Словник / Медіана і середнє
У барі десятеро людей зі звичайними зарплатами. Заходить мільйонер, і «середній відвідувач» раптом заробляє сотні тисяч на місяць. Ніхто нікого не обдурив: просто є два різні способи сказати «типово», і вони відповідають на різні питання.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Кожна точка — відвідувач, по горизонталі його дохід на місяць. Шкала логарифмічна: кожна поділка вдесятеро більша за попередню, інакше мільйонер не вмістився б на екрані.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Скласти всі значення й поділити на їхню кількість. Це скільки дісталося б кожному, якби все поділити порівну.
1, 2, 3, 4, 100 → (1 + 2 + 3 + 4 + 100) / 5 = 22
Вишикувати всіх за зростанням і взяти того, хто посередині. Половина нижче, половина вище.
1, 2, 3, 4, 100 → 3
Одне число 100 потягнуло середнє до 22, хоча четверо з п'яти менші за 5. Медіана його майже не помітила: для неї неважливо, 100 там чи мільйон.
Звучить як помилка, але це звичайна властивість перекошених розподілів. Доходи саме такі: більшість людей скупчена внизу, а кілька дуже багатих розтягують хвіст праворуч і тягнуть середнє за собою. Рухайте повзунок нерівності.
10 000 випадкових доходів з логнормального розподілу з медіаною 20 тисяч. Без нерівності всі заробляють однаково, і середнє збігається з медіаною.
Правило просте: медіана відповідає на питання «як у типової людини?», середнє — на питання «скільки всього, якщо поділити на всіх?».
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Σ (xᵢ − a)² → min ⇔ a = x̄ = (x₁ + … + xₙ) / n
Похідна за a дорівнює −2 Σ (xᵢ − a). Вона нульова, коли a — середнє. Квадрат росте швидко, тому далека точка «тягне» дуже сильно: мільйонер за 5 000 тисяч від решти важить у квадраті як сотні тисяч звичайних відхилень на 10 тисяч гривень.
Σ |xᵢ − a| → min ⇔ a = медіана
Зсуньте a на крок праворуч: відстані до всіх точок ліворуч зростуть на крок, до всіх праворуч зменшаться на крок. Сума перестає меншати, коли точок ліворуч і праворуч порівну. Тут кожна точка має один «голос», хоч як далеко вона стоїть, тому мільйонер важить як будь-хто інший.
Статистики називають це точкою руйнування. Щоб зсунути середнє куди завгодно, досить змінити одне значення. Щоб так само зсунути медіану, треба зіпсувати половину даних. Тому медіану називають стійкою, а середнє — чутливим. Чутливість — не вада: саме вона робить середнє правильним для підсумків, де кожна гривня має значення.
Доходи в симуляції вище мають логнормальний розподіл: логарифм доходу нормальний, з середнім μ і розкидом σ. Для такого розподілу все рахується точно.
медіана = eμ · середнє = eμ + σ²/2 · частка нижче середнього = Φ(σ/2)
Φ — частка нормального розподілу лівіше від заданої точки. Для поточного положення повзунка: середнє більше за медіану в –, а нижче середнього – людей. Порівняйте з числами, які порахувала симуляція на 10 000 доходів.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.