Словник / Логарифм
Звичайний аркуш завтовшки 0,1 мм. Складіть його навпіл, потім ще раз і ще. До Місяця 384 400 км, тож здається, що складати доведеться тисячі, а то й мільйони разів. Інтуїція тут помиляється дуже сильно. Логарифм — це якраз відповідь на таке питання: скільки разів треба подвоїти, щоб дійти від одного числа до іншого.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Рухайте повзунок. Кожне складання кладе аркуш сам на себе, тож товщина подвоюється: нижня частина стовпчика — те, що було до складання, верхня — така сама копія зверху. Поряд у тому самому масштабі знайомі речі. Скільки складань вам знадобиться до Місяця?
Скільки складань треба, щоб перерости кожну річ:
Насправді аркуш вдається скласти лише разів дванадцять: далі він надто товстий і жорсткий. Але арифметика подвоєння від цього не змінюється.
Подивіться на сходинки під графіком. Речі відрізняються в тисячі й мільйони разів, а номери складань ідуть спокійно: 9, 15, 27, 32, 42. Логарифм саме так і працює: він перетворює «у скільки разів більше» на «скільки кроків подвоєння». Від книжки до Евересту різниця майже в триста тисяч разів, а складань — лише 18.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Логарифм числа x за основою b — це скільки разів треба помножити b саме на себе, щоб отримати x. Пишуть logb x. Найчастіше беруть основу 2 (подвоєння) і 10 (кількість нулів).
2 · 2 · 2 = 8 → log2 8 = 3
210 = 1024 → log2 1024 = 10
Для чисел між степенями логарифм дробовий: log2 10 ≈ 3,32, бо 10 лежить між 8 і 16.
10 · 10 · 10 = 1000 → log10 1000 = 3
Логарифм за основою 10 майже дорівнює кількості цифр числа: у числа з d цифрами він від d − 1 до d. У мільйона 7 цифр, а log10 1 000 000 = 6.
Скільки товщин аркуша вміщається до Місяця? 384 400 км = 384 400 000 000 мм = 3 844 000 000 000 разів по 0,1 мм. Тепер питаємо: скільки разів подвоїти 1, щоб отримати це число?
log2 3 844 000 000 000 ≈ 41,8 → потрібно 42 складання
Після 41 складання аркуш ще не дотягує, після 42 — вже товщий за відстань до Місяця: 439 805 км.
Найкорисніший факт про логарифми для рахунку в голові: 210 = 1024, майже 1000. Тож кожні десять подвоєнь дописують до числа приблизно три нулі. Звідси ж кілобайт у 1024 байти.
| Складань | Множник | Товщина |
|---|---|---|
| 10 | ≈ тисяча | 10,2 см |
| 20 | ≈ мільйон | 105 м |
| 30 | ≈ мільярд | 107 км |
| 40 | ≈ трильйон | 109 951 км |
Множник трохи більший за круглий: 1024 замість 1000, тому товщина щоразу трохи «обганяє» кругле число.
Ось товщина складеного аркуша після кожного складання, а поряд звичайний стос, куди щоразу кладуть ще один аркуш. На звичайній шкалі майже всі складання злипаються з нулем, а потім крива злітає. Перемкніть на логарифмічну: там кожна поділка вдесятеро більша за попередню, і подвоєння стає прямою лінією.
Багато звичних одиниць насправді логарифми: один крок шкали означає не «плюс стільки», а «у стільки разів».
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
bm · bn = bm + n ⇒ log (a · c) = log a + log c
Множити степені — це додавати показники. Тому логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів. Джон Непер опублікував таблиці логарифмів у 1614 році, і астрономи замість довгого множення почали додавати числа з таблиць. Невдовзі з'явилася логарифмічна лінійка: якщо відкладати числа на відстані log x від початку, то прикласти один відрізок до іншого — означає перемножити числа. Інженери користувалися нею ще кілька століть, аж до кишенькових калькуляторів.
–
Тут узято натуральний логарифм ln, але основа не важить: за будь-якої основи довжини змінюються в однакову кількість разів, а сума відрізків усе одно вказує на добуток.
logb x = loga x / loga b
Логарифми за різними основами відрізняються лише сталим множником. Наприклад, log2 x ≈ 3,32 · log10 x. У мільйона 6 нулів, тож подвоєнь до нього 6 · 3,32 ≈ 19,9, тобто 20. Тому графік на логарифмічній шкалі виглядає однаково за будь-якої основи: змінюються лише підписи поділок.
Покладіть гривню під 100% річних. Якщо відсотки нараховують раз на рік, буде 2 гривні. Якщо двічі по 50% — 2,25. Щомісяця — 2,61, щодня — 2,71. Що частіше, то ближче до межі, яка вже не росте: e ≈ 2,71828. Це природна основа неперервного росту, а логарифм за нею, ln, називають натуральним.
(1 + 1/n)n → e при n → ∞ · ln 2 ≈ 0,693
З ln 2 ≈ 0,693 виходить «правило 70»: за росту r% на рік сума подвоюється приблизно за 70 / r років. Перевірте, наскільки воно точне.
Логарифм працює і в зворотний бік. Загадайте число від 1 до N. На питання «воно не більше за ...?» з серединою проміжку кожна відповідь відкидає половину варіантів. Після k питань лишається N / 2k, тож питань потрібно приблизно log2 N. Так шукають слово в словнику і рядок у відсортованій таблиці.
Кожен рядок — одне питання. Довжина смужки — логарифм того, скільки чисел ще лишилося. Тому смужки коротшають рівними кроками: ділення навпіл на логарифмічній шкалі — це знову пряма лінія.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.