Парадокс раціональності
Каушик Басу опублікував гру в American Economic Review з підзаголовком «Парадокси раціональності в теорії ігор». Пізніше він був головним економістом Світового банку.
Кожен пише ціле число доларів від 2 до 100, не радячись з іншим. Обидва отримують меншу з двох цін, але хто написав меншу, отримує ще $2 бонусу, а хто більшу — на $2 менше. Однакові ціни виплачують як є. Яке число ви напишете? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її в грі з ботами, на симуляції і в поясненнях.
Якщо інший напише 100, вам вигідніше 99: отримаєте $101. Але він міркує так само, і ланцюжок «на долар менше» спускається аж до $2. Це єдина рівновага гри. Тільки живі люди так не грають: у досліді з теоретиками ігор лише 3 з 45 написали 2, а більшість писала від 95 до 100. Проти таких суперників 2 приносить у середньому , а 98 — .
Цю задачу 1994 року запропонував економіст Каушик Басу. Правила прості, а все цікаве в тому, що ви знаєте про іншого мандрівника.
Двоє незнайомих мандрівників повертаються з одного острова з однаковими старовинними вазами. Авіакомпанія розбила обидві. Справжньої ціни менеджер не знає, тож просить кожного написати її самому.
Кожен пише ціле число доларів від 2 до 100. Радитися не можна, і числа іншого ніхто не бачить, поки обидва не напишуть.
Якщо числа однакові, кожен отримує це число. Якщо різні, менеджер вважає правдивою меншу ціну: обидва отримують її, але хто написав меншу, отримує ще $2 бонусу за чесність, а хто більшу — на $2 менше як штраф.
Яке число вам варто написати, щоб отримати якомога більше?
«Напишу 100: ваза цього варта»
Але якщо інший напише 100, то 99 дасть вам $101. Якщо він теж це помітить і напише 99, вам краще 98. Строга логіка не зупиняється до 2. А живі люди зупиняються набагато раніше, і це їм вигідно.
Другий приклад узято зі статті самого Басу в Scientific American (2007).
Ціле число від 2 до 100. Воно піде в гру відвідувачів сайту: ми порахуємо, скільки воно принесло б проти чисел, які написали інші.
Відповідь одна: змінити її після перевірки не вийде.
Тут з'явиться розбір вашого числа: що каже строга логіка і скільки воно приносить проти живих людей.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Припустімо, інший напише 100. Що вам вигідніше написати: 100 чи 99? Порахуйте обидві виплати.
Тепер подивіться очима іншого: він теж може зробити цей крок. Де зупиниться ланцюжок, якщо обидва бачать його до кінця і знають, що інший теж бачить?
Грати доведеться з живою людиною, а не з ідеальним логіком. Скільки ви втратите, якщо напишете велике число, а інший пройде ланцюжок до кінця? І скільки виграєте, якщо він напише велике?
Кожна поїздка — новий незнайомий мандрівник і нові розбиті вази. Ви пишете число, бот своє, менеджер платить за правилом. Що в бота в голові, ви не знаєте, але після кожної поїздки бачите його число. Наприкінці порівняємо ваш заробіток з тим, що дало б одне незмінне число.
| # | Ви | Бот | Ваші $ | Його $ |
|---|
Спершу пройдімо ланцюжок «на долар менше» до кінця. Потім подивимося, скільки приносить кожне число проти натовпу мандрівників і як усе змінюється, коли бонус більшає.
Частки «людей» узято з досліду Беккера, Картера і Наеве з теоретиками ігор: 45 учасників обрали одне число на всі ігри. Як саме розподілилися числа всередині груп, ми не знаємо, тож тут вони рівномірні.
Натовп «люди» складено за долями з одного справжнього досліду. Хто в ньому і що пише, відкриється після відповіді в раунді 1.
«Шумні мандрівники» частіше пишуть числа, які приносять більше проти решти натовпу, але помиляються. Число, яке дає на $5 менше, кожен обирає майже втричі рідше (у 2,7 раза). Ми шукаємо натовп, який на власні помилки відповідає саме так, для кожного бонусу від $1 до $50.
Перший шар без формул, другий з таблицею і строгим доведенням, третій про те, що кажуть сам Басу, досліди і моделі «неідеальних» гравців.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Якщо інший пише 100 і ви пишете 100, ви отримуєте $100. Якщо ви пишете 99, то ваша ціна менша: ви отримуєте $99 і ще $2 бонусу, разом $101. Тобто на крок нижче за іншого — краще, ніж поруч із ним.
