Конкурс краси Кейнса
Ідея гри старша за саму гру. Кейнс описав газетний конкурс, де треба вгадати не найгарніші обличчя, а ті, що оберуть інші, і порівняв з ним біржу. Тому гру в 2/3 від середнього часто називають конкурсом краси.
Виграє той, чиє число найближче до двох третин середнього всіх названих чисел. Тут ви граєте не з ботами, а з іншими відвідувачами сайту: ваше число піде в спільну гру, і після відповіді ви побачите, хто зараз перемагає. Назвіть своє число, а потім перевірте його в грі, на симуляції і в поясненнях.
Ланцюжок «інші теж не дурні» щоразу зменшує число на третину і доводить його до 0 (а для цілих чисел ще й до 1). Це рівновага для повністю раціональних гравців. Але живі люди роблять один-два кроки цього ланцюжка, тож у великих іграх перемагали числа від 13 до 22. Виграє той, хто на крок попереду натовпу, а не на нескінченність кроків.
Таку гру проводили в лабораторіях, на лекціях і в газетах з тисячами читачів. Правила прості, і їх знають усі учасники.
Кожен учасник таємно називає ціле число від 0 до 100 включно. Ніхто не бачить чужих чисел, поки гра не закінчиться.
Коли всі назвали, рахують середнє всіх чисел, разом з вашим, і беруть дві третини від нього. Наприклад, троє назвали 10, 30 і 80: середнє 40, ціль 2/3 · 40 ≈ 26,7.
Виграє той, чиє число найближче до цілі. У прикладі це 30: воно на 3,3 від 26,7, а 10 на 16,7. Якщо найближчих кілька, приз ділять порівну.
Інші гравці такі самі люди, як ви: вони теж читають ці правила і теж хочуть виграти. Яке число назвете ви?
«Числа будуть навмання, середнє 50, отже 33» або «усі розумні, отже 0»
Обидві відповіді програють. 33 вважає інших наївнішими за себе, 0 вважає всіх нескінченно розумними. Переможе той, хто вгадає, скільки кроків насправді роблять інші, і зробить на один більше.
Дві третини від середнього завжди менші за саме середнє, і найбільша можлива ціль — 66,7, коли всі назвали 100.
Ціле число від 0 до 100. Воно піде в гру відвідувачів сайту: виграє той, хто найближчий до 2/3 від середнього всіх відповідей.
Відповідь одна: змінити її після перевірки не вийде.
Тут з'явиться розбір вашого числа і гра з ботами.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Почніть з простого: якщо всі інші називають числа навмання, яким приблизно буде середнє? А дві третини від нього?
Але інші теж можуть зробити цей крок. Що буде з ціллю, якщо всі міркують так само, як ви щойно? А якщо всі зроблять і наступний крок?
Ви виграєте, якщо будете ближчим до цілі, ніж інші, а не якщо будете найлогічнішим. Скільки кроків цього ланцюжка, на вашу думку, зробить звичайна людина, яка вперше бачить гру?
Боти думають на різну глибину. Бот рівня 0 називає число навмання. Рівень 1 вважає всіх інших навманнями і бере 2/3 від 50. Рівень 2 вважає інших ботами рівня 1, і так далі. Бувають і боти, що одразу кажуть 0 або 1. Після кожного раунду боти бачать середнє і підлаштовуються. За замовчуванням натовп невідомий: вгадайте його за першими раундами.
Спершу назвіть своє число в раунді 1. Гра з ботами показує, які числа виграють, тож вона відкриється після вашої відповіді.
До раунду 1| Раунд | Ціль | Ви | Місце |
|---|
Тепер грають 1 000 ботів. Кожен робить випадкову кількість кроків думки: хтось нуль, хтось один, хтось три. Перший повзунок задає, скільки кроків вони роблять у середньому. Другий — яка частка ботів одразу каже 0. Лінії показують точне значення, точки — симуляцію. Числа тут дробові, щоб точно збігатися з теорією.
Симуляція показує, де опиняється ціль, тож вона відкриється після вашої відповіді в раунді 1.
До раунду 1Перший шар без формул, другий з таблицею, графіком і формулами, третій про Кейнса, історію гри і газетні конкурси.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Якщо всі називають навмання, середнє буде близько 50, і варто сказати 33. Але інші теж до цього додумаються і скажуть 33. Тоді середнє 33, і варто сказати 22. Інші й це передбачать… Кожен такий крок множить число на 2/3: 33, 22, 15, 10, 7 і так аж до 0.
Так виходить відповідь для ідеально раціональних гравців. Ця картка пояснює, звідки береться 0, але не пояснює, чому 0 програє. Про це наступна.
