Як обдурити поганого математика
Так називалася доповідь Хуана Паррондо в Турині, де він уперше показав ігри. Її так і не опублікували, але на неї досі посилаються як на початок історії.
Дві прості ігри з монетками, кожна з яких у довгу дорогу забирає ваші гроші. Перед кожною партією ви підкидаєте ще одну, чесну монетку і за нею обираєте, в яку з двох грати. Що станеться з грошима за тисячі партій? Зафіксуйте відповідь, а потім зіграйте самі, запустіть тисячі гравців і подивіться, звідки береться результат.
Гра A програє в середньому 1 гривню на кожні 100 партій, гра B 0,87 гривні. Але якщо перед кожною партією навмання обирати A чи B, ви виграєте в середньому 1,57 гривні на 100 партій. Секрет у тому, що гра B залежить від вашого капіталу: сама по собі вона надто часто заганяє вас у погану для себе позицію, а гра A вас звідти вибиває. Тут ви зіграєте самі, порахуєте точний ланцюг Маркова і побачите той самий трюк у фізиці молекулярних моторів.
У казино два столи. За кожним ви ставите 1 гривню на підкидання монетки: вгадали — капітал зростає на 1, ні — зменшується на 1. Різниця лише в тому, яку монетку там підкидають.
Рахуємо від нуля: +5 означає, що ви в плюсі на 5 гривень, −4 — що в мінусі на 4. Позичати можна скільки завгодно, тож гра ніколи не зупиняється.
Одна монетка, трохи нечесна: виграє з шансом 49,5%. Кожна партія в середньому забирає 1 копійку, 1 гривню за 100 партій.
Дві монетки, і яку підкидати, залежить від капіталу. Якщо він кратний 3 (…, −6, −3, 0, 3, 6, …), підкидають погану монетку з шансом 9,5%. Інакше добру, з шансом 74,5%. Якщо грати лише в B, вона теж у середньому програє, трохи менше за A: 0,87 гривні на 100 партій.
Перед кожною партією ви підкидаєте чесну монетку: орел — граєте в A, решка — в B. Що буде з капіталом за тисячі партій?
«Два мінуси разом дають мінус»
Насправді капітал росте: у середньому +1,57 гривні на 100 партій. Гра B погана лише тому, що сама часто ставить вас на число, кратне 3, де її монетка погана. Гра A майже чесна, і вона перемішує капітал так, що B частіше грає доброю монеткою.
Ці шанси взяли Грегорі Гармер і Дерек Ебботт 1999 року: 1/2 − ε, 1/10 − ε і 3/4 − ε при ε = 0,005.
Оберіть варіант, перш ніж читати далі. Перед кожною партією чесна монетка вирішує, A чи B. Граєте тисячі партій.
Нагадування: лише A втрачає 1 гривню на 100 партій, лише B 0,87.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Не думайте про гру B як про одну монетку. Яку з двох монеток підкидати, вирішує капітал. Отже, важливо, як часто капітал буває кратним 3.
Пограйте подумки лише в B з капіталом 5. Добра монетка найчастіше піднімає вас на 6. А що найчастіше відбувається на 6 і куди ви повертаєтеся?
Гра A майже чесна і не дивиться на капітал. Як вона змінює частку партій, у яких B стоїть на кратному 3? І що стане з виграшами B, якщо ця частка наблизиться до третини?
Увімкніть один зі способів і зіграйте 100 чи 1000 партій: лише A, лише B, по черзі ABAB, парами AABB або навмання. Одна гра — це лотерея, тож порівнюйте з пунктирною лінією, точним середнім. А в режимі «Сам» обирайте стіл перед кожною партією: 50 партій, хто більше?
Кожен гравець починає з нуля і грає 1000 партій. Суцільні лінії — середній капітал гравців у симуляції, пунктир — точне середнє з ланцюга Маркова. Праворуч точний виграш на 100 партій поруч із симуляцією і частка гравців, що закінчили в плюсі.
| Спосіб | Точно, /100 | Симуляція | У плюсі |
|---|
Шанси гри B залежать від того, де стоїть капітал. Тому важливо не лише, які монетки в грі, а й як часто кожна з них підкидається.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Гра B майже завжди грає доброю монеткою, 74,5%. Погана монетка лише одна, на числах, кратних 3. Якби капітал потрапляв на них у кожній третій партії, B вигравала б. Але гра B сама весь час повертає вас на ці числа. Гра A майже чесна і сама нічого не дає, зате штовхає капітал навмання вгору чи вниз і збиває його з пастки. Чому B заганяє в пастку і скільки це коштує, розберемо нижче.
