Словник / Незалежність
18 серпня 1913 року в казино Монте-Карло кулька рулетки 26 разів поспіль зупинилася на чорному. Що довше тривала серія, то певніші були гравці, що ось-ось має випасти червоне, і то більше на нього ставили. Вони програли чималі гроші. Рулетка не пам'ятає попередніх обертів, і монета теж. Це і є незалежність: минуле не змінює шансів майбутнього.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Підкидаємо монету багато разів. Щоразу, коли перед кидком випало кілька орлів поспіль, записуємо, що випаде далі. Якби решка справді була «на черзі», права колонка була б вищою.
Інша гра: тягнемо карти з перетасованої колоди й не кладемо назад. Якщо перші кілька карт червоні, червоних у колоді лишилося менше, ніж чорних. Тут наступна карта справді «пам'ятає» попередні, і шанс червоної падає.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Дві події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів другої. Формально:
P(A і B) = P(A) · P(B)
Киньмо один кубик. A — «випало парне» (2, 4, 6), шанс ½. B — «випало 1 або 2», шанс ⅓. Обидві події разом — це лише двійка, шанс ⅙ = ½ · ⅓. Отже, A і B незалежні, хоча це той самий кидок: знаючи, що випало 1 або 2, ви досі маєте рівно половину шансів на парне. А от C — «випало 1, 2 або 3», шанс ½. A і C разом — знову лише двійка, ⅙, але ½ · ½ = ¼. Ці події залежні: якщо відомо, що випало щонайбільше 3, парне має вже тільки третину шансів.
Двоє сусідів не домовляються між собою. Кожен бере парасольку приблизно в третині днів. То, може, обидва беруть разом у ⅓ · ⅓ ≈ 11% днів? Ні: обох штовхає дощ. Кожна клітинка — один день із тисячі: кольорова — парасольки в обох, сіра — лише в одного.
Модель: дощ у 30% днів; у дощ кожен бере парасольку з шансом 90%, у суху погоду 10%. Разом це 34% днів на кожного.
У 1999 році у Великій Британії юристку Саллі Кларк засудили за вбивство двох її немовлят, які померли один за одним. Педіатр Рой Мідоу заявив у суді, що шанс двох раптових дитячих смертей в одній благополучній сім'ї — 1 на 73 мільйони. Він узяв оцінку для однієї смерті, 1 на 8 543, і помножив її саму на себе.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
P(A₁ ∩ … ∩ Aₙ) = P(A₁) · … · P(Aₙ) · P(n орлів поспіль) = (½)ⁿ
П'ять орлів поспіль, якщо дивитися наперед, — рідкість: (½)⁵ = 1/32, близько 3%. Але після чотирьох уже випалих орлів п'ятий має шанс P(5 | 4) = (1/32) / (1/16) = ½. Рідкісною була вся серія, а не останній кидок. У першій симуляції серія з – орлів перед кидком трапилася в частці – усіх кидків, а формула (½)ᵏ дає –. Так само в Монте-Карло: 26 чорних поспіль на рулетці з 18 чорними секторами з 37 мають шанс (18/37)²⁶, приблизно 1 на 137 мільйонів, якщо рахувати наперед. А шанс 27-го чорного після 26 — ті самі 18/37, близько 49%.
Киньмо дві монети. A — «перша орел», B — «друга орел», C — «обидві однакові». У кожної події шанс ½. Будь-які дві з них незалежні: наприклад, A і C разом означає «обидві орли», ¼ = ½ · ½. Але всі три разом — теж лише «обидві орли», ¼, а не ½ · ½ · ½ = ⅛. Знаючи A і B, ви точно знаєте C.
| Монети | A | B | C |
|---|---|---|---|
| О О | ✓ | ✓ | ✓ |
| О Р | ✓ | · | · |
| Р О | · | ✓ | · |
| Р Р | · | · | ✓ |
Тому незалежність кількох подій означає більше, ніж незалежність кожної пари: правило добутку має справджуватися для будь-якого їх набору.
Якщо дві величини незалежні, кореляція між ними нульова. Навпаки не працює. Нехай x рівномірно розкидане від −1 до 1, а y = x². Кореляція точно нуль, бо права половина параболи піднімається, а ліва опускається. Проте y повністю визначене через x: знаючи x, ви знаєте y без жодної похибки. Кореляція бачить лише прямолінійний зв'язок, а незалежність вимагає, щоб зв'язку не було ніякого.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.