Автобус приходить у середньому раз на 10 хвилин, але без розкладу: інтервали випадкові, то 2 хвилини, то 25. Ви приходите на зупинку в довільний момент. Скільки в середньому доведеться чекати? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її на автобусній лінії, симуляцією зі 100 000 пасажирів і поясненнями.
Автобус приходить у середньому раз на 10 хвилин, але без розкладу: інтервали випадкові, то 2 хвилини, то 25. Ви приходите на зупинку в довільний момент і чекаєте в середньому 10 хвилин, цілий середній інтервал. Причина в тому, що довгі інтервали займають більше часу на годиннику, тож ви частіше потрапляєте саме в них. Інтервал між автобусами, у який ви потрапили, в середньому триває 20 хвилин.
Цю задачу в теорії ймовірностей називають парадоксом очікування або парадоксом інспекції. Умова дуже проста.
Цю задачу в теорії ймовірностей називають парадоксом очікування або парадоксом інспекції: коли ви «перевіряєте» лінію у випадковий момент, ви бачите не типовий інтервал, а довший.
Автобуси однієї лінії приходять на вашу зупинку в середньому раз на 10 хвилин. За п'ять годин, з 7:00 до 12:00, їх приходить у середньому 30.
Розкладу немає. Кожен автобус приходить незалежно від інших, тому інтервали дуже різні: буває, що два автобуси приходять з різницею у 2 хвилини, а буває, що 25 хвилин немає жодного. Такий потік називають пуассонівським. З такою самою випадковістю клацає лічильник Гейгера.
Ви не дивитеся в застосунок і приходите на зупинку в довільний момент, ніяк не пов'язаний з автобусами. Чекаєте на перший автобус, який підійде.
Скільки хвилин у середньому ви чекатимете на автобус?
«Половину інтервалу, тобто 5 хвилин»
Насправді 10 хвилин. П'ять хвилин було б правильною відповіддю для автобусів, що ходять строго за розкладом. Коли інтервали випадкові, ви частіше потрапляєте в довгі, і очікування подвоюється.
Так може виглядати година такої лінії: сім автобусів, інтервали від 2 до 22 хвилин.
Зафіксуйте свою відповідь, перш ніж читати далі.
Зафіксуйте свою відповідь, перш ніж читати далі. Потім порівняйте її з розкладом і з випадковими автобусами.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Кожен рядок відповідає одній годині, від 7:00 до 12:00. Прямокутники позначають автобуси. Торкніться лінії в будь-якому місці, щоб «прийти» на зупинку в цей момент, або нехай момент обере випадок. Жовтим підсвічено інтервал, у який ви потрапили, а пурпурова стрілка показує, скільки ви чекали.
Середній інтервал цього дня близький до 10 хвилин. Але ваш «власний» середній інтервал, тобто середня довжина інтервалів, у які ви потрапили, помітно довший. Перемкніться на розклад: там усі інтервали по 10 хвилин, і очікування падає до 5.
«Точно для цього дня» рахує середнє очікування за всіма моментами з 7:00 до 12:00 саме для цих автобусів. Що більше приходів, то ближче до нього ваше середнє.
Комп'ютер будує лінію приблизно зі 100 000 випадкових автобусів, у середньому раз на 10 хвилин, і відправляє на зупинку пасажирів у випадкові моменти. Для кожного записуємо очікування і довжину інтервалу, в який він потрапив. Лінії показують точні формули, точки показують симуляцію.
Ліворуч: очікування розподілене так само, як звичайний інтервал між автобусами, із середнім 10 хвилин. Праворуч: інтервали, в які потрапили пасажири (точки), зсунуті вправо порівняно з усіма інтервалами лінії (сіра лінія). Короткі інтервали майже не трапляються, бо в них важко потрапити. Вертикальні риски позначають середні.
Помилка інтуїції не в арифметиці, а у вибірці. «Середній інтервал» рахують за автобусами, а пасажир бачить інтервал, обраний за часом.
Чотири автобуси за пів години дають три інтервали: 2, 3 і 25 хвилин, у середньому 10. Розставимо 12 пасажирів рівномірно, кожні 2,5 хвилини. У короткі інтервали потрапляє по одному, у довгий десятеро. Пасажир обирає не автобус, а момент часу, і довгий інтервал займає 25 з 30 хвилин.
