Межа прямого шляху
Пливти з центру прямо від вихователя можна, лише якщо він швидший менш ніж у π ≈ 3,14 раза: учню плисти радіус, а вихователю бігти пів кола, тобто π радіусів.
Учень тікає від вихователя і стрибає в кругле озеро. Вихователь не плаває, але бігає берегом учетверо швидше, ніж учень пливе, і чекає там, де той вийде. Якщо пливти з середини прямо від вихователя, він устигає оббігти пів озера. Чи є в учня спосіб вибратися на берег раніше за вихователя? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її в грі.
Учень тікає від вихователя і стрибає в кругле озеро. Вихователь бігає берегом учетверо швидше, ніж учень пливе, тож прямий шлях не рятує. Здається, що втекти неможливо. Але біля центру учень обертається навколо середини озера швидше за вихователя. Так він стає точно навпроти нього, а звідти до берега 75 м, тоді як вихователю бігти 314 м.
Це класична задача про погоню. У старих збірках замість учня й вихователя бувають качка й лисиця, дівчина в човні й гоблін або плавець і ведмідь. Суть та сама: хто повільніший, але може пересуватися по всьому озеру, проти того, хто швидший, але прив'язаний до берега.
Озеро ідеально кругле, радіус 100 м. Довжина берега 2π · 100 ≈ 628 м, пів кола 314 м. Учень почав із середини озера: він доплив туди спокійно, бо вихователь у воду не лізе.
Учень пливе 1 м/с. Вихователь бігає берегом 4 м/с, учетверо швидше. На суші учень бігає швидше за вихователя: якщо він вийде на берег там, де вихователя немає, він утік.
Від центру до берега 100 м, тобто 100 с. Вихователю треба добігти до протилежного боку: пів кола, 314 м, за 314 / 4 = 78,5 с. Він на місці на 21,5 с раніше за учня.
Обидва бачать одне одного весь час і діють якнайкраще. Чи існує спосіб, яким учень напевно вибереться на берег раніше за вихователя?
«Він учетверо швидший і встигає навіть до найдальшої точки. Шансів немає»
Насправді шанс є. Вихователь швидший на прямій, але не в обертанні навколо центру: біля середини озера учень обертається швидше. Він виходить точно навпроти вихователя і звідти встигає до берега на 3,5 с раніше.
Вихователь бігає вчетверо швидше, ніж учень плаває, і завжди біжить туди, куди найближче до учня. Оберіть відповідь, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Прямо від вихователя не вийде: вам плисти 100 м, а йому бігти пів кола, 314 м, учетверо швидше. Пошукайте місце в озері, де ви в чомусь швидші за нього.
Біля центру кола короткі. Коло радіусом 10 м ви оплисте за 63 с, а вихователь оббігає озеро за 157 с. Хто з вас швидше обертається навколо центру?
На колі радіусом трохи менше 25 м ви можете весь час триматися точно навпроти вихователя. Скільки звідти плисти до берега, а скільки йому бігти?
Натисніть на озеро або ведіть по ньому пальцем: учень пливе туди. Годинник рушить з першим рухом. Вихователь (помаранчевий) завжди біжить найкоротшим шляхом до точки берега, найближчої до вас. Праворуч видно, хто встигне першим, якщо зараз пливти прямо до берега. Не виходить? Увімкніть безпечне коло або подивіться автопілот.
Безпечне коло має радіус 100 / k метрів. Усередині нього ви обертаєтеся навколо центру швидше за вихователя.
Комп'ютер грає за обох крок за кроком, по тисячі кроків на погоню. Учень пробує три плани: пливти з центру прямо, кружляти й ривком до берега, кружляти й по дотичній. Вихователь щоразу біжить найкоротшим шляхом. Точки показують, на скільки метрів вихователь відстає, коли учень виходить на берег (нуль означає «впіймав»). Лінії показують те саме за формулою з раунду 4.
| Вихователь швидший у | Прямо | Ривок | Дотична |
|---|
У таблиці: на скільки метрів вихователь відстає, коли учень на березі. Знайдені симуляцією пороги трохи нижчі за точні: учень у симуляції кружляє на 0,5% ближче до центру, ніж межа безпечного кола, а «впіймав» означає, що вихователь ближче ніж за пів метра.
Вихователь швидший, якщо міряти метри за секунду. Але для погоні важить інше: як швидко кожен обертається навколо центру озера. Біля середини навіть повільний плавець обертається швидше за бігуна на березі.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Це ще не вся відповідь, а її перша половина: так учень опиняється навпроти вихователя. Друга половина в сусідній картці.
Коли учень на колі радіусом 25 м точно навпроти вихователя, він повертає й пливе прямо до берега. Йому лишилося 75 м, а вихователю треба оббігти пів озера. Учень на березі на 3,5 с раніше. З центру так не вийде: там учню плисти всі 100 м, а вихователь устигає за 78,5 с.