Але інший думає так само. Він чекає від вас 99 і пише 98. Ви це передбачаєте і пишете 97… Якщо обидва бачать ланцюжок до кінця, він закінчується на 2, нижче не можна. Ця картка пояснює, куди веде логіка, але не чому люди туди не йдуть. Про це наступні картки.
Кожен крок ланцюжка розумний сам по собі, а разом вони коштують кожному $98. Ось що мав на увазі Басу: строга логіка, яку обидва знають і в якій обидва впевнені, тут шкодить обом.
Порівняйте 99 і 2. Якщо інший напише 2, з 99 ви отримаєте $0 замість $2. Якщо напише 3, отримаєте $1 замість $4. Гірше не буває: найбільша втрата $3. А якщо інший напише 100, з 99 ви отримаєте $101 замість $4, на $97 більше.
Щоб 2 було розумним, треба бути майже певним, що інший теж пройде ланцюжок до кінця. Живій людині такої певності взяти нізвідки.
Проти натовпу, складеного за дослідом з теоретиками ігор, число 98 приносить у середньому за поїздку, 100 — , а 2 — лише . Жодне інше число не приносить так мало.
Найкраще проти людей — бути на крок-два нижче за типове число натовпу, а не на сотню кроків.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Рядки — ваше число, стовпчики — число іншого, у клітинці ваша виплата. У кожному стовпчику підкреслено найкращу відповідь. Вона завжди на одиницю менша за число іншого, а на 2 найкраще відповісти теж 2.
Пара чисел стійка, коли кожне з них — найкраща відповідь на інше. Підкреслене число стоїть на перетині саме з собою лише в стовпчику 2: тільки там «найкраще відповісти тим самим». Стійка пара одна, (2, 2).
Різні числа. Той, хто написав більше, отримує меншу ціну мінус $2. Якщо він напише на 1 менше за іншого, отримає на долар меншу ціну, але плюс $2, тобто на $3 більше. А якщо інший написав 2, досить написати теж 2: це $2 замість $0. Отже, йому є куди покращитися, і пара нестійка.
Однакові числа, більші за 2. Обидва отримують це число. Хтось один, написавши на 1 менше, отримає на $1 більше: −1 за ціну, +2 бонусу. Нестійко.
Обидва пишуть 2. Хто напише більше, отримає 2 − 2 = $0 замість $2. Нижче писати не можна. Стійко: це рівновага Неша, і вона єдина.
Число 100 ніколи не краще за 99: проти 100 воно дає $100 замість $101, проти 99 — $97 замість $99, а проти решти чисел однаково. Розумний гравець 100 не пише. Але тоді й 99 ніколи не краще за 98 серед чисел, що лишилися. Викреслюємо 99, потім 98…
Після 98 таких кроків лишається тільки 2. Кожен крок вимагає ще одного рівня «я знаю, що він знає, що я знаю…». Саме це теоретики називають спільним знанням раціональності.
Виплата за ваше число x, коли інший пише y. R — бонус і штраф ($2 у Басу).
На крок нижче за однакове число вигідніше, щойно бонус більший за крок. Тому за R > 1 жодна пара y = y > 2 не стійка, а за R = 1 стійкі всі однакові пари.
Разом двоє отримують подвоєну меншу ціну: бонус лише перекладає гроші від одного до іншого. Тому середня виплата в натовпі — це середня менша з двох цін.
Написати верхню межу H замість нижньої L: найбільша можлива втрата і найбільший можливий виграш (за R ≥ 1).
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Каушик Басу описав гру 1994 року в American Economic Review як парадокс раціональності, а 2007 року розповів про неї в Scientific American. Він не вважає, що люди, які пишуть велике число, просто помиляються. На його думку, людина може міркувати так: «напишу щось велике, скажімо 95, і чекаю, що інший напише щось схоже».
Басу визнає, що формально описати таку поведінку, коли раціональну відповідь раціонально відкидають, дуже важко. Тому гра досі слугує аргументом у суперечці про те, що таке раціональність.
