Книжка Бертрана
Жозеф Бертран описав задачу про хорду в підручнику «Calcul des probabilités», що вийшов 1889 року. Він навів три розв'язки, щоб показати: питання поставлене погано, бо не сказано, як обирати хорду.
У колі навмання проводять хорду. Який шанс, що вона довша за сторону вписаного рівностороннього трикутника? Три акуратні розв'язки дають 1/3, 1/2 і 1/4. Усі три правильні, бо «випадкова хорда» нічого не означає, доки не сказано, як саме її обирати.
Цю задачу поставив французький математик Жозеф Бертран у книжці «Calcul des probabilités» 1889 року. Він хотів показати, що слово «навмання» саме по собі не задає ймовірність.
Маємо коло радіуса R. У нього вписано рівносторонній трикутник. Його сторона дорівнює √3 · R ≈ 1,73 R.
Хордою називають відрізок, що сполучає дві точки кола. Найдовша хорда є діаметром, завдовжки 2R. Короткі хорди проходять біля краю кола.
Назвемо хорду довгою, якщо вона довша за сторону трикутника. Це те саме, що її середина лежить ближче до центру, ніж R/2.
Хорду проводять навмання. Яка ймовірність, що вона довга?
«Відповідь одна, її треба лише правильно порахувати»
Насправді три правильні розрахунки дають три різні числа. Помилки в жодному з них немає. Кожен розрахунок відповідає своєму способу обрати хорду.
Кожен спосіб здається природним. Яку відповідь дає кожен, ви побачите в раундах 2 і 3.
Зафіксуйте свою відповідь, перш ніж читати далі. Потім порівняйте її з трьома способами обрати хорду.
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з трьома розв'язками.
Оберіть спосіб і проводьте хорди. Довгі хорди позначено пурпуровим. Одна хорда показує, як її побудовано. Сотня хорд показує, що в кожного способу своя частка довгих.
Смуга показує вашу частку. Риска показує точну відповідь для цього способу: 1/3, 1/2 або 1/4. Що більше хорд, то ближче смуга до риски.
Хорди різних способів зберігаються окремо. Перемикайтеся між способами й порівнюйте малюнки: у способі 2 центр заповнено щільніше, у способі 1 щільніше біля краю.
Хорда довга тоді й лише тоді, коли її середина лежить у меншому колі радіуса R/2. Тому все вирішує, де опиняються середини хорд. Нижче показано середини за кожним способом і розподіл їхньої відстані від центру.
Нижні графіки: лінія показує точну щільність відстані середини від центру, точки показують симуляцію. По горизонталі відстань від 0 до R, по вертикалі щільність.
Кожна відповідь має коротке геометричне пояснення. Розрахунки однаково правильні. Вони описують три різні експерименти.
Поверніть коло так, щоб перший кінець опинився вгорі. Хорда довга, якщо другий кінець потрапить на нижню дугу між двома іншими вершинами трикутника. Ця дуга займає 120° з 360°, тобто третину кола.
Хорда перпендикулярна до радіуса й перетинає його в обраній точці. Сторона трикутника перетинає радіус рівно посередині, на відстані R/2 від центру. Хорда довга, якщо точка ближча до центру, тобто лежить на внутрішній половині радіуса. Шанс 1/2.
Хорда довга, якщо її середина лежить у колі радіуса R/2. Це коло вписане в трикутник. Його радіус удвічі менший, тому площа вчетверо менша: π(R/2)² = πR²/4. Випадкова точка круга потрапляє туди з шансом 1/4.
Ймовірність завжди рахують для конкретного експерименту. «Випадкова хорда» називає результат, але не каже, як його отримано. Три способи є трьома різними експериментами, тому й відповіді різні.
Те саме видно в інших задачах. У задачі про двох дітей відповідь 1/3 або 1/2 залежить від того, як ви дізналися, що один з дітей хлопчик. У задачі Монті Голла перемикатися вигідно, бо ведучий знає, де авто, і завжди відкриває двері з козою. Якби він відкривав двері навмання й випадково показав козу, шанси стали б 1/2 і 1/2.
Три щільності з раунду 3 відрізняються, тому площа під ними на відрізку від 0 до R/2 теж різна. Спосіб 1 часто дає хорди біля краю, тобто короткі. Спосіб 3 рідко ставить середину біля центру, бо там мало площі.