Тому інтервал, у який ви потрапили, обрано з вагою, пропорційною його довжині. Це й називають вибіркою, зміщеною за довжиною (length-biased sampling).
| Інтервал | Шанс потрапити | Чекати в ньому |
|---|---|---|
| 2 | 2/30 | 1 |
| 3 | 3/30 | 1,5 |
| 25 | 25/30 | 12,5 |
Усередині інтервалу ви чекаєте в середньому його половину. Але середнє треба зважити шансами потрапити: (2 · 1 + 3 · 1,5 + 25 · 12,5) / 30 = 319/30 ≈ 10,6 хвилини. Інтервал, у який ви потрапили, має в середньому довжину (2² + 3² + 25²) / 30 ≈ 21,3 хвилини.
Половина середнього інтервалу, 5 хвилин, вийшла б, лише якби всі три інтервали були по 10.
Для пуассонівських автобусів є ще коротше пояснення. Автобуси незалежні, тож у кожну хвилину шанс, що прийде автобус, однаковий, хоч би скільки часу минуло з попереднього. Ви вже чекаєте 10 хвилин? Очікуваний залишок і далі 10 хвилин.
Отже, момент вашого приходу нічого не змінює: з будь-якої точки до наступного автобуса в середньому стільки ж, скільки від одного автобуса до наступного, тобто 10 хвилин. Цю властивість називають відсутністю пам'яті. Серед неперервних розподілів її має лише експоненційний.
Подивіться з моменту приходу в обидва боки. Уперед до наступного автобуса в середньому 10 хвилин. Назад до попереднього теж 10, бо пуассонівський потік, прокручений назад у часі, виглядає так само. Разом інтервал, у якому ви стоїте, триває в середньому 20 хвилин, удвічі довше за звичайний.
Ніякої суперечності: звичайний інтервал справді в середньому 10 хвилин, але ви стоїте не у звичайному.
В університеті проходять п'ять занять: чотири семінари по 10 студентів і одна лекція на 160. Декан рахує середню кількість студентів на занятті: (4 · 10 + 160) / 5 = 40. Тепер опитаємо всіх 200 студентів, скільки людей на їхньому занятті. 40 студентів скажуть «10», а 160 скажуть «160». Середня відповідь (4 · 10² + 160²) / 200 = 130.
Це та сама арифметика, що й з автобусами: велике заняття потрапляє в опитування стільки разів, скільки на ньому студентів, так само як довгий інтервал «ловить» пасажирів пропорційно своїй довжині. А в парадоксі дружби людина з багатьма друзями потрапляє в списки друзів багато разів, тому ваші друзі в середньому мають більше друзів, ніж ви.
Очікування дорівнює половині середнього інтервалу лише тоді, коли розкиду немає (CV = 0). Кожна одиниця CV² додає ще пів середнього інтервалу. У пуассонівського потоку стандартне відхилення інтервалу дорівнює середньому, тому CV = 1 і очікування подвоюється. Якщо автобуси збиваються в пари, розкид ще більший, і чекати доводиться довше за середній інтервал.
Пуассонівські автобуси є лише однією точкою на шкалі. Справжні лінії бувають і рівнішими, і гіршими. А зміщена вибірка ховається не лише на зупинках.
Середній інтервал завжди 10 хвилин. Змінюється лише розкид. Інтервали мають гамма-розподіл з параметром форми k: k = 1 дає пуассонівські автобуси, великі k наближаються до розкладу, k < 1 дає автобуси, що збиваються в групи. Крива показує 5 · (1 + CV²).
Навіть лінія з розкладом рідко лишається рівною. Якщо автобус трохи запізнився, на зупинках його чекає більше людей. Посадка триває довше, і він запізнюється ще більше. Наступний автобус, навпаки, підбирає менше пасажирів, їде швидше і наздоганяє його. Зрештою два автобуси приходять один за одним, а потім довго немає жодного.
Це явище називають bus bunching. Для пасажира воно гірше, ніж просто випадкові автобуси: за того самого середнього інтервалу 10 хвилин чекати доводиться понад 10. Посуньте повзунок праворуч і подивіться на числа.