Ось пастка: з 5 добра монетка найчастіше піднімає на 6, а з 6 погана скидає назад на 5. Капітал бігає туди-сюди між 5 і 6, і погану монетку підкидають знову і знову. Щоб вирватися вгору, треба пройти 6, а там шанс лише 9,5%. Тому в грі B капітал стоїть на кратному 3 не в третині партій, а в 38,4%.
| Партії B зіграно… | на кратному 3 | B виграє |
|---|
Різниця в кілька відсоткових пунктів вирішує все, бо монетки дуже різні: кожен зайвий відсоток часу на пастці коштує близько 0,65 відсоткового пункту виграшів. Коли гру обирає монетка, половину партій грає A, і капітал заходить на пастку рідше. Партії B тепер вигравають 52,1%, партії A 49,5%, разом 50,8%. Це й дає +1,57 гривні на 100 партій.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
| Остача | Шанс виграти | Частка часу |
|---|
Монетка обирається лише за остачею капіталу від ділення на 3: 0, 1 чи 2. Виграш переводить остачу на крок за годинниковою стрілкою, програш — проти. Це ланцюг Маркова з трьома станами. За тисячі партій частка часу в кожному стані перестає змінюватися: це стаціонарний розподіл π. Його знаходять з умови рівноваги: скільки ймовірності щокроку входить у стан, стільки й виходить. Тоді середній виграш за партію дорівнює π₀ · (2p₀ − 1) + π₁ · (2p₁ − 1) + π₂ · (2p₂ − 1), де pᵢ — шанс виграти в стані i.
Є коротший тест. Щоб піднятися на 3, капітал має пройти по одному разу кожну остачу: один раз 0 і двічі «не 0». Для гри B зростання чи падіння вирішує порівняння p₀ · p₁² з (1 − p₀) · (1 − p₁)²: добуток шансів трьох кроків угору проти трьох униз. У навмання змішаній грі кожна монетка — середнє монеток A і B: 29,5% на кратному 3 і 62% деінде. Пастка стає м'якшою, і добуток угору переважає.
| Порядок | B на кратному 3 | На 100 партій |
|---|
Періодичний порядок рахують так само: беруть ланцюг за один повний період (для AABB чотири партії) і його стаціонарний розподіл. У ABAB гра A стоїть рівно перед кожною B і погано перемішує: перед партією B капітал на пастці в 38% випадків, майже як без A. Пара AA зсуває капітал на −2, 0 або +2 і збиває його з пастки краще.
Гра з монетками p₀ на кратному 3 і p₁ деінде. Умова рівноваги для трьох станів (q = 1 − p):
Без ε гра B (p₀ = 1/10, p₁ = 3/4) рівно чесна: капітал на кратному 3 у 5/13 партій, і шанс виграти рівно 1/2.
Тест одного кола: гра виграє, коли три кроки вгору ймовірніші за три вниз.
Точний середній виграш за партію при ε = 1/200, звичайними дробами:
Зверніть увагу, де саме ховається парадокс. Змішана гра має монетки, які є середніми монеток A і B. Але виграш — не середнє виграшів, бо разом з монетками змінюється й частка часу в кожному стані. Виграш нелінійно залежить від монеток, тому середнє двох програшних ігор може виграти.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Хуан Паррондо, фізик з Мадрида, 1996 року розбирав броунівський храповик: частинку, яку теплові поштовхи штовхають навмання, а несиметричний пилкоподібний потенціал то вмикають, то вимикають. Кожен режим окремо нікуди частинку не везе, а їх чергування везе. Ігри A і B — дискретна версія цієї картини: A схожа на вільну дифузію, B на пилку з крутим і пологим схилом.
Ідею він показав у неопублікованій доповіді того ж року в Турині. Широко відомою вона стала після короткої статті Грегорі Гармера і Дерека Ебботта в Nature 1999 року «Програшні стратегії можуть вигравати завдяки парадоксу Паррондо», яка й дала ефекту назву.
Суперечності тут немає. Якби ігри були незалежні від капіталу, будь-яка суміш двох програшних ігор програвала б: середнє двох шансів, менших за 1/2, теж менше за 1/2. Парадокс з'являється лише тому, що B «пам'ятає» капітал, тобто своє минуле. Сам Ебботт називав такі парадокси позірними: це не логічна суперечність, а результат, що суперечить інтуїції.
