На столі чотири кубики з незвичними числами на гранях. Суперник чемно пропонує: «Обирайте першим, а я візьму один з тих, що лишаться». Кожен кидає свій кубик, виграє більше число. Яким буде ваш шанс, якщо суперник обирає з розумом? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте: зіграйте проти комп'ютера, порахуйте всі пари й прочитайте пояснення.
На столі чотири кубики з незвичними числами на гранях. Здається, що, обираючи першим, ви візьмете найкращий і виграватимете щонайменше половину кидків. Але найкращого кубика тут немає: A б'є B, B б'є C, C б'є D, а D б'є A, щоразу з шансом 2/3. Хоч що ви візьмете, суперник знайде кубик, який виграє 2 кидки з 3.
Кубики звичайні, шестигранні й чесні: кожна грань випадає з шансом 1/6. Незвичні лише числа на гранях. Подивіться на них уважно, перш ніж обирати.
На гранях кубика A чотири четвірки й два нулі. На B шість трійок. На C дві шістки й чотири двійки. На D три п'ятірки й три одиниці.
Ви берете будь-який кубик. Суперник бачить ваш вибір і бере один з трьох, що лишилися.
Кожен кидає свій кубик, і виграє той, у кого випало більше число. Нічиїх із цими кубиками не буває: у різних кубиків немає однакових чисел.
Суперник знає ці кубики так само добре, як ви, і обирає з розумом. Який ваш шанс виграти кидок?
«Обираю першим, тож візьму найкращий кубик і виграватиму щонайменше половину кидків»
Насправді найкращого кубика немає. Кожен програє якомусь іншому з шансом 2/3, і суперник завжди бере саме його. Ваш шанс 1/3, хоч що ви оберете.
Ви обираєте кубик найкраще, як можете, суперник відповідає найкраще, як може. Яку частку кидків ви виграєте? Оберіть зону кнопкою під повзунком або введіть число.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Почніть з кубика B: на ньому завжди 3. Які кубики викидають більше за 3 частіше, ніж менше?
Для кожного кубика по черзі пошукайте інший, який б'є його більше ніж у половині кидків. Чи знайдеться кубик, для якого такого суперника немає?
Порахуйте D проти A: як часто випадає п'ятірка на D, і що буде, коли на D випаде одиниця?
Наступні раунди показують ваш шанс: гра проти комп'ютера, усі пари кубиків і пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Оберіть кубик, і комп'ютер візьме свій. Кидайте по одному разу або одразу по 10 і 100 кидків. Спробуйте всі чотири кубики. Потім поміняйтеся ролями: нехай першим обирає комп'ютер, а ви відповідайте.
У рядку ваш кубик, у стовпці кубик суперника. У клітинці шанс, що кубик суперника викине більше: точний дріб і частка в симуляції. Що темніша клітинка, то гірше для вас. Рамкою позначено найкращу відповідь суперника на ваш вибір.
Ваш шанс у кожному рядку дорівнює 1 мінус число в клітинці.
Нехай кубики зіграють між собою, як команди в лізі: перемога в парі, якщо кубик виграє більше половини кидків, 3 очки за перемогу, 1 за нічию (В–Н–П: перемоги, нічиї, поразки). Таблиця точна, з тих самих дробів.
Чемпіон ліги C має найбільше перемог і найбільше середнє число на гранях, проте програє B, на якому завжди лише трійка. Таблиця ліги впорядковує кубики, але кожен з них хтось б'є.
Після вашої відповіді тут з'явиться код симуляції, який можна запустити в себе.
Та сама симуляція коротко і без бібліотек. JavaScript запускається в консолі браузера (F12) або в Node, Python потребує лише стандартної бібліотеки.
