Гра для вечірки
Мартін Шубік радив починати торги, коли настрій веселий, і писав, що загальна сума платежів від трьох до п'яти доларів за один долар трапляється нерідко.
Ставки ростуть кроками по 5 центів. Долар отримує найвища ставка, але друга за величиною теж платить свою суму і не отримує нічого. Ніхто не зобов'язаний торгуватися, усі вільні зупинитися будь-коли. Скільки разом заплатять продавцеві за одну купюру? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її в грі з ботами, на симуляції і в поясненнях.
Кожен окремий крок справді виглядає вигідним: здатися означає точно втратити свою ставку, а підняти ще на 5 центів дає шанс, що здасться суперник. Так ставки проходять долар, і продавець отримує обидві. Макс Базерман і Дон Мур роками продавали так студентам і менеджерам купюру в 20 доларів, і торги зазвичай закінчувалися між $20 і $70. Перевірте це в грі, на симуляції і в поясненнях.
Цю гру 1971 року описав економіст Мартін Шубік. Він радив проводити її на вечірці, де багато людей і весело.
Ведучий продає звичайну купюру в 1 долар. Для всіх вона коштує рівно долар, ні більше ні менше.
Будь-хто може назвати ставку. Кожна наступна хоча б на 5 центів вища за попередню. Торги закінчуються, коли ніхто більше не піднімає. Брати участь не обов'язково, і зупинитися можна будь-коли.
Долар отримує найвища ставка і платить її. Друга за величиною ставка теж платить продавцеві свою суму, але не отримує нічого. Решта не платить.
Скільки разом заплатять продавцеві за одну купюру в 1 долар, якщо торгуються звичайні люди?
«Ніхто не заплатить за долар більше за долар»
Так здається до першої ставки. Але учасник, який поставив 95 центів проти долара, обирає вже не «купити долар дорожче чи ні», а «точно втратити 95 центів чи ризикнути ще 10». Другий варіант виглядає кращим, і так на кожному кроці, вище долара теж.
Шубік радив грати у великій компанії: рахувати люди починають, лише коли зроблено дві ставки. Далі все вирішує пара лідерів, тож тут ми одразу беремо двох.
Такі аукціони десятиліттями проводять на заняттях і вечірках зі справжніми людьми. Скільки разом зазвичай платять двоє лідерів торгів за купюру в 1 долар?
Оберіть відповідь. Тут з'являться дані дослідів і симуляція 10 000 торгів наших ботів.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Уявіть, що ставки дійшли до 95 центів у вас і долара в суперника. Що ви втратите, якщо здастеся зараз? А якщо піднімете до $1,05 і суперник здасться?
Тепер подивіться очима суперника на крок пізніше. Чи є в цьому міркуванні щось, що зупиняє торги саме на доларі?
Продавець отримує обидві останні ставки. Якою має бути остання ставка, щоб разом вони перевищили долар? І чи часто торги зупиняються нижче?
Ви торгуєтеся за долар із п'ятьма ботами по черзі. Бот відкриває торги ставкою 5 центів, далі ви по черзі піднімаєте на 5 центів. На кожному кроці вирішуйте: підняти чи здатися. Бюджет бота таємний, видно лише його характер. Наприкінці серії побачите свій рахунок і бюджети всіх ботів.
| # | Бот | Бюджет | Ваш результат |
|---|
Два випадкові боти торгуються між собою. Продавець отримує обидві останні ставки.
Задайте правило наперед: «піднімаю, поки моя ставка не перевищить межу». Межа 0 означає «не вступаю зовсім». Симуляція проводить тисячі аукціонів проти обраних ботів і рахує середній виграш правила. Лінія показує точний розрахунок для кожної межі, точки — симуляцію.
Перший шар без формул, другий з графіком, таблицею і формулами, третій про раціональний розв'язок і історію гри.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Ви поставили 90 центів, суперник 95. Якщо здастеся, точно втратите 90 центів. Якщо піднімете до долара і суперник здасться, вийдете в нуль. Здаватися гірше, тож ви піднімаєте.
Тепер те саме бачить суперник: здатися означає втратити 95 центів, підняти до $1,05 означає втратити лише 5. На кожному кроці, і вище долара теж, ще одна ставка виглядає кращою за вірну втрату. Ця картка пояснює, чому торги проходять долар, але не де вони зупиняться: це залежить від того, скільки кожен готовий витратити. Про це наступні картки.