Ціль залежить від того, що назвуть інші. Якщо більшість зупиняється на 33 і 22, середнє виходить близько 25–35, а ціль близько 17–23. Хто сказав 0, помилився на 20 з гаком: він думав на нескінченність кроків, а треба було лише на один більше за натовп.
Тому в цій грі немає однієї правильної відповіді. Найкраще число залежить від людей за столом.
Якщо всі інші сказали 1, середнє близьке до 1, а ціль до 2/3. Число 1 від неї на третину, а 0 на дві третини. Тож коли всі кажуть 1, нікому не вигідно переходити на 0. «Усі кажуть 0» і «усі кажуть 1» — дві стійкі ситуації, якщо гравців хоча б четверо. Дробові числа прибирають другу.
Студенти в дослідженні Розмарі Нагель грали вперше, і ніхто з них у першому раунді не назвав 0. Читачі газети мали два тижні на роздуми, і нулів серед них було помітно більше, але ціль однаково вийшла 12,6.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
| Крок k | Межа, дробові числа: 100·(2/3)k | Межа, цілі числа | Рівень k: 50·(2/3)k |
|---|
Ціль ніколи не перевищує 66,7, тож будь-яке число понад 67 гірше за 67, хоч що роблять інші: воно доміноване. Якщо всі це розуміють, ціль не перевищує 2/3 · 67 ≈ 44,7, і відпадають числа понад 45. І так далі. Для дробових чисел межа 100·(2/3)k прямує до 0, але ніколи його не досягає, тож кроків нескінченно багато. Для цілих чисел ланцюжок 100 → 67 → 45 → 30 → 20 → 13 → 9 → 6 → 4 → 3 → 2 → 1 зупиняється через 11 кроків на 1: лишаються 0 і 1.
Остання колонка — інший ланцюжок: модель рівнів мислення. Тут гравець не відкидає неможливе, а відповідає на конкретну здогадку про інших, починаючи з «середнє буде 50». Саме ці числа, 33 і 22, найчастіше трапляються в справжніх іграх.
N гравців називають xi ∈ {0, 1, …, 100}. Ціль і переможець:
Після k кроків вилучення лишаються числа не більші за цю межу. Вона прямує до 0, тож єдина рівновага для дробових чисел — усі називають 0.
Цілі числа: якщо всі інші кажуть 1, а один каже 0, то 0 на відстані 2(N−1)/(3N) від цілі, а 1 на відстані (N+2)/(3N). Нуль ближчий лише при N < 4, тож «усі кажуть 1» — теж рівновага, якщо гравців щонайменше четверо (при N = 4 відстані рівні).
Рівень k відповідає на здогадку «усі інші рівня k − 1», починаючи з 50. Якщо рівні в натовпі розподілені за Пуассоном із середнім τ (як у раунді 3), середнє натовпу і ціль такі:
Якщо той самий натовп грає знову і кожен рахує від минулого середнього, а частка z одразу каже 0, ціль у раунді t спадає геометрично:
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
У 12-му розділі «Загальної теорії зайнятості, процента і грошей» Джон Мейнард Кейнс порівняв професійне інвестування з тодішніми газетними конкурсами: зі ста фотографій треба обрати шість найгарніших облич, а приз отримує той, чий вибір найближчий до вибору всіх учасників разом. Обирати варто не тих, хто подобається вам, а тих, хто сподобається іншим.
Кейнс пише про «третій ступінь», коли ми вгадуємо, що середня думка очікує від середньої думки, і додає, що дехто практикує четвертий, п'ятий і вищі. Гра в 2/3 від середнього робить ці ступені вимірюваними: кожен ступінь множить число на 2/3.
Першим таку гру, як вважають, запропонував французький журналіст Ален Леду: 1981 року в журналі Jeux & Stratégie вона була додатковим питанням конкурсу для читачів. 1986 року теоретик ігор Ерве Мулен навів її в підручнику як приклад раціоналізовних стратегій: тих, що лишаються, коли крок за кроком відкидають погані.
Розмарі Нагель 1995 року в American Economic Review першою провела гру як експеримент: групи з 15–18 студентів грали чотири раунди поспіль, переможець раунду отримував 20 марок. Вона показала, що вибір людей групується навколо 50·(2/3)k для k = 1, 2 і рідше 3, і запропонувала пояснення через глибину міркувань.
1997 року Річард Талер провів гру у Financial Times, а Антоні Бош-Доменек і Розмарі Нагель в іспанській діловій газеті Expansión, не знаючи одне про одного. Невдовзі Нагель і Райнгард Зельтен повторили її в німецькому журналі Spektrum der Wissenschaft. Переможні числа: 13, 16,99 і 14,7.
У всіх трьох найпопулярнішими були 33, 22 і рівновага 0 (або 1). Тобто натовп складався з тих, хто зробив один чи два кроки, і з тих, хто дійшов до кінця. Виграли ті, хто був між ними.
