Пляж завдовжки 1 км, відпочивальники лежать рівномірно від краю до краю, і кожен по морозиво йде до найближчого кіоску. Ціни однакові. Два продавці щоранку можуть пересунути свій кіоск куди завгодно. Чесно було б поділити пляж: один на 250 м, другий на 750 м, і ніхто не йде далі ніж 250 м. Де продавці опиняться насправді?
Кожен крок до середини забирає в суперника покупців, тож продавці підсуваються, доки не стануть поруч рівно посередині. Покупців у кожного й далі половина, але тепер найдальший відпочивальник іде 500 м замість 250, а середній шлях подвоюється: 250 м замість 125.
1929 року американський статистик і економіст Гарольд Готеллінг описав, як два продавці ділять покупців, розкиданих уздовж однієї вулиці. Пізніше його модель стали розповідати як історію про морозиво на пляжі.
Пляж прямий і має довжину 1000 м. На ньому 1000 відпочивальників, рівномірно від краю до краю: приблизно одна людина на кожен метр.
Кожен відпочивальник хоче одне морозиво на день і йде по нього до найближчого кіоску. Морозиво й ціна в обох кіосках однакові, тож важить лише відстань. Якщо кіоски стоять в одному місці, покупці діляться навпіл.
Двоє продавців хочуть продати якомога більше. Кіоск на колесах, тож щоранку кожен може його пересунути. Домовлятися між собою вони не можуть.
Адміністрація пляжу поставила кіоски на 250 м і на 750 м. Кожному дістається половина пляжу, 500 покупців, і ніхто не йде по морозиво далі ніж 250 м.
Продавці пересувають кіоски, кожен на свою користь, доки ніхто вже не захоче нічого міняти. Де тоді стоятимуть кіоски?
«Їм вигідно поділити пляж навпіл і стояти кожному посередині своєї половини»
Такий поділ найкращий для відпочивальників, але нестійкий: хто перший зробить крок до центру, той забере частину чужих покупців. Суперник відповість тим самим, і обидва опиняться посередині.
Продавці вже кілька тижнів пересувають кіоски кожен на свою користь, і тепер жоден не хоче нічого міняти. Оберіть, що ви бачите на пляжі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Станьте на місце продавця на 250 м. Хто купує в нього зараз? Що зміниться, якщо він переставить кіоск на 100 м ближче до суперника?
Покупці ліворуч від кіоску на 250 м і так ідуть до нього, бо він для них найближчий. Кого він утрачає, а кого здобуває, роблячи крок до суперника? І що тоді зробить суперник?
Перевіряйте пари місць по черзі: чи є крок, який дасть комусь із продавців більше покупців? Шукайте пару, з якої жодному не вигідно рушати.
Ви продаєте морозиво з синього кіоску, бот з помаранчевого. Щоранку ви першим пересуваєте кіоск не далі ніж на 100 м, потім бот пересуває свій туди, де йому дістанеться найбільше покупців. Скільки він може проїхати за ранок, ви не знаєте: від 40 до 100 м. Продайте за 10 днів більше морозива, ніж бот.
Покупці рахуються в морозивах: 1000 відпочивальників купують по одному. Кордон між вашими покупцями й покупцями бота проходить рівно посередині між кіосками.
На кожному з 2000 пляжів два продавці починають у випадкових місцях. По черзі кожен пересуває кіоск у межах свого кроку туди, де в нього найбільше покупців. Гістограма показує, де стоять кіоски після кожного ходу, а графік показує, скільки в середньому йде відпочивальник.
Місця кіосків беруться з кроком 10 м. Частку покупців і середній шлях для кожного пляжу рахуємо точно: покупці ліворуч від середини між кіосками йдуть до лівого, праворуч до правого. В останній плитці ми окремо кидаємо 100 000 випадкових відпочивальників на пляж, де кіоски стоять так, як наприкінці симуляції, і міряємо їхній шлях.
Ніхто з продавців не помиляється. Кожен рахує лише своїх покупців, а кроки, які через нього проходять відпочивальники, не рахує ніхто.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Це пояснення неповне, але суть у ньому: усі покупці ліворуч від синього кіоску й так його, бо він для них найближчий. Тож, підходячи до середини, синій їх не втрачає, а кордон між покупцями зсувається вправо на половину його кроку. Помаранчевий робить те саме з іншого боку, і так доти, доки підходити вже нікуди.