Продавцю не треба, щоб хтось заплатив за долар більше за долар. Досить, щоб дві останні ставки разом пройшли долар, а це стається, щойно остання ставка перевищила 50 центів. Переможець тут навіть заробив 35 центів, а продавець однаково в плюсі на 25.
Ваша попередня ставка вже пропала: вона ваша втрата, хоч що ви зробите далі. Розумне рішення дивиться лише вперед: скільки ще доведеться доплатити і який шанс, що суперник здасться. Тому на глибокому кроці продовжувати буває справді правильно, і так само міркує суперник. Помилка була раніше: коли обоє вступили в торги, не знаючи, хто протримається довше.
Проти обережного бота, який ніколи не йде вище $1,20, вигідно піднімати до кінця: ви завжди його пересидите і заробите в середньому за аукціон. Проти впертого, з бюджетом аж до $3, вигідно не вступати. А проти бота невідомого характеру найгірше зупинитися на півдорозі, близько $1,40: ви вже багато поставили, але рідко його пересиджуєте.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Ваша ставка відстає на 5 центів. Підняти означає доплатити 10 центів: ваша ставка зросте з b − 5 до b + 5. Якщо суперник одразу здасться з імовірністю q, ви отримаєте долар. Порівняймо «підняти й далі здатися» з «здатися зараз»: різниця дорівнює q · $1 − $0,10. Підняти вигідно, коли q ≥ 10%, і ваша попередня ставка в цю різницю не входить узагалі.
| Межа вашої ставки | Обережні | Азартні | Вперті | Будь-які |
|---|
Найкращий рядок у кожному стовпчику підкреслено. Проти будь-якого бота без знання його характеру кожна межа від 10 центів до $3 у середньому збиткова, найменше втрачаєте, якщо не вступаєте. Але це не закон природи: проти суперника, якого ви точно пересидите, ті самі торги приносять гроші.
Одне підняття: доплата 10 центів проти шансу q отримати долар. Невідворотна ставка b − 5 є в обох варіантах і скорочується.
Шанс, що бот здасться після вашої ставки y, якщо він щойно поставив y − 5: бюджет закінчився або він здався з власною імовірністю p. Бюджет B рівномірний від L до H.
Виграш правила «межа X»: сума за всіма бюджетами і моментами, коли хтось здається. Перемога на вашій ставці y дає 100 − y, поразка забирає вашу останню ставку.
Виручка продавця: обидві останні ставки. Вони відрізняються на 5 центів, тож виручка перевищує долар, щойно остання ставка більша за 50 центів.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Політолог Баррі О'Нілл 1986 року розв'язав гру для двох учасників з однаковими відомими бюджетами, ставками, кратними 5 центам (можна й стрибати), і правилом «за рівного виграшу не ставлю». Відповідь: перший учасник відкриває точно розрахованою ставкою, і другий узагалі не вступає. За бюджету $2,50 це 60 центів: так написано в самій статті. Тут ту саму відповідь знаходить зворотна індукція, перебираючи всі можливі торги з кінця.
Чому так. Назвемо «фортецею» ставку, вище якої суперникові не має сенсу перебивати: бюджет мінус 95 центів, мінус $1,90 і так далі. Хто стоїть на фортеці, того суперник не перебʼє, бо щоб забрати долар, йому довелося б піднятися аж до вашого бюджету. Перша ставка — найнижча фортеця. Формула: перша ставка в кроках по 5 центів дорівнює ((b − 1) mod 19) + 1, де b — бюджет у кроках, а 19 — долар мінус один крок.
Розв'язок О'Нілла тримається на тому, що обидва знають бюджети одне одного і обидва рахують ідеально. О'Нілл сам робить висновок, що пасткою аукціон за долар робить не логіка гри, а якась нераціональність учасників. Варто ж бюджетам стати таємними, як у наших ботів, і перша ставка вже нічого не гарантує.
1989 року Вольфганг Лайнінгер показав, що якщо учасники можуть змішувати ходи навмання, у грі є й рівноваги з ескалацією: торги затягуються без жодної помилки з боку гравців.
Мартін Шубік описав гру в Journal of Conflict Resolution 1971 року на трьох сторінках. Він писав, що досвід показує: продати долар значно дорожче за долар можливо, а загальна сума платежів від трьох до п'яти доларів трапляється нерідко.
