Красуню присипляють і підкидають монету. Якщо орел, її будять один раз, якщо решка, двічі, і щоразу стирають пам'ять про попереднє пробудження. Прокинувшись, вона не знає, який сьогодні день. Яким має бути її шанс на орла? Зафіксуйте свою відповідь, а потім перевірте її ставками, симуляцією і поясненнями.
Красуню присипляють і підкидають монету. Якщо орел, її будять один раз, якщо решка, двічі, і щоразу стирають пам'ять. Серед усіх пробуджень лише третина припадає на орла, а серед експериментів половина. Філософи сперечаються з 2000 року: «третинники» рахують пробудження, «половинники» рахують експерименти. Нижче видно, яке питання ставить кожен табір і чиї ставки окупаються.
Це одна з небагатьох задач на сайті, де серйозні дослідники досі не дійшли згоди. Тож замість «правильної відповіді» ми покажемо, звідки береться кожне число і яке питання воно насправді відповідає.
Красуню присипляють. Вона заздалегідь знає всі правила. Поки вона спить, дослідники підкидають чесну монету.
Якщо випав орел, її будять у понеділок, ставлять питання і знову присипляють до кінця експерименту, у середу.
Якщо випала решка, її будять у понеділок і у вівторок. Після понеділка їй дають ліки, які стирають спогад про це пробудження. Вівторок для неї виглядає точно як понеділок.
Щоразу, прокинувшись, вона чує: «Наскільки ви впевнені, що монета впала орлом?» Вона не знає, понеділок зараз чи вівторок і чи будили її раніше. Яку ймовірність їй варто назвати?
«Монета чесна, нового я нічого не дізналася. Отже, 1/2»
Так міркують «половинники», і серед них був філософ Девід Льюїс. Але якщо рахувати пробудження, то з трьох можливих пробуджень лише одне припадає на орла. Тому «третинники», як Адам Елга, кажуть 1/3. Обидва числа правильні, але відповідають на різні питання, і ставки показують, коли яке з них потрібне.
Орел позначаємо літерою О, решку літерою Р. Понеділок і вівторок: Пн і Вт.
Уявіть себе на її місці: ви прокинулися і не знаєте, який сьогодні день. Зафіксуйте відповідь, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Уявіть, що експеримент повторили 1 000 разів. Порахуйте дві речі: скільки було експериментів і скільки було пробуджень.
Орел дає одне пробудження, решка два. Скільки з усіх пробуджень припадає на орла, а скільки з усіх експериментів?
500 експериментів з орлом дають 500 пробуджень, 500 з решкою дають 1 000. Подумайте, про яку частку питають Красуню, коли будять її і питають щоразу заново.
Підкидаємо монету і будимо вас один чи два рази. Щоразу ви ставите 1 ₴ на орла або на решку. Дві каси рахують ставки по-різному. Каса «на пробудження» приймає 1 ₴ на кожному пробудженні. Каса «на експеримент» приймає 1 ₴ за весь експеримент, тож при решці кожне з двох пробуджень важить пів гривні. Подивіться, яка стратегія виграє в якій касі.
| Стратегія | На пробудження | На експеримент |
|---|
Ваша впевненість в орлі — це ціна, за яку квиток вам ні вигідний, ні збитковий. Середній прибуток з квитка за кожної ціни, на ваших же експериментах:
| Ціна | Купуєте на кожному пробудженні | Один на експеримент |
|---|
Комп'ютер проводить експерименти один за одним і веде два підрахунки: яка частка експериментів закінчилася орлом і яка частка пробуджень сталася після орла. Ті самі монети, ті самі пробудження, різниться лише знаменник.
Суперечка не про арифметику: усі згодні, що орел припадає на 1/3 пробуджень і на 1/2 експериментів. Сперечаються про те, яке з цих чисел має назвати Красуня, коли її питають про «шанс орла».
