Візьміть степені двійки від 2 до 21000 і подивіться лише на першу цифру кожного числа. Яка частка з них починається з одиниці? Зафіксуйте свою відповідь, а потім перевірте її на банківському вкладі й на мільйоні добутків і прочитайте пояснення.
Візьміть степені двійки від 2 до 21000 і подивіться на першу цифру. З одиниці починається 301 число з 1000, тобто 30%, а з дев'ятки лише 4,5%. Так само поводяться сума на вкладі під відсотки, числа Фібоначчі й добутки випадкових чисел. Це закон Бенфорда: P(d) = log10(1 + 1/d).
Тут немає жодних таємничих даних. Усі числа на сторінці згенеровано за простими правилами: подвоєння, складні відсотки, числа Фібоначчі, добутки випадкових чисел. Тож кожен результат можна перевірити самостійно.
Починаємо з 2 і щоразу подвоюємо: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 і так далі, аж до 21000. Останнє число має 302 цифри. Усього маємо 1000 чисел.
Від кожного числа беремо лише першу цифру зліва: у 16 це 1, у 512 це 5, у 1024 знову 1. Нуль першою цифрою бути не може, тож варіантів дев'ять: від 1 до 9.
Те саме питання можна поставити про суму на вкладі, що росте на 7% щороку, або про добуток кількох випадкових чисел від 1 до 10. Ми перевіримо всі ці набори в раунді 3.
Яка частка з 1000 степенів двійки починається з цифри 1?
«Цифр дев'ять, отже кожній дістається по 1/9, приблизно 11%»
Насправді одиниць майже втричі більше: 30,1%. А дев'ятка стоїть першою лише в 4,5% чисел. Цифри не рівноймовірні, і перевага одиниці не випадкова.
Зафіксуйте свою відповідь, перш ніж читати далі.
Зафіксуйте свою відповідь, перш ніж читати далі. Потім порівняйте її з точним підрахунком.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Покладіть гроші під відсотки й дивіться, як рік за роком змінюється перша цифра суми. Лінійка під графіком показує, де сума зараз у межах свого порядку: між 1000 і 10 000, між 10 000 і 100 000 і так далі. Відстані на лінійці логарифмічні: множення на те саме число завжди зсуває позначку на той самий крок.
Лінійка ділиться на дев'ять зон за першою цифрою суми. Зона «1» тягнеться від 1 до 2, тобто до подвоєння. Зона «9» тягнеться від 9 до 10, а це лише +11%. Тому зона «1» займає 30% лінійки, а зона «9» лише 4,6%.
Сума щороку множиться на те саме число, тож позначка щороку робить однаковий крок праворуч. Дійшовши до 10, вона перескакує на початок наступного порядку, і перша цифра знову стає 1. Сірі точки показують кроки останніх років.
Гістограма рахує всі роки від нуля. Стовпчики показують частку років з кожною першою цифрою, чорні точки показують закон Бенфорда. За малого відсотка форма Бенфорда з'являється не одразу: сумі треба пройти кілька повних порядків. Ріст за складними відсотками лежить і в основі задачі про ряску в озері.
Кожен із 1000 гравців починає з числа 1. З кожним натисканням кожен гравець множить своє число на нове випадкове число, рівномірно розподілене від 1 до 10. Гістограма показує перші цифри всіх 1000 чисел. Ось п'ять гравців:
Після першого множення числа рівномірні від 1 до 10, і кожна цифра має шанс 1/9. Уже після трьох множень частка одиниць близька до 30%. «Точно» означає точний розподіл добутку стількох рівномірних чисел, порахований формулою з раунду 4.
Перші три набори точні: комп'ютер рахує кожне число повністю, з усіма цифрами. Четвертий набір змодельовано, бо добутки випадкові. П'ятий набір показує, що закон працює не завжди.
| Набір | З цифри 1 | Найбільше відхилення |
|---|
Найбільше відхилення: найбільша з дев'яти різниць між часткою в наборі й законом Бенфорда, у відсоткових пунктах. Для добутку 10 рівномірних чисел точний розподіл відрізняється від закону Бенфорда менш ніж на 0,01 пункту, тож відхилення в симуляції є лише випадковим шумом.
