Порахуйте своїх друзів, а потім середню кількість друзів у них. Майже в будь-якій мережі друзі виявляться популярнішими. Справа не у вас: так влаштоване середнє. Людину з 50 друзями рахують 50 разів, а людину з одним другом лише раз. Перевірте це на мережі з 36 людей, на мережах із тисяч людей і через п'ять пояснень.
Парадокс дружби описав соціолог Скотт Фелд у 1991 році. Це не суперечність. Парадоксом його називають тому, що висновок звучить як образа, хоча випливає з простої арифметики.
Є група людей: клас, компанія, соцмережа. Деякі пари людей дружать. Дружба взаємна: якщо Аня дружить з Борисом, то й Борис дружить з Анею.
Ви рахуєте, скільки у вас друзів. Скажімо, 4. Математики називають це число степенем вершини.
Ви питаєте кожного з 4 друзів, скільки друзів у нього, і берете середнє. Наприклад, 3, 5, 9 і 15 дають у середньому 8.
У скількох людей мережі друзі мають у середньому більше друзів, ніж вони самі? І чи більша середня кількість друзів у «друга навмання», ніж у «людини навмання»?
«Друзі теж звичайні люди. В середньому має бути порівну»
Насправді в мережі, де в одних багато друзів, а в інших мало, друг навмання завжди популярніший за людину навмання. Рівність буває лише тоді, коли в усіх однакова кількість друзів.
Для підписок, як у Twitter/X, де зв'язок однобічний, діє схожий ефект. Детальніше в раунді 5.
Візьміть типову соціальну мережу, де є кілька дуже популярних людей і багато людей з кількома друзями. Яка частка людей має менше друзів, ніж їхні друзі в середньому? Зафіксуйте відповідь.
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з результатом симуляції мережі з 3 000 людей.
Кожне коло є людиною, лінія є дружбою, число в колі показує кількість друзів. Рожевим позначено тих, у чиїх друзів у середньому більше друзів. Перемкніть мережу на «чесну», де в кожного рівно 4 друзі, і парадокс зникне.
Комп'ютер будує мережі з однаковою середньою кількістю друзів, 6, але з різною нерівністю. У «чесній» мережі в усіх по 6 друзів. У випадковій мережі Ердеша–Реньї пари дружать навмання. У мережі Барабаші–Альберт новачки частіше дружать із тими, у кого вже багато друзів, тому з'являються «зірки». Лінія на графіку показує формулу, точки показують змодельовані мережі.
По горизонталі нерівність: коефіцієнт варіації CV, тобто стандартне відхилення кількості друзів, поділене на середнє. По вертикалі: у скільки разів у друга навмання більше друзів, ніж у людини навмання.
| Мережа | Середнє | У друга | CV | Нижче за друзів | Максимум |
|---|
Ключ у тому, як ми обираємо людей для порівняння. Коли обираємо друга, популярні люди трапляються частіше, бо вони є друзями багатьох. Ось п'ять способів це побачити.
Коли кожен називає своїх друзів, людина з 50 друзями з'являється в 50 списках, а людина з одним другом лише в одному. Тому в списку «друзів» популярні люди представлені в стільки разів частіше, скільки в них друзів. Числа взято з мережі Барабаші–Альберт із 3 000 людей з раунду 1.
П'ятеро з шести людей мають менше друзів, ніж їхній друг. Середня кількість друзів у мережі 10/6 ≈ 1,67. А якщо обрати навмання один із 10 записів у списках друзів, у цього друга в середньому 30/10 = 3 друзі.
Якщо в кожного рівно k друзів, то й у кожного друга рівно k друзів, і порівнювати нема з чим. Щойно хтось має більше друзів, ніж інші, середнє по друзях зміщується вгору. Що більший розкид, то сильніший ефект: у чесній мережі різниці немає, у випадковій друг має приблизно на одного друга більше, а в мережі з «зірками» у 2,5–3 рази більше.
Нерівність є майже в кожній реальній мережі: друзів, підписників, співавторів, авіарейсів між містами.
Перший рядок дає звичайне середнє. У другому кожна людина входить з вагою, що дорівнює кількості її друзів, тому замість d маємо d². Різниця між ними дорівнює дисперсії, поділеній на середнє. Вона нульова лише тоді, коли дисперсія нульова, тобто коли в усіх однакова кількість друзів. Останній рядок показує те саме для іншого способу рахувати: якщо для кожної людини взяти середнє її друзів, а потім усереднити по людях, результат теж не менший за E[d].
Та сама зміщена вибірка з'являється скрізь, де ми дивимося «зсередини»: студент бачить свій клас, пасажир свій автобус, а друг є частиною багатьох компаній. А ще її можна використати: друзі навмання обраних людей хворіють раніше.
Університет усереднює по класах: кожен клас має вагу 1. Студенти усереднюють по собі: клас на 210 людей опитають 210 разів, а клас на 10 людей лише 10. Це та сама вага d, що й у друзів, і та сама формула E[s²]/E[s].
Тому автобуси, ресторани й спортзали здаються переповненими частіше, ніж є насправді: ви потрапляєте туди саме тоді, коли там багато людей, бо всі ці люди теж там.
Мережа Барабаші–Альберт із 3 000 людей. Ми обираємо навмання 150 людей, а кожен із них називає одного друга. Потім запускаємо епідемію: щодня хворий заражає кожного здорового друга з імовірністю 4% і одужує з імовірністю 12%. Графік показує, яка частка кожної групи вже перехворіла.
| Де | Що порівнюємо | Чому середнє вище |
|---|---|---|
| Twitter/X | ваші підписники та ті, на кого ви підписані | на популярні акаунти підписано багато людей, тому вони частіше трапляються у ваших списках |
| Наука | співавтори та їхні цитування | продуктивні вчені пишуть з багатьма людьми, тож потрапляють у співавтори частіше |
| Університет | розмір класу | великий клас опитують стільки разів, скільки в ньому студентів |
| Транспорт | заповненість автобусів і літаків | повний рейс має більше пасажирів, які це помічають |
| Епідемії | коли людина заражається | людина з багатьма контактами має більше шансів заразитися раніше |
Соціолог Скотт Фелд описав ефект у статті «Why Your Friends Have More Friends Than You Do» в American Journal of Sociology у 1991 році. Він показав, що причина в математиці середніх, а не в тому, що люди собі заздрять чи себе недооцінюють.
У 2011 році Йохан Угандер, Браян Каррер, Ларс Бекстром і Кемерон Марлоу проаналізували мережу друзів Facebook. Понад 90% користувачів мали менше друзів, ніж у середньому мали їхні друзі.
Під час епідемії грипу 2009 року Ніколас Крістакіс і Джеймс Фаулер стежили за студентами Гарварду. Друзі навмання обраних студентів захворіли в середньому раніше, ніж самі ці студенти. Так друзі можуть слугувати раннім сигналом епідемії.
Дев'ять семінарів по 10 студентів і одна лекція на 210 дають середній клас 30. Але 70% студентів сидять на лекції, і середній клас, який бачить студент, становить 150. Обидва числа правильні, вони просто усереднюють різне.
Якщо 9 рейсів везуть по 5 людей, а один рейс 95, то в середньому в автобусі 14 пасажирів. Але середній пасажир їде в автобусі, де близько 66 людей. Та сама причина, чому кафе здається людним саме тоді, коли туди приходите ви.
Дослідження Twitter показали, що в більшості користувачів менше підписників, ніж у тих, на кого вони підписані. Цей «узагальнений парадокс дружби» працює і для інших ознак, наприклад цитувань у співавторів.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.