Коли кіоски на 250 і 750 м, кожен відпочивальник лежить не далі ніж за 250 м від кіоску, а відстані рівномірно розкидані від 0 до 250 м. Тому в середньому виходить половина, 125 м. Коли обидва кіоски посередині, відстані розкидані від 0 до 500 м, і в середньому виходить 250 м. Продавці продають стільки ж, по 500 морозив, а люди ходять удвічі більше.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
| Кіоски | Покупці | Середній шлях | Стійко? |
|---|---|---|---|
| 250 і 750 м | 500 / 500 | 125 м | ні |
| 350 і 750 м | 550 / 450 | 132,5 м | ні |
| 500 і 500 м | 500 / 500 | 250 м | так |
1950 року Джон Неш назвав рівновагою такий стан гри, з якого жодному гравцеві не вигідно йти самому. Тут вона одна. Якщо кіоски стоять у різних місцях, кожен виграє, підійшовши ближче до суперника. Якщо в одному місці, але не посередині, то кожен виграє, переступивши на бік, де більше пляжу: там понад половину покупців. Лишається тільки 500 і 500 м: звідти будь-який крок дає менше половини.
Якби кіоски ставив той, кого обходить зручність відпочивальників, він обрав би 250 і 750 м: так найменший середній шлях, 125 м. Продавцям такий поділ теж нічим не гірший, але він нестійкий, бо кожен окремо виграє, порушивши його. Рівновага дає 250 м, удвічі гірше за оптимум.
Те саме відбувається в парадоксі Браеса: кожен водій обирає найшвидшу дорогу для себе й не рахує час, який забирає в інших, і всі їдуть довше. Там платять водії, тут відпочивальники, які навіть не грають у гру.
Пляж має довжину 1 (кілометр), кіоски стоять у точках a < b. Кордон між покупцями лежить посередині, у точці (a + b)/2.
Частка лівого зростає з a, поки a < b, тож кожен хоче підійти до суперника. Коли a = b = x, крок убік дає x або 1 − x, тож стійко лише x = 1/2.
Середній шлях: на краях люди йдуть до найближчого кіоску, між кіосками кожен відрізок довжини d дає середнє d/4.
Мінімум W: похідні за a і b дорівнюють нулю лише в точці a = 1/4, b = 3/4. Якщо кіоски стоять навмання, середній шлях у середньому 5/24 км ≈ 208 м.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
У статті «Stability in Competition» Готеллінг розглянув двох продавців на відрізку, уздовж якого рівномірно живуть покупці. Він показав, що продавцям вигідно ставати поруч, і переніс це з відстані на самі товари: виробники роблять їх надто схожими. За його ж жартом, методистська й пресвітеріанська церкви надто подібні, а сидр надто однаковий.
Наприкінці статті він помітив те саме в політиці: республіканці й демократи у США намагаються зробити свої програми якомога схожішими, бо кожна різка відмінність коштувала б голосів.
У нашій задачі ціни однакові. У Готеллінга продавці обирали і місце, і ціну. 1979 року Клод д'Аспремон, Жан Габшевич і Жак-Франсуа Тісс показали, що в такій моделі продавці, які стоять близько, не можуть домовитися до стійких цін: кожен може збити ціну й забрати всіх покупців суперника. А якщо шлях коштує покупцеві пропорційно квадрату відстані, продавці розходяться аж до країв, щоб не воювати цінами.
Тож «ставай поруч із конкурентом» працює, коли ціна однакова і конкурують лише місцем чи схожістю товару.
Пляж Готеллінга веде у три світи. У математиці з'ясовується, що вже з трьома продавцями рівноваги може не бути зовсім. У логіці це теорема про медіанного виборця. А на практиці видно, скільки кроків коштує відпочивальникам така конкуренція.
Математика
Щоходу продавець із найменшою часткою переставляє кіоск туди, де йому дістанеться найбільше. Якщо двоє крайніх притиснуться до середнього, йому лишається вузька смужка, і він перестрибує назовні. Тоді новий середній опиняється затиснутим, і все повторюється. Ми перебрали всі розстановки трьох кіосків з кроком 25 м: у жодній усім трьом не вигідно стояти на місці. І в жодному з 2000 випадкових запусків кіоски не зупинилися за 300 ходів.
