Словник / Дисперсія і стандартне відхилення
У двох містах середня температура за рік однакова: +15°. В одному цілий рік щось схоже на травень. У другому взимку тріщить мороз, а влітку асфальт плавиться від спеки. Середнє в них те саме, а жити там зовсім по-різному. Бракує другого числа: наскільки далеко від середнього зазвичай бувають значення.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Кожна лінія — температура за 365 днів. Обидва міста вигадані, і в обох середня за рік рівно +15°. Рухайте повзунок і зробіть погоду в місті Б гойдливішою. Середнє не зміниться ні на соту частку градуса.
місто Амісто Бсереднє, +15°
Тому поруч із середнім потрібне друге число: на скільки значення зазвичай відходять від середнього. Його називають стандартним відхиленням, а його квадрат — дисперсією.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Рецепт у три кроки. Знайдіть середнє. Для кожного значення порахуйте, на скільки воно від середнього відходить, і піднесіть до квадрата, щоб мінуси не знищили плюси. Усередніть ці квадрати: це дисперсія. Корінь з неї — стандартне відхилення σ, і воно вже в тих самих одиницях, що й дані.
14, 15, 16, 15, 15 → середнє 15
відхилення −1, 0, 1, 0, 0
квадрати 1, 0, 1, 0, 0 → дисперсія 2 / 5 = 0,4 град²
σ = √0,4 ≈ 0,6°
−5, 35, 15, −10, 40 → середнє 15
відхилення −20, 20, 0, −25, 25
квадрати 400, 400, 0, 625, 625 → дисперсія 2050 / 5 = 410 град²
σ = √410 ≈ 20,2°
Дисперсія вимірюється в «градусах у квадраті», і уявити такі одиниці важко. Тому в житті частіше називають σ: «у місті Б температура зазвичай відходить від середньої градусів на 20». Математикам зручніша дисперсія, бо з нею простіше рахувати, як видно в шарі «Глибше».
Обидві дороги забирають у середньому пів години. Перша майже завжди 26–34 хвилини. Друга зазвичай 15–30, але приблизно раз на тиждень там затор, і тоді година. Кожна точка — один робочий день із 250. За скільки хвилин до початку роботи треба виходити?
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Var X = E[(X − μ)²] = E[X²] − 2μ·E[X] + μ² = E[X²] − (E[X])²
Дисперсія — це «середнє квадратів мінус квадрат середнього». Для грального кубика: E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 = 91/6, а (E[X])² = 3,5² = 12,25. Дисперсія 35/12 ≈ 2,92, σ ≈ 1,71.
Те саме для міста Б з першої симуляції, за поточного положення повзунка: E[X²] = –, (E[X])² = 15², отже дисперсія – град², а σ = –°.
Var (X + Y) = Var X + Var Y для незалежних X і Y ⇒ σX+Y = √(σX² + σY²)
Автобус гуляє на σ = 3 хвилини, метро на σ = 4. Уся дорога гуляє не на 7, а на √(9 + 16) = 5 хвилин: затримки здебільшого не збігаються, і часом одна гасить іншу. Два кубики разом мають дисперсію 35/6 і σ ≈ 2,42, а не 1,71 + 1,71 = 3,42.
У симуляції міст температура міста Б — це сума сезону і незалежної погоди день у день. Зараз сезон дає σ = –°, погода σ = –°. Сума відхилень була б –°, а справжнє σ = –°, рівно √(– + –).
Киньте n кубиків і візьміть середнє очок. Повторіть це 4000 разів і подивіться, як розкидані ці середні. З правила додавання дисперсій виходить, що сума n кубиків має дисперсію n · 35/12, а середнє (сума, поділена на n) має σ / √n.
Щоб зменшити розкид удвічі, треба вчетверо більше кубиків; щоб удесятеро — у сто разів більше. Корінь робить точність дорогою.
Ще одна дрібниця: коли σ оцінюють за вибіркою, а справжнього середнього не знають, суму квадратів часто ділять на n − 1 замість n. Відхилення від вибіркового середнього трохи менші за відхилення від справжнього, і n − 1 це виправляє.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.