігрував до США. Він загинув в авіакатастрофі в горах на півдні Індії 1950 року, у 48 років, так і не написавши спогадів про роботу у війну.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.