Ключ до закону в тому, що такі числа ростуть множенням, а не додаванням. А для множення природна шкала логарифмічна.
Розмітимо відрізок від 1 до 10 так, щоб множення на 10 займало всю довжину. Тоді точка x стоїть на відстані log10 x від початку. Зона першої цифри 1 тягнеться від 1 до 2, і її довжина log10 2 ≈ 0,301. Зона цифри 9, від 9 до 10, має довжину log10(10/9) ≈ 0,046.
Якщо числа розкидані рівномірно саме на такій лінійці, частка кожної цифри дорівнює довжині її зони. Це і є закон Бенфорда.
Під 7% річних 1000 гривень виростають до 2000 за 10,2 року: увесь цей час сума починається з 1. А від 9000 до 10 000 треба лише +11%, на це йде 1,6 року. Увесь порядок, від 1000 до 10 000, сума проходить за 34 роки, і 10,2 року з них (30%) вона починається з одиниці.
| Перша цифра | 1 | 2 | 3 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| 2n | 301 | 176 | 125 | 45 |
| 3 · 2n | 301 | 176 | 125 | 46 |
| 1…999 | 111 | 111 | 111 | 111 |
| 3 · (1…999) | 369 | 369 | 39 | 39 |
Уявіть, що закон перших цифр існує для цін. Тоді він не може залежати від валюти: перерахунок з гривень в іншу валюту множить усі ціни на те саме число. Перші цифри рівномірних чисел від 1 до 999 після множення на 3 перестають бути рівномірними. А набір за Бенфордом лишається майже незмінним, бо множення лише зсуває всі точки на лінійці на один крок, і рівномірний розподіл на колі від цього не змінюється.
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів. На лінійці від 1 до 10 кожне множення додає випадковий крок, а коли позначка виходить за 10, вона перескакує на початок. Кілька випадкових кроків по колу дають майже рівномірне положення. Частка одиниць для добутку 1, 2, 3 і 10 рівномірних чисел від 1 до 10: 11,1%, 24,1%, 30,1% і 30,10%.
Сума великої кількості випадкових величин має приблизно нормальний розподіл. Тому сума випадкових чисел, на відміну від добутку, розподілу Бенфорда не дає: вона зосереджена в одному вузькому діапазоні.
Закону потрібні числа, розкидані на кілька порядків величини. Його не варто чекати від зросту дорослих (майже всі від 1,5 до 2 метрів), віку, оцінок, номерів телефонів, номерів квартир чи цін на кшталт 9,99. Рівномірні числа від 1 до 999 з раунду 3 дають кожній цифрі рівно 111 чисел, тобто 11,1%.
І навпаки: широкий діапазон ще не гарантія. Усі степені десяти починаються з 1. Степені двійки, записані у вісімковій системі, починаються лише з 1, 2 або 4. Це видно в раунді 5.
Кожне подвоєння зсуває позначку на лінійці на log10 2 ≈ 0,30103. Якби цей крок був дробом p/q, позначка через q кроків повернулася б на те саме місце і ходила б по колу з q точок. Але log10 2 ірраціональний: 2a ніколи не дорівнює 10b. Тому за теоремою Вейля про рівномірний розподіл положення позначки рівномірно вкривають коло, і частка кроків у зоні «1» прямує до 0,30103.
Остання формула пояснює раунд 2: відхилення від закону Бенфорда для добутку k чисел визначають коефіцієнти Фур'є, а вони за модулем дорівнюють (ln 10 / √(ln²10 + 4π²n²))k, тобто для n = 1 приблизно 0,34k. Кожне нове множення зменшує відхилення приблизно втричі.
Перевірте три властивості закону: стійкість до зміни масштабу, закон для другої цифри і закон для систем числення з іншою основою.