// Чотири кості Ефрона. Ви обираєте кість першим, суперник бере одну з решти, і виграє більше число. Який ваш шанс, якщо суперник обирає найкращу відповідь?
const DICE = { A: [4, 4, 4, 4, 0, 0], B: [3, 3, 3, 3, 3, 3], C: [6, 6, 2, 2, 2, 2], D: [5, 5, 5, 1, 1, 1] };
const N = 100000; // кидків на кожну пару
const roll = d => d[Math.floor(Math.random() * 6)];
const names = Object.keys(DICE), win = {};
for (const x of names) for (const y of names) if (x !== y) {
let w = 0;
for (let i = 0; i < N; i++) if (roll(DICE[x]) > roll(DICE[y])) w++; // нічиїх у цих костях не буває
win[x + y] = w / N; // частка кидків, де x більше за y
}
for (const me of names) {
// суперник бере ту кість, яка найчастіше б'є вашу
const reply = names.filter(y => y !== me).reduce((a, b) => win[b + me] > win[a + me] ? b : a);
console.log('Ви', me, '· суперник', reply, '· ваш шанс', (1 - win[reply + me]).toFixed(3), 'точно 1/3 = 0.333');
}
# Чотири кості Ефрона. Ви обираєте кість першим, суперник бере одну з решти, і виграє більше число. Який ваш шанс, якщо суперник обирає найкращу відповідь?
import random
DICE = {"A": [4, 4, 4, 4, 0, 0], "B": [3, 3, 3, 3, 3, 3], "C": [6, 6, 2, 2, 2, 2], "D": [5, 5, 5, 1, 1, 1]}
N = 100_000 # кидків на кожну пару
win = {}
for x in DICE:
for y in DICE:
if x != y:
# нічиїх у цих костях не буває
w = sum(random.choice(DICE[x]) > random.choice(DICE[y]) for _ in range(N))
win[x + y] = w / N # частка кидків, де x більше за y
for me in DICE:
# суперник бере ту кість, яка найчастіше б'є вашу
reply = max((y for y in DICE if y != me), key=lambda y: win[y + me])
print("Ви", me, "· суперник", reply, "· ваш шанс", f"{1 - win[reply + me]:.3f}", "точно 1/3 = 0.333")
Інтуїція думає, що кубики можна вишикувати від найкращого до найгіршого, і перший просто бере верхній. Але «виграє частіше» — це не число, яке можна приписати кожному кубику, а стосунок між двома кубиками. І такий стосунок може замкнутися в коло.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Стрілка веде від переможця до переможеного. A б'є B, B б'є C, C б'є D, а D б'є A, щоразу 2 кидки з 3. Як у «камінь, ножиці, папір»: немає найкращого жесту, є лише відповідь на жест суперника. Тому хто обирає другим, завжди бере кубик, що стоїть у колі перед вашим.
Ця картка показує, що відбувається, але ще не чому таке можливо. Наступна картка рахує кожну стрілку на пальцях.
A проти B · 2/3На B завжди 3. A виграє, коли випадає 4: це 4 грані з 6.B проти C · 2/3Трійка програє лише шістці, а шісток на C дві з шести. Решту 4 з 6 разів випадає 2, і трійка виграє.C проти D · 2/3Шістка на C (шанс 1/3) б'є все. Двійка (шанс 2/3) б'є лише одиницю на D, тобто половину разів: 2/3 · 1/2 = 1/3. Разом 1/3 + 1/3 = 2/3.D проти A · 2/3П'ятірка на D (половина разів) б'є все на A. Одиниця (теж половина) б'є лише нуль, а нулів на A третина: 1/2 · 1/3 = 1/6. Разом 1/2 + 1/6 = 2/3.Кожен кубик зроблений так, щоб бити сусіда, і платить за це слабкістю проти іншого сусіда. B тримає стабільну трійку: цього досить проти рідкісних шісток C, але замало проти частих четвірок A.
| Кубик | Грані | Середнє | Б'є з шансом 2/3 | Програє з шансом 2/3 |
|---|---|---|---|---|
A | 4 4 4 4 0 0 | 2,67 | B | D |
B | 3 3 3 3 3 3 | 3 | C | A |
C | 6 6 2 2 2 2 | 3,33 | D | B |
D | 5 5 5 1 1 1 | 3 | A | C |
Середнє число вимірює, скільки очок кубик набере за багато кидків. Але гра питає інше: чиє число більше в одному кидку. Велика шістка в C додає багато до середнього, проте виграє в дуелі так само, як виграла б четвірка: перемога є перемога, хоч на 1, хоч на 4. Тому середні можна вишикувати в ряд (C, потім B і D, потім A), а дуелі ні.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Два кубики разом дають 6 · 6 = 36 рівноймовірних пар граней. Рядок — грань першого кубика, стовпець — другого, колір клітинки — хто виграв. У чотирьох стрілках кола переможець забирає 24 клітинки з 36, тобто 2/3. Через коло, у парах A–C і B–D, перевага менша або її немає зовсім: 20 з 36 і 18 з 36.