Безкоштовного обіду теж немає. Гравець не обирає гру за капіталом: її обирає монетка. Але сама гра B — це правило, що дивиться на капітал. Інформація про капітал вбудована в B, а A лише не дає B застрягати там, де правило проти вас.
Від однієї суміші 50 на 50 до всієї родини: яка частка A найкраща і чи потрібен саме капітал. Потім логіка: що робить парадокс можливим. І фізика, з якої ігри виросли: храповик, що везе частинки, хоча жоден його режим їх не везе.
Математика
Частку A можна брати будь-яку. При ε = 0,005 суміш виграє приблизно від 7% до 85% партій A, а найкраща частка близько 41%: +1,66 на 100 партій. Але нечесність має бути малою: для суміші 50 на 50 парадокс зникає вже при ε ≈ 0,013.
2000 року Паррондо, Гармер і Ебботт прибрали з гри B капітал. У новій грі B монетка залежить від двох попередніх результатів: після двох програшів 9/10 − ε, після виграшу й програшу в будь-якому порядку 1/4 − ε, після двох виграшів 7/10 − ε. Стан тепер — пам'ять гри, а не гроші, а ефект той самий: ця B і A програють окремо й виграють разом, коли ε менше за 1/168. Ефект тут слабший, зате не потрібно знати капітал.
Логіка
| Гра | Точно, /100 | Симуляція |
|---|
Замініть дві монетки B однією, що виграє з тим самим загальним шансом 49,57%, але не дивиться на капітал. Окремо нова B програє стільки ж, скільки стара. А суміш з A тепер програє: шанс кожної партії — середнє двох чисел, менших за 1/2.
Звідси загальне правило. Дві програшні дії можуть разом вигравати, лише якщо одна з них залежить від стану, який друга змінює. Тоді оцінка «B програє» правдива лише для того стану, який B сама створює. В іншому оточенні та сама B виграє. Оцінювати таку дію окремо від усього, що її оточує, означає оцінювати не те.
Практика
Частинки у воді смикає тепловий рух. Коли пилкоподібний потенціал увімкнено, кожна скочується на дно своєї западини й стоїть. Коли вимкнено, частинки розпливаються в обидва боки порівну. Але якщо вмикати й вимикати по черзі, частинки їдуть: найближча вершина пилки стоїть з одного боку, і за час дифузії частинка частіше перескакує саме її.
Це перевірили на досліді: 1994 року Русле, Саломе, Аждарі і Прост рухали в один бік пластикові кульки в рідині, вмикаючи й вимикаючи несиметричне електричне поле. Дрібні кульки дифундують швидше і їдуть швидше, що видно й у симуляції. Енергію тут дає не тепло, а той, хто перемикає поле, тож закони термодинаміки не порушуються.
Схожими моделями фізики й біологи описують молекулярні мотори в клітинах, наприклад білки, що крокують уздовж мікротрубочок: Дін Астуміан 1997 року в Science, Френк Юліхер, Аждарі і Прост у тому ж році в оглядовій статті. Модель «храповика, що миготить» — одна з основних у цій галузі.
Так називалася доповідь Хуана Паррондо в Турині, де він уперше показав ігри. Її так і не опублікували, але на неї досі посилаються як на початок історії.
Стаття Гармера й Ебботта «Losing strategies can win by Parrondo's paradox» в Nature займає одну сторінку, 864-ту в 402-му томі. Саме з неї ці ігри стали відомі як парадокс Паррондо.
Стільки партій гра B грає на числі, кратному 3, замість чесної третини, 33,3%. Цих п'яти відсоткових пунктів досить, щоб гра, яка могла б вигравати, програвала.
Строге чергування ABAB… програє 0,67 на 100 партій. А AABB… виграє 1,47, ABB… навіть 5,74. Важливо не те, що ігри змішані, а те, як саме A збиває капітал перед B.
У 46-му розділі першого тому «Фейнманівських лекцій з фізики» Річард Фейнман розбирає храповик із собачкою, який мав би крутитися від теплових ударів молекул. Він показує, чому при однаковій температурі такий двигун не працює. Броунівські мотори обходять заборону, бо їх живить зовнішнє перемикання.
У версії 2000 року гра B дивиться не на капітал, а на два останні результати. Парадокс там працює, коли нечесність ε від нуля до 1/168, тобто до 0,006. Автори наголошували, що така гра працює для ширшого кола параметрів.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Поглиблено» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.