Пересуньте повзунок. Ліва гістограма майже не рухається за будь-якого множника: перша цифра 1 лишається близько 30%. Права стрибає: за множника ×2 з одиниці починаються числа від 5 до 9, від 50 до 99 і від 500 до 999, щойно їх подвоїти. Це 555 чисел з 999, тобто 55,6%.
Можна довести й зворотне: якщо розподіл перших цифр не змінюється, коли всі дані множать на будь-яке число, то це обов'язково закон Бенфорда. Саме тому він з'являється там, де дані не прив'язані до одиниць виміру.
Підрахунок точний: множник має два знаки після коми, тож c = m/100, і перша цифра 2n · c та сама, що в цілого числа 2n · m.
Друга цифра вже може бути нулем, тож варіантів десять. Нуль трохи частіший (11,97%), дев'ятка трохи рідша (8,50%), але різниця значно менша, ніж для першої цифри. Для третьої й наступних цифр розподіл ще швидше наближається до рівних 10%.
Точки показують закон, стовпчики показують підрахунок для чисел від 10 і більше: таких 997 степенів двійки (від 24 = 16), 994 числа Фібоначчі (від F7 = 13) і 1000 сум на вкладі.
У системі з основою b перша цифра d має частку logb(1 + 1/d). У вісімковій системі одиниця отримує 1/3, у шістнадцятковій 1/4. У двійковій усі числа починаються з 1, тож закон там виконується, але нічого не каже.
Оберіть степені двійки й основу 8. Крок кожного подвоєння на лінійці дорівнює log8 2 = 1/3, раціональному числу. Позначка ходить по трьох точках, і числа починаються лише з 1, 2 або 4. Те саме в основах 4 і 16. Числа Фібоначчі не потрапляють у таку пастку за жодної основи.
Аудитори використовують закон Бенфорда як грубий фільтр. Якщо в наборі даних, де закон зазвичай виконується, перші цифри помітно відхиляються від нього, частину записів варто перевірити вручну. Найвідоміший прихильник цього підходу, бухгалтер-дослідник Марк Нігріні, описав його у книжці «Benford's Law: Applications for Forensic Accounting, Auditing, and Fraud Detection» (2012).
Але відхилення саме по собі нічого не доводить. Багато чесних даних закону не підкоряються: вузькі діапазони, призначені номери, ціни з порогами на кшталт 9,99. А той, хто підробляє дані й знає про закон, може його дотриматися. Тому відхилення є лише приводом поставити питання.
Астроном Саймон Ньюкомб помітив, що в таблицях логарифмів перші сторінки, з числами, що починаються з 1, затерті значно більше за інші. 1881 року він опублікував в «American Journal of Mathematics» нотатку з правилом: перша цифра N трапляється з імовірністю log(N + 1) − log N.
Фізик Френк Бенфорд 1938 року перевірив закон на 20 229 числах з 20 різних джерел: площі 335 річок, 3259 показників населення США, 104 фізичні сталі, 1800 молекулярних мас, 418 показників смертності та інші. Стаття вийшла під назвою «The Law of Anomalous Numbers».
Ньюкомб описав закон на 57 років раніше, але назвали його на честь Бенфорда. Це приклад закону Стіглера: наукові відкриття часто називають не на честь того, хто зробив їх першим.
Математик Теодор Гілл 1995 року довів, що закон виникає, коли змішують дані з багатьох різних розподілів: спершу навмання обирають розподіл, потім число з нього. Того ж року він показав, що інваріантність щодо зміни основи системи числення теж веде до закону Бенфорда.
Для деяких нескінченних послідовностей закон Бенфорда доведено строго: для чисел Фібоначчі, факторіалів, степенів двійки і степенів майже будь-якого числа k. Умова для степенів: log10 k має бути ірраціональним. Степені 10 чи 100 цієї умови не виконують.
Після виборів у США 2020 року закон Бенфорда застосовували до результатів на окремих дільницях у Чикаго, Мілвокі та інших містах. Це було помилкою: кількість голосів на дільниці рідко виходить за межі від кількох десятків до кількох тисяч, а в такому вузькому діапазоні закон і не мав би виконуватися.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.