Із чотирма продавцями рівновага знову є: дві пари спиною до спини на 250 і 750 м. Середній шлях тоді 125 м, а найкраща розстановка, на 125, 375, 625 і 875 м, дала б 62,5 м. Знову вдвічі гірше. Ці випадки 1975 року докладно розібрали Кертіс Ітон і Річард Ліпсі.
Біля входу людей найбільше, і що далі від нього, то менше. Продавці й тут сходяться в одну точку, але не посередині пляжу, а там, де ліворуч і праворуч рівно по половині людей. Таку точку називають медіаною. Хто стоїть не на медіані, тому суперник може стати поруч з більшого боку й забрати понад половину покупців.
Середнє місце людей зазвичай інше: кілька далеких відпочивальників тягнуть середнє до себе, а на медіану не впливає, як далеко вони лежать.
А на круглому озері без країв середини немає зовсім. Двоє продавців у будь-яких двох місцях ділять берег навпіл, і жодному не вигідно рушати. Схожі кіоски там можуть стояти далеко один від одного.
Логіка
Замініть пляж шкалою поглядів від лівих до правих, відпочивальників виборцями, а кіоски кандидатами. Кожен голосує за ближчого. Двоє кандидатів, щоб отримати більшість, зсуваються до виборця, який стоїть посередині черги: ліворуч від нього стільки ж виборців, скільки праворуч. 1948 року Дункан Блек довів, що за такої будови переможе позиція цього медіанного виборця. 1957 року Ентоні Даунс у книжці «An Economic Theory of Democracy» переніс модель Готеллінга на партії.
Логіка така: якщо позиція програє голосування проти будь-якої іншої, з неї варто йти, тож стійка лише позиція, яку не можна перемогти. Але умов багато: погляди мають вкладатися в одну шкалу, голосують усі, кандидатів двоє, і їм вірять, хоч куди вони зсунуться.
Практика
Перевірити легко: кожен відпочивальник іде в середньому на 125 м далі, і ще стільки ж назад. На 1000 покупців це 1000 · 125 · 2 = 250 000 м, тобто 250 км на день. Тому адміністрація пляжу, яка видає місця для кіосків, може просто закріпити 250 і 750 м, як у нашій умові.
Ту саму силу бачать у схожих товарах конкурентів, що тягнуться до «середнього» покупця, і в партійних програмах, що зсуваються до центру перед виборами. Але Готеллінг пояснює не все. Заправки й аптеки стоять поруч ще й тому, що там проходить потік машин і людей, туди пускають будівельні правила, а покупцям зручно порівнювати кілька магазинів в одному місці. А партії не завжди сходяться в центрі: виборці голосують не лише за ближчу позицію, і не всі ходять на вибори.
Стаття «Stability in Competition» вийшла в британському «The Economic Journal», том 39, сторінки 41–57. Пляжу й морозива в ній немає: Готеллінг говорив про продавців на одній вулиці. Історію про морозиво на пляжі придумали пізніше, щоб пояснювати модель.
Готеллінг перевів ідею з відстаней на товари: продавцям вигідно робити свій товар схожим на товар конкурента. Як приклади надмірної схожості він згадав методистську й пресвітеріанську церкви та сидр.
Ще 1929 року, у тій самій статті, Готеллінг написав, що республіканці й демократи у США не розводять свої програми, а роблять їх якомога схожішими, бо кожна різка відмінність коштувала б голосів.
Шотландський економіст Дункан Блек надрукував статтю «On the Rationale of Group Decision-making» у «Journal of Political Economy». У ній він показав, що коли погляди лежать на одній шкалі, перемагає позиція медіанного виборця.
Ентоні Даунс у книжці «An Economic Theory of Democracy» переніс модель Готеллінга на партії, які змагаються за виборців на шкалі від лівих до правих. Звідси пішла «просторова» теорія голосування.
Д'Аспремон, Габшевич і Тісс у статті «On Hotelling's "Stability in Competition"» в «Econometrica» знайшли в оригінальному розрахунку Готеллінга, де продавці міняють і ціни, помилку: коли кіоски близько, стійких цін немає.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Для всіх» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.