Чи є серед трьох відповідей «найприродніша»? Фізик Едвін Джейнс вважав, що так. А ще можна вигадати скільки завгодно нових способів, і та сама проблема виникає навіть з випадковою точкою в квадраті.
Джейнс міркував так. В умові нічого не сказано про те, де стоїть коло і якого воно розміру. Отже, відповідь не має змінюватися, якщо коло повернути, зсунути або збільшити. Він назвав такий підхід принципом максимального незнання: якщо ми чогось не знаємо, розв'язок не має від цього залежати.
Цю перевірку проходить лише один розподіл прямих, і він дає ту саму відповідь, що й спосіб 2: 1/2. Способи 1 і 3 не витримують зсуву кола. Фізично такий розподіл виникає, коли довгі соломинки кидають на коло здалеку: соломинка «не знає», де лежить коло. Симуляція тут робить саме це. Змінюйте розмір кола: частка довгих хорд лишається близько 50%.
Центри соломинок рівномірно розкидані по квадрату, напрямки випадкові. Через скінченний розмір квадрата точна частка трохи більша за 1/2, але не більше ніж на 0,5 відсоткового пункту.
Це аргумент на користь 1/2. Він не доводить, що інші відповіді хибні. Якщо експеримент справді влаштовано як спосіб 1 чи 3, правильна відповідь 1/3 чи 1/4.
Кожен рядок є ще одним «природним» способом провести хорду навмання. Точну відповідь пораховано формулою, а симуляція 100 000 хорд її перевіряє. Натисніть «Перевірити», щоб повторити симуляцію.
| Як обираємо хорду | Точно |
|---|
Беремо випадковий радіус, а відстань від центру до хорди рахуємо як d = R · uk, де u рівномірне від 0 до 1. При k = 1 це спосіб 2, при k = 1/2 це спосіб 3. Хорда довга, якщо uk < 1/2, тобто з шансом (1/2)1/k.
У квадраті позначено менший квадрат з тим самим центром і вдвічі меншою стороною. Який шанс, що випадкова точка потрапить у нього? Якщо обирати координати x і y рівномірно, шанс дорівнює частці площі: 1/4. Якщо ж обрати випадковий напрям від центру й пройти випадкову частку шляху до краю, точка потрапить у малий квадрат, коли ця частка менша за половину. Шанс 1/2.
Ті самі 1/4 і 1/2, що й у способах 3 і 2. Другий спосіб скупчує точки біля центру, як і середини хорд у способі 2.
Ще простіший приклад. Завод робить квадрати зі стороною від 1 до 2 см. Який шанс, що сторона менша за 1,5 см? Якщо випадкова сторона, то 1/2. Якщо випадкова площа від 1 до 4 см², то площа має бути меншою за 2,25 см², і шанс 1,25/3 ≈ 41,7%.
Жозеф Бертран описав задачу про хорду в підручнику «Calcul des probabilités», що вийшов 1889 року. Він навів три розв'язки, щоб показати: питання поставлене погано, бо не сказано, як обирати хорду.
У тій самій книжці є «парадокс скриньок». Є три скриньки: з двома золотими монетами, з двома срібними і з однією золотою та однією срібною. Ви навмання витягли золоту монету. Шанс, що друга монета в цій скриньці теж золота, дорівнює 2/3. Інтуїція зазвичай каже 1/2. Це близький родич задачі Монті Голла.
Так називалася стаття фізика Едвіна Т. Джейнса 1973 року. Він доводив, що якщо вимагати незмінності відповіді при поворотах, зсувах і зміні масштабу, задача Бертрана має єдиний розв'язок 1/2. Не всі погоджуються, що такі вимоги обов'язкові.
1933 року Андрій Колмогоров виклав теорію ймовірностей на аксіомах. У ній ймовірність завжди задана на конкретному просторі результатів. Парадокс Бертрана часто наводять як приклад того, навіщо потрібне таке точне означення.
Способів обрати хорду безліч, і відповіддю може бути будь-яке число від 0 до 1. Досить задати потрібний розподіл відстані від центру до хорди, як у раунді 5. Три способи Бертрана просто найвідоміші.
Кидання соломинок за Джейнсом описує той самий розподіл прямих, що й голка Бюффона. Для нього діє формула Крофтона: випадкова пряма перетинає опуклу фігуру з імовірністю, пропорційною її периметру. Цю галузь називають інтегральною геометрією.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.