Довжина екватора
Екватор Землі має довжину близько 40 075 км. Через обертання Земля трохи сплюснута, тому коло через полюси коротше, близько 40 008 км.
Мотузку щільно обв'язали навколо екватора, а потім подовжили на 1 метр і рівномірно підняли над землею. Більшість людей вважає, що щілина вийде тоншою за волосину, бо метр зникає на тлі 40 тисяч кілометрів. Насправді під мотузкою пролізе миша. І відповідь та сама для апельсина, Землі чи Сонця.
Це стара геометрична загадка, яку часто наводять у збірках головоломок. Вона перевіряє, як ми відчуваємо дуже великі й дуже малі числа, коли вони трапляються в одній задачі.
Мотузку щільно обв'язали навколо Землі по екватору. Її довжина дорівнює довжині екватора, близько 40 075 км. Вважаємо Землю ідеальною кулею без гір і океанів.
Мотузку розрізали й вставили шматок завдовжки 1 метр. Тепер вона на метр довша за екватор.
Мотузку піднімають над поверхнею так, що вона скрізь на однаковій висоті. Вона знову утворює коло, тільки трохи більше.
Якою буде щілина між мотузкою і землею? Чи пролізе під нею мураха? Кіт? Людина?
«Метр на 40 тисяч кілометрів? Щілина буде мікроскопічною»
Насправді щілина близько 15,9 см. Миша пройде під мотузкою не пригинаючись. Помилка в тому, що ми порівнюємо метр з усією довжиною екватора, а важливе лише те, як зміна довжини пов'язана зі зміною радіуса.
Справжній екватор має гори й западини, але задача про геометрію, а не про рельєф. Інший спосіб підняти мотузку розглянуто в раунді 5.
Пересуньте повзунок до своєї відповіді. Шкала логарифмічна: від мікрометра до 10 метрів. Під повзунком видно, хто пролізе під мотузкою за вашою відповіддю.
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з правильною.
Оберіть кулю і на скільки подовжити мотузку. Ліворуч куля цілком, праворуч збільшений фрагмент біля верхньої точки у справжньому масштабі, з котом для порівняння. Для Землі мотузка на загальному виді зливається з поверхнею, а на збільшенні щілина однакова для всіх куль.
Відносне подовження мотузки для Землі дуже мале, але радіус Землі величезний. Мале число, помножене на велике, дає звичайні 16 см.
Комп'ютер будує мотузку зі 100 000 прямих відрізків навколо кулі радіуса R, додає до неї шматок і шукає новий радіус методом поділу навпіл, без формули 2πR. Точки показують результат для радіусів від сантиметра до мільйона кілометрів. Для порівняння показано висоту «намету» з раунду 5: вона залежить від розміру кулі.
| Куля | Радіус | Довжина мотузки | Відносне подовження | Щілина | Намет |
|---|
Довжина кола пропорційна радіусу. Тому зміна довжини пропорційна зміні радіуса, і розмір кулі скорочується. Ось п'ять способів це побачити.
Кожен метр радіуса додає до кола 2π ≈ 6,28 м. І навпаки, кожен метр кола додає до радіуса 1/(2π) ≈ 0,159 м. Це правило однакове для кіл будь-якого розміру. Рухайте повзунок: R змінюється у мільярди разів, а щілина ні.
Інтуїція має рацію в одному: мотузка подовжилась у дуже малій пропорції. Але радіус зростає в тій самій пропорції, а радіус Землі становить 6 378 км. Мала частка від тисяч кілометрів дає сантиметри. Ми помиляємося, коли переносимо «мікроскопічну» пропорцію на саму щілину.
Стандартна бігова доріжка складається з двох прямих і двох віражів-півкіл. Прямі однакові для всіх доріжок, а два віражі разом утворюють повне коло. Тому кожна наступна доріжка на колі довша на 2π · 1,22 ≈ 7,67 м, хоч би якою великою була арена. Восьма доріжка без зсуву на старті була б довшою за першу приблизно на 54 м.
У правилах довжину міряють трохи всередині доріжки, тому реальні зсуви на старті трохи відрізняються від цього простого розрахунку.
При рівномірному підйомі R скорочується, тому щілина не залежить від розміру кулі. У наметі R лишається у формулі: висота росте приблизно як корінь кубічний з R. Тому для Сонця намет вищий, ніж для Землі, а для апельсина нижчий. Для малих кутів tg θ − θ ≈ θ³/3, звідси наближення.
Тепер мотузку не піднімаємо рівномірно. Вона лежить на землі, а в одній точці її відтягують угору, поки вона не натягнеться. Виходить намет: дві прямі дотичні до кулі, що сходяться на вершині. Наскільки високим він буде для Землі і додаткового метра?
Коло і квадрат з однаковим периметром, як у екватора. Мотузку подовжуємо на ту саму величину, що вище, і піднімаємо по-різному.
| Фігура | Як піднімаємо | Висота |
|---|
Екватор Землі має довжину близько 40 075 км. Через обертання Земля трохи сплюснута, тому коло через полюси коротше, близько 40 008 км.
Наприкінці XVIII століття у Франції метр визначили як одну десятимільйонну частину відстані від Північного полюса до екватора. Тому коло Землі через полюси й виходить близько 40 000 км.
Щоб мотузка навколо Землі рівномірно піднялася на 1 метр, її треба подовжити лише на 2π ≈ 6,28 м. Щоб над нею пройшла людина зростом 1,8 м, вистачить приблизно 11,3 м.
Ширина доріжки на стадіоні 1,22 м. На повному колі віражів кожна наступна доріжка довша приблизно на 2π · 1,22 ≈ 7,67 м. Через це на дистанціях з віражами бігуни стартують зі зсувом.
Якщо зайвий метр мотузки відтягнути вгору в одній точці, вершина намету підніметься на 121,5 м. Мотузка відходить від землі приблизно за 39 км від вершини в кожен бік.
Обхват Сонця близько 4,37 мільйона кілометрів, у 109 разів більше за екватор Землі. Але зайвий метр мотузки і там дає щілину 15,9 см, як для апельсина.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.