А ліворуч видно, навіщо транспортникам регулярність. Перехід від випадкових автобусів до розкладу економить пасажирам у середньому 5 хвилин очікування, не додаючи жодного автобуса.
Верхня смуга показує заняття так, як їх бачить декан: кожне заняття займає однакове місце. Нижня показує їх так, як бачать студенти: ширина заняття пропорційна кількості студентів на ньому. Ткніть навмання у верхню смугу, і ви влучите в типове заняття. Ткніть у нижню, і найімовірніше влучите у велике.
Нижня смуга і є тією самою автобусною лінією: заняття замість інтервалів, студенти замість хвилин. Формула та сама: середнє очима студента дорівнює E[s²] / E[s], де s означає кількість студентів на занятті.
Обидва числа чесні, вони просто відповідають на різні питання. Декан питає, скільки в середньому студентів на одному занятті. Студент питає, скільки людей у середньому сидить з ним на одному занятті.
Механізм усюди той самий: щось довге, велике або людне частіше потрапляє в нашу вибірку, бо ми «перевіряємо» світ у випадкову мить або через випадкову людину.
| Ситуація | Що бачимо | Чому зміщено |
|---|---|---|
| Спортзал, літак, кафе | «Тут завжди людно» | У людні години там більше відвідувачів, і кожен з них бачить натовп. Порожній зал майже ніхто не бачить. |
| Опитування у в'язниці | Довгі строки | Ув'язнений з довгим строком перебуває у в'язниці довше, тому в день опитування він імовірніше буде там, ніж той, хто сидить кілька місяців. |
| Лікарня в певний день | Довгі госпіталізації | Те саме: пацієнт, що лежить місяць, потрапляє в 30 «днів перевірки», а пацієнт на один день лише в один. |
| Скринінг раку | Повільні пухлини | Повільна пухлина довго існує без симптомів, тож планове обстеження частіше ловить саме її. Це називають length time bias. |
| Забіг | Усі або дуже швидкі, або дуже повільні | Бігуна з такою самою швидкістю, як у вас, ви не обганяєте і він вас не обганяє, тож ви його майже не помічаєте. Повз вас пролітають ті, чия швидкість дуже відрізняється. |
| Друзі | У друзів більше друзів | Людина з багатьма друзями з'являється в багатьох списках друзів. Див. парадокс дружби. |
У другому томі класичного підручника Вільяма Феллера «An Introduction to Probability Theory and Its Applications» є розділ «Waiting time paradoxes». Задачу там розібрано на автобусах з експоненційними інтервалами: міркування «з симетрії» дає половину середнього інтервалу, а відсутність пам'яті дає весь інтервал. Правильна друга відповідь.
Так називається запис Аллена Дауні 2015 року в блозі «Probably Overthinking It». За даними Університету Пердью про кількість студентів на заняттях за 2013–2014 навчальний рік він порахував: на середньому занятті близько 31 студента, а середній студент сидить на занятті, де приблизно 56 людей.
У тому ж записі Дауні зафіксував прибуття 70 поїздів Червоної лінії бостонського метро між 16:00 і 17:00 за кілька днів. Середній інтервал між поїздами становив 7,8 хвилини, а інтервал, у який потрапляє пасажир, у середньому 8,8 хвилини. Поїзди ходять рівніше за пуассонівські автобуси, тому ефект менший, але він є.
Соціолог Скотт Фелд опублікував у «American Journal of Sociology» статтю «Why your friends have more friends than you do». Парадокс дружби працює за тим самим механізмом, що й автобуси: людей з багатьма друзями частіше «перевіряють», бо вони є в багатьох списках.
Bus bunching, коли автобуси однієї лінії приходять групами, є відомою проблемою транспорту. Його ще називають clumping, convoying або platooning. Запізнілий автобус збирає більше пасажирів і запізнюється ще більше, а наступний за ним наздоганяє. Тому якщо ви довго чекали, а потім прийшли два автобуси разом, це, найімовірніше, не випадковий збіг.
У медичній статистиці вибірку, зміщену за довжиною, називають length time bias. Планові обстеження частіше знаходять пухлини, що ростуть повільно і довго не дають симптомів. Через це виживаність серед виявлених на скринінгу може здаватися кращою, навіть якщо сам скринінг життя не подовжує.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.