Навіщо кружляти, а не пливти одразу до кола 25 м? Поки учень пливе до кола, вихователь теж біжить і перестає бути навпроти. Кружляння повертає учня в найдальшу від вихователя точку.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Учень навпроти вихователя на відстані r від центру. Плисти йому 100 − r секунд, вихователю бігти завжди 78,5 с. Учень устигає, якщо r більше за 21,5 м. Але триматися навпроти вихователя можна лише всередині кола 25 м: далі вихователь обертається швидше. Тож ривок можна починати лише з вузького кільця від 21,5 до 25 м.
| Вихователь швидший у k разів | Учню | Вихователю |
|---|
Безпечне коло має радіус 100 / k метрів, тож учню плисти 100 − 100 / k секунд, а вихователю бігти 314 / k секунд. Учень устигає, поки k − 1 < π, тобто поки вихователь швидший менш ніж у 4,14 раза.
Озеро радіуса R, учень пливе зі швидкістю v, вихователь біжить зі швидкістю kv. Кутова швидкість дорівнює швидкості, поділеній на радіус кола, по якому рухаєшся. Учень обертається швидше за вихователя на колах радіуса меншого за R/k.
Ривок по радіусу з кола R/k, коли вихователь навпроти: учню R − R/k, вихователю πR.
Ривок по дотичній до кола R/k у той бік, куди біжить вихователь. Учень пливе R·sin θ, де cos θ = 1/k, а вихователь мусить оббігти π + θ радіан.
Для k = 4 і озера 100 м: ривок дає 75 с проти 78,5 с, а дотична 96,8 с проти 111,5 с. Дотична довша, зате вихователю доводиться бігти більше ніж пів кола.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Прямий ривок кидає вихователю виклик «добіжи пів кола». Можна краще: не повертати до берега різко, а пливти далі по дотичній до безпечного кола, в той самий бік, куди вже біжить вихователь. Тоді він доганяє учня ззаду і мусить пробігти більше ніж пів кола. Розвернутися йому не вигідно: учень одразу переходить на дзеркальну дотичну, а пробіжка вихователя пропадає. Такий шлях дає втечу, поки вихователь швидший менш ніж у 4,6033 раза.
Задачі, де один гравець тікає, а другий доганяє, і обидва ухвалюють рішення щомиті, називають диференціальними іграми. Їх почав вивчати Руфус Айзекс у корпорації RAND: його перший звіт «Games of Pursuit» вийшов 1951 року, а книжка «Differential Games» 1965-го. Приклади там військові: перехоплення, ухиляння, прицілювання.
Головоломку з озером є у збірках Мартіна Ґарднера. Поріг 4,6 для шляху з дотичною приписують Річардові Гаю, а повне розв'язання з точним числом 4,6033 опублікувала IBM у головоломці Ponder This за травень 2001 року.
Спершу математика: як відповідь залежить від швидкості вихователя. Потім ідея, що стоїть за втечею. І нарешті, де такі погоні трапляються насправді.
Учень програє в швидкості, але виграє в кутовій швидкості біля центру. Математики розв'язують таку задачу, дивлячись на неї з точки зору вихователя: у системі, що обертається разом з ним, вихователь стоїть на місці, а озеро крутиться. Тоді видно, що учень може завести вихователя в найгірше для нього положення.
Так само ховається білка від собаки: вона бігає навколо стовбура, тримаючись з протилежного боку, і собака, хоч і швидша, по малому колу не встигає.
Схожа задача: лев і людина на круглій арені, швидкості однакові. Довго вважали, що лев, тримаючись на одному радіусі з людиною, її спіймає. 1952 року Абрам Безикович показав, що людина може тікати вічно: лев підходить як завгодно близько, але не наздоганяє. Розбір є в «Littlewood's Miscellany».
Айзекс у RAND описав «водія-вбивцю»: машина набагато швидша за пішохода, але погано повертає, а пішохід повільний, зате розвертається на місці. Це та сама гра «швидкість проти маневровості», що й в озері. Схожі моделі застосовують до перехоплення літаків і ракет: швидший, але менш маневровий переслідувач проти повільнішої, але спритнішої цілі.
Пливти з центру прямо від вихователя можна, лише якщо він швидший менш ніж у π ≈ 3,14 раза: учню плисти радіус, а вихователю бігти пів кола, тобто π радіусів.
На колі радіусом 25 м учень і вихователь роблять повне коло за однакові 157 с. Усередині цього кола учень обертається швидше, хоча пливе вчетверо повільніше.
Ривок з безпечного кола дає учню 75 с проти 78,5 с у вихователя. Перевага лише 3,5 с, тож кружляти треба біля самої межі кола 25 м.
Найкращий шлях схожий на літеру J: півколо біля центру, потім дотична. Він рятує, поки вихователь швидший менш ніж у 4,6033 раза. Задачу так і назвали в IBM Ponder This 2001 року: гобліна звали Джиммі через форму шляху.
Книжка Руфуса Айзекса «Differential Games» про ігри погоні й ухиляння вийшла 1965 року і того ж року отримала премію Ланчестера в дослідженні операцій.
2021 року журнал Quanta Magazine запропонував читачам цю задачу з плавцем і ведмедем, що біжить у 3,5 раза швидше, і попросив знайти найшвидший шлях до берега.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.