Психолог Аллан Тегер присвятив таким аукціонам книжку «Too Much Invested to Quit» (1980): учасники вступають, бо не чекають, що ставки перейдуть долар, а потім тримаються, щоб виправдати вже вкладене.
Спершу математика (аукціон, де платять усі, і війна на виснаження), потім логіка (ескалація зобов'язань), потім практика (аукціони за копійку в інтернеті).
n учасників одночасно пишуть ставки в конвертах за приз у $1. Платять усі, приз отримує найвища ставка. Учасники грають рівноважну випадкову стратегію.
Аукціон за долар належить до великої родини: аукціони, де платять усі, і війни на виснаження. В останній біолог Джон Мейнард Сміт 1974 року описав двох тварин, які сперечаються за ресурс, демонструючи силу: хто довше витримає, той і отримає, а час витрачають обоє.
У симетричній рівновазі аукціону, де платять усі, кожен ставить випадкову суму з розподілом F(x) = x1/(n−1), і в середньому кожен виходить у нуль. Отже, разом усі платять у середньому рівно приз: $1. Конкуренція переводить увесь виграш учасників у кишеню продавця, навіть коли всі грають ідеально.
Проєкт уже коштував X. Щоб завершити, треба ще 4 мільйони, а готовий він принесе 3. Змінюйте вкладене.
Хоч скільки вже вкладено, завершення приносить на 1 мільйон менше, ніж зупинка. Але що більше вкладено, то важче це визнати. 1976 року психолог Баррі Стоу дав студентам бізнес-школи рольову гру з розподілом грошей на дослідження і розробки: ті, хто сам обрав напрям, який потім провалився, вкладали в нього ще більше. Він назвав це ескалацією зобов'язань.
Того ж року Річард Докінз і Тамсін Карлайл назвали цю помилку «помилкою Конкорда», на честь надзвукового лайнера, який, як часто кажуть, Британія і Франція продовжували фінансувати, бо вже вклали надто багато. Аукціон за долар — та сама пастка, тільки з суперником, який заганяє вас у неї кожною своєю ставкою.
Кожна ставка коштує учасникові $0,75 і не повертається, а ціна лоту росте на $0,15. Переможець платить кінцеву ціну. Лот: подарунковий сертифікат на $100.
Кожна ставка тут коштує в 5 разів більше, ніж додає до ціни, тож продавець отримує вшестеро більше за кінцеву ціну. У плюсі він уже тоді, коли сертифікат на $100 «продано» за $16,80. Економіст Нед Аугенблік вивчив 166 000 таких аукціонів сайту Swoopo за чотири роки: середня маржа продавця перевищила 50%, а в аукціонах за гроші виручка в середньому становила 204% номіналу.
І саме як в аукціоні за долар: що більше ставок учасник уже зробив, то рідше він виходить. За даними Аугенбліка, гравець після кількох ставок мав понад 10% шансу вийти на наступній, а після сотень ставок менше 1%. Схожа логіка тримає довгі проєкти й патентні війни: «ми вже стільки вклали, що не можемо зупинитися».
Мартін Шубік радив починати торги, коли настрій веселий, і писав, що загальна сума платежів від трьох до п'яти доларів за один долар трапляється нерідко.
Макс Базерман і Дон Мур продавали купюру в $20 студентам і менеджерам. Торги зазвичай закінчувалися між $20 і $70, а інколи доходили до $100. За двадцять років так набралося понад $30 000, які пішли на частування для групи або на благодійність.
Баррі О'Нілл порахував, що за відомих бюджетів по $2,50 перший учасник має поставити рівно 60 центів, а другий — промовчати. Він порівнював аукціон за долар із міжнародною ескалацією конфліктів.
На сайті аукціонів за копійку Swoopo понад 2 000 аукціонів за готівкові призи принесли в середньому 204% номіналу. Попри це 2011 року Swoopo збанкрутував: конкуренти легко копіювали модель.
Назву «помилка Конкорда» придумали біологи Річард Докінз і Тамсін Карлайл у статті в Nature про батьківський внесок тварин: тварина, яка вже багато вклала в потомство, не мусить через це вкладати ще.
Нед Аугенблік побачив у 13 мільйонах ставок на Swoopo, що гравець після кількох ставок виходив з аукціону з імовірністю понад 10%, а після сотень ставок — менше 1%. Невідворотні витрати тримали людей у грі.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.