Для кожного вашого кубика суперник порівнює три варіанти й бере той, що виграє найчастіше. Проти A найкращий D (2/3), бо C дає лише 5/9, а B 1/3. Проти B найкращий A (2/3). Проти C найкращий B (2/3). Проти D найкращий C (2/3).
Найкраща відповідь щоразу дає рівно 2/3, тож ваш вибір нічого не змінює: шанс 1/3 з будь-яким кубиком. Якби ви обирали навмання, а суперник теж навмання з решти, ви вигравали б рівно половину: кожна пара з'являлася б в обидва боки.
Перший кубик виграє, якщо випало x, а на другому менше за x.
Чотири ланки кола:
Ваш шанс, коли суперник бере найкращу відповідь:
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Відношення транзитивне, якщо з «A краще за B» і «B краще за C» випливає «A краще за C». Для чисел це завжди так: 5 > 3 і 3 > 2, отже 5 > 2. Інтуїція переносить це на кубики, ніби кожен кубик — одне число «сили». Але кубик — це шість чисел, а «частіше викидає більше» порівнює всі 36 пар граней. Таке порівняння не зводиться до одного числа, і транзитивності ніщо не гарантує.
Найкоротший приклад ховається в магічному квадраті 3 × 3. Візьміть його рядки {4, 9, 2}, {3, 5, 7} і {8, 1, 6} як грані трьох кубиків (кожне число двічі). Тоді {8, 1, 6} б'є {3, 5, 7}, {3, 5, 7} б'є {4, 9, 2}, а {4, 9, 2} б'є {8, 1, 6}, щоразу з шансом 5/9. Це те саме, що три виборці з парадоксу Кондорсе: кожна пара програє більшості, і переможця немає.
Коли про кожну пару відомо, хто сильніший, математики називають це турніром: граф, де між будь-якими двома вершинами одна стрілка. Турнір упорядковується в рейтинг, лише якщо в ньому немає циклів. Кубики Ефрона дають цикл з чотирьох, і жодне впорядкування не погодиться з усіма дуелями: хоч як поставити A, B, C, D у рядок, хоча б одна стрілка йтиме проти нього.
Маркіз де Кондорсе помітив такі цикли ще 1785 року у виборах, де кандидатів порівнюють попарно. Монетний варіант тієї ж ідеї — гра Пенні: на будь-яку трійку орлів і решок є трійка, що випадає раніше, і другий гравець знову має перевагу. А парадокс Паррондо показує інший бік тієї самої пастки: інтуїція про «гірше» і «краще» ламається, коли ігри поєднують.
Цикл може перевернутися, якщо кинути по два кубики. Перевага в циклі має стелю. А «камінь, ножиці, папір» грають і вибори, і бактерії, і ящірки.
Кинути два однакові кубики й скласти — означає грати новим «кубиком» на 36 граней. Його шанси залежать уже не лише від того, як часто кубик перемагає, а й від того, як розкидані його числа. Тому цикл може зламатися або навіть перевернутися.
Кубики Ефрона з двома кидками вже не утворюють кола: C частіше виграє, ніж програє, проти кожного з трьох. А п'ять кубиків Джеймса Ґрайма придумано так, що одне з двох їхніх кіл з двома кубиками перевертається повністю. Гравець, який обирає другим, ще й вирішує, грати одним кубиком чи двома, і знову виграє.
Наскільки сильною може бути кожна ланка циклу? Для трьох незалежних випадкових величин (кубики — окремий випадок) найменший шанс у колі не може перевищити (√5 − 1)/2 ≈ 0,618, обернене золоте число (Станіслав Трибула, 1961). Залман Усіскін 1964 року показав, як знайти цю стелю для будь-якої кількості: для чотирьох вона рівно 2/3, тож кубики Ефрона найкращі можливі, а з ростом кількості стеля наближається до 3/4.