Після Нагель економісти побудували моделі, де гравці роблять скінченну кількість кроків. У моделі когнітивної ієрархії Камерера, Хо і Чонга (2004) кількість кроків у людей розподілена за Пуассоном, і в багатьох іграх дані найкраще описує середнє близько 1,5 кроку. Раунд 3 спирається на спрощену версію цієї ідеї: на рівнях, як у Нагель.
Висновок моделей той самий, що й у грі: рівновага описує, куди натовп рухається, коли грає знову і знову, але не те, що він робить першого разу.
Спершу математика (інший множник замість 2/3), потім логіка (думати про те, що думають інші про інших), потім практика (коли виходити з бульбашки, яку бачать усі).
Для будь-якого p < 1 ланцюжок той самий, лише крок інший: при p = 1/2 кожен крок ділить число навпіл, а при p = 0,9 зрізає лише десяту частину. У Нагель гра з p = 1/2 мала середнє першого раунду 27,05, з p = 2/3 — 36,73.
При p = 1 виграє той, хто вгадає саме середнє: будь-яке спільне число стійке, і гра стає грою на домовленість. При p > 1 ланцюжок іде вгору, і рівновага — 100. Нагель перевірила і це: при p = 4/3 у третьому і четвертому раундах 100 назвали 59% і 68% гравців.
Середнє можна замінити медіаною: логіка вилучення та сама, і рівновага та сама. Для цілих чисел зі множником ближчим до 1 стійких рівноваг більше: при p = 0,9 ними є «усі кажуть 0, 1, 2, 3 або 4».
| Ви робите кроків | Ваше число | Відстань до цілі |
|---|
Якщо всі інші роблять j кроків, вони називають 50·(2/3)j, і ціль 50·(2/3)j+1. Це рівно число того, хто робить j + 1 кроків. Менше кроків — ви вище цілі, більше — нижче. Найкраще бути рівно на один крок попереду.
Звідси головна думка: розумність тут не абсолютна. Гравець, який думає на десять кроків, програє натовпу, що думає на один. Теоретики ігор називають ідеальний випадок спільним знанням раціональності: усі раціональні, усі знають, що всі раціональні, усі знають, що всі знають… Достатньо, щоб ланцюжок десь обірвався, і рівновага перестає передбачати гру.
Іграшкова модель, а не порада: ціна росте на 1% на день, усі знають, що це бульбашка. Кожен планує день продажу від 0 до 100. Бульбашка лусне в день, що дорівнює 2/3 від середнього запланованого дня: тоді продажів стає забагато. Хто не встиг, втрачає половину.
Кейнс придумав конкурс краси, щоб пояснити біржу: ціна залежить не від того, скільки компанія варта, а від того, що інші думають, що думатимуть інші. У бульбашці кожен знає, що ціна завищена, і кожен сподівається продати на крок раніше за натовп. Хто вийшов «раціонально» на самому початку, пропускає зростання. Хто чекав разом з усіма, втрачає.
Перевірка: якщо інші планують день 45, бульбашка лусне в день 30. Хто продає в день 29, заробляє 1,0129 − 1 ≈ 33%. Але це іграшка з відомою формулою. На справжньому ринку дня краху не знає ніхто, правило «на крок раніше» не працює гарантовано, і ця модель не є інвестиційною порадою.
Ідея гри старша за саму гру. Кейнс описав газетний конкурс, де треба вгадати не найгарніші обличчя, а ті, що оберуть інші, і порівняв з ним біржу. Тому гру в 2/3 від середнього часто називають конкурсом краси.
Як вважають, вперше гра з'явилася у французькому журналі Jeux & Stratégie як додаткове питання конкурсу. Читачі мали назвати ціле число від 1 до мільярда, а виграло найближче до 2/3 від середнього.
У першому раунді досліду Нагель середнє було 36,73, і жоден студент не назвав 0. За чотири раунди числа помітно знизилися, але 0 так і не став найкращою відповіддю на те, що зробили інші.
У конкурсі Річарда Талера у Financial Times дозволили лише цілі числа: юрист газети вважав, що гра з дробами стане грою на чисту удачу, а такі в Британії заборонені. 1 476 читачів дали середнє 18,91, виграло 13, а призом були два авіаквитки з Лондона до Нью-Йорка чи Чикаго.
Financial Times, Expansión і Spektrum der Wissenschaft провели гру 1997 року, загалом майже 7 900 учасників. Переможні числа 13, 16,99 і 14,7 лягли в діапазон від 12 до 17, хоча читачі були різні і з різних країн.
2005 року данська газета Politiken зібрала 19 196 відповідей. Переможне значення вийшло 21,6, а приз поділили п'ятеро. Це вище, ніж у трьох газетах 1997 року: натовп буває різним.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.