Прокинувшись, Красуня може бути в одній із трьох ситуацій: О-Пн, Р-Пн, Р-Вт. Р-Пн і Р-Вт для неї нерозрізненні, тож однаково ймовірні. А якби їй сказали «сьогодні понеділок», шанси О і Р мали б бути рівні: монету можна підкинути й після понеділкового пробудження, а чесна монета дає 1/2. Отже, усі три ситуації рівноймовірні, і на орла припадає 1/3. Так міркував Адам Елга у 2000 році.
У неділю шанс орла 1/2. Прокинувшись, Красуня не отримує жодної інформації, якої не мала б у неділю: вона знала, що її точно розбудять. А ймовірність змінюється лише з новою інформацією, тож лишається 1/2. Так відповів Елзі Девід Льюїс у 2001 році.
Ціна позиції Льюїса: якщо Красуні повідомити, що сьогодні понеділок, вона мусить вважати орла ймовірнішим, 2/3, хоча монету, можливо, ще навіть не підкинули. Багатьом це здається дивним, і на цьому місці більшість суперечок і зосереджена.
| Експерименти | Пробудження | |
|---|---|---|
| Орел | 500 | 500 |
| Решка | 500 | 1 000 |
| Частка орла | 500/1000 = 1/2 | 500/1500 = 1/3 |
«У якій частці експериментів випав орел?» Відповідь 1/2. «Після якої частки пробуджень монета лежить орлом?» Відповідь 1/3. Філософ Беррі Ґройсман у 2008 році доводив, що обидва табори мають рацію, просто відповідають на різні питання. Слова «шанс орла» допускають обидва прочитання.
Якщо при решці Красуня ставить двічі, а при орлі один раз, то її ставки на решку множаться. Тоді калібрована впевненість 1/3: за ціною 1/2 вона в середньому втрачає 1/6 на кожному квитку. Якщо ж рахують лише одну ставку за експеримент, правильна ціна 1/2. Саме це ви бачили в раунді 2. Тому філософ Крістофер Гічкок у 2004 році доводив, що половинника можна «обіграти» серією ставок, а половинники відповідають, що ставки на пробудження просто рахують решку двічі.
Частка пробуджень після орла: орел дає 1 пробудження, решка 2, кожна з шансом ½.
Частка експериментів з орлом: кожен експеримент рахується один раз, хоч скільки в ньому пробуджень.
Елга: три ситуації рівноймовірні, бо Р-Пн не відрізнити від Р-Вт, а в понеділок монета ще може бути не підкинута.
Льюїс: орел ½, а решка ділиться між двома днями по ¼. Дізнавшись, що сьогодні понеділок, половинник отримує:
Якщо при решці будять k разів, частка пробуджень після орла дорівнює:
Жодна з цих формул не помилкова. Розбіжність у тому, що ми вважаємо «одним випадком»: пробудження чи експеримент. Красуня, яку щоразу питають заново, природно відповідає про пробудження. Красуня, яку цікавить лише сама монета, відповідає про експеримент.
Від однієї монети до питань, які виглядають зовсім інакше: скільки людей ще народиться, коли звертати з траси і як правильно опитувати пацієнтів. Усюди та сама розвилка: рахувати світи чи спостерігачів, людей чи візити.
Філософ Нік Бостром запропонував екстремальну версію: при решці Красуню будять мільйон разів. Оберіть, скільки пробуджень дає решка, і подивіться, як розходяться два табори.
Третинниця при мільйоні пробуджень майже впевнена в решці: шанс орла 1/1 000 001. Чесна монета, а вона ставить на решку мільйон до одного. Половинниця тримається 1/2, але якщо їй скажуть «це твоє перше пробудження», вона мусить дати орлу 1 000 000/1 000 001, тобто майже напевно повірити в орла через саме лише слово «перше».
Кожен табір отримує свій неприємний висновок. Дехто, зокрема Бостром, обстоює «подвійне половинство»: 1/2 на пробудженні і 1/2 після слова «понеділок», ціною відмови від звичайного правила оновлення ймовірностей. Жоден варіант поки не переконав усіх.
