Ряска щодня подвоюється, і одна рослина вкриває все озеро за 30 днів. За скільки днів озеро заросте, якщо кинути дві рослини? Більшість людей відповідає «за 15». Правильна відповідь: за 29. Це задача про експоненційне зростання: коли все подвоюється щодня, половина озера заростає за останню добу. Перевірте це в грі, на графіках і через п'ять пояснень.
Цю загадку розповідають з різними героями: ряскою, лататтям, водоростями. Суть однакова. Вона показує, як погано ми відчуваємо подвоєння і чому експоненційне зростання так довго здається непомітним.
У чисте озеро кидають одну рослину ряски. Ряска — це маленька рослина, яка плаває на поверхні води.
Щодня кількість ряски подвоюється: 1, 2, 4, 8, 16… Рівно через 30 днів ряска вкриває все озеро.
Тепер у таке саме озеро кидають одразу дві рослини. Ряска росте так само.
За скільки днів дві рослини вкриють усе озеро? І на який день озеро з однією рослиною було вкрите наполовину?
«Рослин удвічі більше, отже, удвічі швидше: 15 днів»
Насправді 29 днів. Одна рослина стає двома вже за першу добу. Тож дві рослини дають фору лише на один день.
Справжня ряска так рівно не росте: коли бракує місця чи поживних речовин, зростання сповільнюється. Модель показує саме подвоєння.
Зафіксуйте відповідь, перш ніж читати далі. Одна рослина вкриває озеро за 30 днів.
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з правильною.
Пересувайте день або натисніть «Пуск». Перші три тижні озеро здається чистим. Потім за два-три дні ряска займає майже все. Яскравим кольором позначено те, що виросло за останню добу: це завжди половина всієї ряски.
| День | Вкрито |
|---|
Графік показує частку озера, вкриту ряскою, якщо почати з 1, 2, 4 або 1 000 рослин. Усі криві мають однакову форму. Кожна зсунута вліво на log₂ k днів. Перемкніть шкалу на логарифмічну: криві стануть паралельними прямими.
Тепер кожна рослина за добу ділиться на дві лише з імовірністю p. Комп'ютер вирощує 2 000 озер з однієї рослини і 2 000 озер з двох і записує, на який день кожне озеро заросло. За p = 100% виходить точна відповідь: 30 і 29 днів.
Подвоєння множить кількість ряски. Ось п'ять способів побачити, що з цього випливає.
Озеро, у яке кинули дві рослини, на день 0 виглядає так само, як перше озеро на день 1. Далі обидва озера ростуть однаково, лише друге на добу попереду. Тому воно заросте на 30 − 1 = 29-й день.
| День | Рослин | Вкрито |
|---|
Одна рослина, ті самі 30 днів. На 25-й день ряска займає 1/32 озера, приблизно 3%. Половина озера заростає за останню добу, чверть за передостанню.
Кожне подвоєння стартової кількості економить рівно один день. Тому 1 000 рослин економлять лише близько 10 днів: 1 000 ≈ 2¹⁰.
Якби ряска щодня додавала однакову площу, дві рослини справді впоралися б удвічі швидше. Але вона множиться. За 15 днів одна рослина перетворюється на 2¹⁵ рослин, і для повного озера треба ще 15 подвоєнь. Пропустити їх можна лише так: почати одразу з 32 768 рослин.
Квадратні дужки ⌈ ⌉ означають округлення вгору: беремо перший цілий день, коли частка сягає 100%. Якщо k — степінь двійки, округлювати не треба. Для 1 000 рослин на 20-й день вкрито 97,7% озера, тому повне озеро буде лише на 21-й.
Змініть розмір озера чи швидкість зростання і подивіться, як мало це змінює відповідь. А потім перевірте, скільки часу дає «запас» місця.
Звичайне озеро вміщує 2³⁰ рослин: одна рослина з подвоєнням вкриває його за 30 днів. Озеро «×2» вміщує 2³¹. За потроєння кожна рослина за добу стає трьома.
Одна рослина, звичайне озеро. Скільки часу лишається до повного заростання з моменту, коли вкрито вибрану частку?
Мислений експеримент фізика Альберта Бартлетта. Бактерії подвоюються щохвилини й заповнюють пляшку рівно опівдні. О 11:59 пляшка заповнена наполовину. Уявіть, що бактерії знайшли ще три порожні пляшки. Скільки часу це їм дасть?
| Час | Бактерій, у пляшках | Зайнято місця |
|---|
Ця загадка є в доповіді «Межі зростання», яку команда Донелли й Денніса Медоузів підготувала 1972 року для Римського клубу. Там вона подана як французька дитяча загадка про латаття у ставку, яке за 30 днів вкриває весь ставок. Відповідь та сама: наполовину ставок заросте на 29-й день.
За легендою, винахідник шахів попросив у правителя одне зернятко на першу клітинку, два на другу, чотири на третю і так далі до 64-ї. Разом це 2⁶⁴ − 1 ≈ 1,8 · 10¹⁹ зерен. На останній клітинці зерен більше, ніж на всіх попередніх разом.
Аркуш завтовшки 0,1 мм після 42 складань мав би товщину 0,1 мм · 2⁴² ≈ 440 000 км. Це більше за середню відстань до Місяця, близько 384 400 км. Насправді папір вдається скласти навпіл лише близько десятка разів.
Фізик Альберт Бартлетт понад тисячу разів прочитав лекцію «Арифметика, населення та енергія». Звідти й приклад з бактеріями в пляшці. Найбільшою вадою людства він вважав нашу нездатність зрозуміти експоненційну функцію.
Якщо щось зростає на r% на рік, воно подвоюється приблизно за 70/r років. За 7% на рік подвоєння настає приблизно за 10 років, за 2% на рік за 35. Банкіри часто беруть 72 замість 70, бо 72 зручно ділиться на 2, 3, 4, 6, 8 і 9.
На початку епідемії, поки майже всі ще вразливі, кількість випадків часто зростає приблизно експоненційно. Тому кілька днів затримки на старті мають велике значення: за кожен час подвоєння кількість хворих подвоюється, як ряска в озері.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.