Той самий магічний квадрат дає й вибори. Нехай його рядки 4 9 2, 3 5 7 і 8 1 6 — оцінки трьох кандидатів, а кожен стовпець — бюлетень одного виборця: вища оцінка означає вище місце. Перевірте самі: у кожній парі кандидатів двоє виборців з трьох за одного й лише один за другого.
| Виборець | Перший вибір | Другий | Третій |
|---|---|---|---|
| 1 (стовпець 4 3 8) | Марко | Ірина | Олег |
| 2 (стовпець 9 5 1) | Ірина | Олег | Марко |
| 3 (стовпець 2 7 6) | Олег | Марко | Ірина |
Ірина (рядок 4 9 2) перемагає Олега (3 5 7) 2 : 1 (виборці 1 і 2), Олег перемагає Марка (8 1 6) 2 : 1 (виборці 2 і 3), а Марко перемагає Ірину 2 : 1 (виборці 1 і 3). Хоч кого оголосити переможцем, більшість воліла б іншого. Так само в спорті: команда, що виграла в лідера, може програти аутсайдеру, і таблиця з очками лише ховає цикл. А в A/B-тестах, де варіанти порівнюють попарно, «B кращий за A» і «C кращий за B» ще не означають, що C кращий за A: це треба перевіряти окремо. Більше про вибори — у парадоксі Кондорсе.
Цикл без найсильнішого не дає жодному гравцеві перемогти назавжди. Тому в природі такі цикли підтримують різноманіття: кожен вид чи стратегія тримається, бо має свою «жертву».
| Де | Цикл | Що з цього випливає |
|---|---|---|
| Кишкова паличка E. coli: Керр і співавтори, Nature, 2002 | Штам, що виробляє отруту коліцин, вбиває чутливий штам. Чутливий росте швидше за стійкий. Стійкий росте швидше за виробника, бо не витрачається на отруту. | На нерухомій чашці Петрі, де сусіди взаємодіють лише поруч, вижили всі три штами. У колбі, яку весь час перемішують, лишився один. |
| Плямистобокі ящірки Uta stansburiana: Сінерво й Лайвлі, Nature, 1996 | Помаранчевогорлі самці з великими територіями перемагають синьогорлих, що стережуть одну самку. Синьогорлі перемагають жовтогорлих «крадіїв». Жовтогорлі перемагають помаранчевих, пробираючись на їхні великі території. | Частки трьох типів самців роками ходять по колу: щойно один тип стає частим, розквітає той, хто його б'є. |
| Турніри й рейтинги | Гравець A частіше виграє в B, B у C, а C в A: стилі гри, що «ловлять» один одного. | Одне число рейтингу завжди впорядковує гравців, тож цикл у ньому не видно. Прогноз для конкретної пари краще будувати на їхніх особистих зустрічах. |
Широкий світ дізнався про ці кубики з колонки «Mathematical Games» у Scientific American за грудень 1970 року: «Парадокс нетранзитивних кубиків і невловимий принцип байдужості». Ґарднер описав там кубики стенфордського статистика Бредлі Ефрона.
Часто розповідають, що Воррен Баффет запропонував Біллу Ґейтсу зіграти такими кубиками й чемно дав йому обирати першим. Ґейтс роздивився кубики, щось запідозрив і наполіг, щоб першим обирав Баффет. Цю історію переказує, зокрема, Scientific American (2023).
Залман Усіскін 1964 року довів, що в циклі з чотирьох незалежних випадкових величин найслабша ланка не може бути сильнішою за 2/3. Кубики Ефрона мають рівно 2/3 на кожній ланці, тож ніякі чотири кубики не зроблять пастку для першого гравця ще глибшою.
Для трьох кубиків стеля переваги — обернене золоте число (√5 − 1)/2. Станіслав Трибула довів це 1961 року. Кубики з цілими гранями можуть лише наближатися до цього ірраціонального числа: магічний квадрат дає 5/9 ≈ 0,556.
Математик Джеймс Ґрайм придумав п'ять кубиків з двома різними колами перемог: одне йде за абеткою англійських назв кольорів, друге за довжиною цих назв. Якщо кожен кидає по два кубики, коло за довжиною перевертається, а за абеткою тримається, за одним винятком: стрілка між червоним і оливковим.
Фізик Міхаель Вінкельман 1975 року зробив три кубики з гранями 1, 2, 5, 6, 7, 9; 1, 3, 4, 5, 8, 9 і 2, 3, 4, 6, 7, 8. У кожного однакова сума граней, 30, і середнє 5. Проте кожен б'є наступного в колі: 17 кидків з 36 проти 16, а решта 3 нічиї.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.