Астрофізик Брендон Картер у 1983 році, а згодом філософ Джон Леслі міркували так. Ви приблизно стомільярдна людина, що народилася. Порівняймо два майбутні: усього буде 200 мільярдів людей (рання загибель) або набагато більше (довге майбутнє). Якщо вважати себе випадковою людиною зі свого світу, то бути стомільярдною набагато ймовірніше в малому світі. Це логіка половинників: світ рахується один раз, а ви в ньому випадкова точка.
Нік Бостром назвав два підходи так: SSA (вважай себе випадковим спостерігачем свого світу) і SIA (світ із більшою кількістю спостерігачів сам по собі ймовірніший, у якому ви існуєте). SSA відповідає половинникам і дає зсув до кінця світу. SIA відповідає третинникам: вона зважує кожен світ за кількістю людей, і ця вага точно скасовує зсув. Після SIA шанс ранньої загибелі дорівнює апріорному.
Тобто питання про Сплячу красуню на одну монету — модель питання, чи можна з власного номера в історії людства щось дізнатися про її кінець.
Мікеле Піччоне й Аріель Рубінштейн у 1997 році описали водія, який їде вночі трасою з двома з'їздами і не може відрізнити перший від другого. Звернути на першому: 0 балів. На другому: 4, це дім. Проїхати обидва: 1. Водій не пам'ятає, чи вже минав з'їзд, тож на кожному діє однаково: їде далі з імовірністю p.
Найкращий план удома: p = 2/3, бал 4/3. Але на з'їзді водій питає себе: «Де я, на першому чи на другому?» Якщо він дасть першому шанс 3/5 і почне оптимізувати лише цей момент, у нього вийде p = 1/3. Це та сама розвилка, що в Красуні: рахувати поїздку чи кожен з'їзд. Роберт Ауман, Серджіу Гарт і Мотті Перрі того ж року показали, що коли водій пам'ятає, що його рішення діє на обох з'їздах, план 2/3 лишається найкращим.
У поліклініці 1 000 пацієнтів. Половина приходить раз на рік, половина двічі. Якщо опитати людей у черзі протягом року, кожен візит дає одну анкету. Частка тих, хто ходить раз на рік, серед анкет дорівнює 500/1500 = 1/3, а серед пацієнтів 1/2. Це рівно Красуня: «рідкісний відвідувач» — орел, «частий» — решка з двома пробудженнями.
Статистики називають це вибіркою, зміщеною за частотою чи тривалістю, і виправляють вагами: анкету частого відвідувача рахують з вагою 1/2. Той самий ефект пояснює, чому автобус, який ви чекаєте, здається запізнілим частіше, ніж у розкладі: парадокс автобуса.
Задачу вигадав американський філософ Арнольд Зубофф, який викладав в Університетському коледжі Лондона. Вона ходила в рукописах із середини 1980-х, а надрукована в його статті «One Self» 1990 року. У його версії було багато днів: за одного результату монети пробудження щодня, за іншого лише в один випадковий день.
Піччоне й Рубінштейн опублікували неуважного водія в журналі теорії ігор Games and Economic Behavior. У тій самій статті є приклад, дуже схожий на Сплячу красуню, за три роки до статті Елги.
Адам Елга опублікував у журналі Analysis статтю на п'ять сторінок і відповів 1/3. Назву «Спляча красуня» він приписав Роберту Сталнакеру, який дізнався про такі приклади з рукописів Зубоффа. За рік до того задачу активно обговорювали в групі новин rec.puzzles.
Наступного року в тому самому журналі Девід Льюїс, один із найвпливовіших філософів XX століття, відповів Елзі: 1/2. Відтоді про задачу написано понад сотню статей, а табори так і звуться: третинники й половинники.
Нік Бостром, автор книжки про антропні міркування, запропонував версію з мільйоном пробуджень при решці. Вона загострює обидві позиції: третинник ставить мільйон до одного проти чесної монети, а половинник після слова «понеділок» майже впевнений в орлі.
Пітер Вінклер, відомий збирач математичних головоломок, розібрав аргументи всіх таборів у статті «The Sleeping Beauty Controversy» для American Mathematical Monthly. Свою лекцію про задачу він назвав «Математична головоломка, що породила сотню філософських статей».
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.