1999 року Моніка Капра, Якоб Гуре, Розаріо Гомес і Чарльз Голт грали дилему зі студентами за справжні гроші: ціни від 80 до 200 центів, бонус від 5 до 80 центів. З бонусом 5 центів середнє число було 180, з бонусом 80 — 120. У повторних іграх великий бонус штовхав гравців до рівноваги 80, а малий — до протилежного краю, 200.
Тобто рівновага не «хибна»: вона стає правдоподібною, коли бонус великий порівняно з розмахом цін. У раунді 5 є просте правило, коли саме.
«Шумні мандрівники» з раунду 3 побудовані за моделлю, яку 1995 року запропонували Річард Маккелві і Томас Палфрі: гравці частіше обирають кращі варіанти, але не завжди, і рахують, що інші поводяться так само. Помилка вниз дешева, коли бонус малий, тому натовп тримається вгорі. Коли бонус великий, кожна помилка вгору дорожчає, і натовп сповзає до 2. Модель не потребує жодної «доброти» чи «довіри»: досить того, що люди не ідеальні і знають це одне про одного.
Інший погляд — рівні мислення: хтось робить один крок «на долар менше», хтось два, мало хто сто. Той самий ланцюжок «а він подумає, що я подумаю…» є і в грі «Вгадай 2/3 від середнього»: там теж виграє не той, хто думає найглибше, а той, хто на крок глибше за інших.
Спершу математика (коли рівновага стає правдоподібною), потім логіка (коли спільна раціональність шкодить усім), потім практика (цінова війна двох магазинів).
Ціни від $2 до H, бонус і штраф R. Порівнюємо «написати H» з «написати 2».
Хто пише верхню межу замість нижньої, ризикує щонайбільше 2R − 1 доларами, а виграти може до H − L − R. Поки бонус малий, ризик дрібний, а виграш великий, і писати високо розумно. Коли 2R − 1 наздоганяє H − L − R, тобто R доходить приблизно до третини розмаху, довіряти вже дорого. У грі Басу це R ≈ 33: за такого бонусу вже більшість наших шумних мандрівників пише 2.
| Дослід | Ціни | R | Поріг | Що писали |
|---|
Поріг — третина розмаху, (H − L + 1)/3. Це грубе правило з нашого розрахунку, а не закон, але досліди йому відповідають.
Нульовий крок — написати 100. Кожен наступний крок — «інший зробить попередній, тож я на долар менше».
Хто думає рівно на крок більше за іншого, отримує найбільше. Хто думає на багато кроків більше, лише дарує гроші: його число зайве низьке. А якщо обидва думають без кінця, і кожен знає, що інший теж, — це спільне знання раціональності, — обидва опиняються на 2.
Спільне знання не завжди шкодить. У задачі «Блакитноокі острів'яни» одна фраза, яку всі й так знали, робить знання спільним і запускає довгий ланцюжок висновків. У дилемі мандрівника такий самий ланцюжок обходиться обом у $98.
Два магазини продають однаковий товар, собівартість 20. Сто покупців беруть по одному там, де дешевше, а за рівних цін діляться навпіл.
За цін по 100 кожен магазин заробляє 50 × 80 = 4 000. Хто знизить ціну до 99, забере всіх покупців і заробить 100 × 79 = 7 900. Конкурент відповість 98… Перевірте повзунками: найкраща відповідь на будь-яку ціну вище 22 — на одиницю менша, і війна закінчується біля собівартості, 20–22. Цю модель конкуренції 1883 року описав французький математик Жозеф Бертран.
Справжні магазини рідко доходять до собівартості, і з тих самих причин, з яких люди в дилемі мандрівника пишуть високо: товари трохи різняться, покупці не завжди йдуть до найдешевшого, а конкуренти зустрічаються щодня і бояться відповіді. Найближче до моделі ринки, де товар однаковий, а ціни видно одразу. Схожа логіка є в тендерах, де виграє найнижча ціна, але там свої правила, і переносити висновок напряму не варто.
Каушик Басу опублікував гру в American Economic Review з підзаголовком «Парадокси раціональності в теорії ігор». Пізніше він був головним економістом Світового банку.
Тільман Беккер, Майкл Картер і Йорг Наеве запросили зіграти членів Товариства теорії ігор за справжні гроші. Із 45, хто обрав одне число на всі ігри, 2 написали лише троє, 100 — десятеро, а 23 обрали від 95 до 99.
У тому досліді одного учасника обирали навмання і платили йому $20, помножені на його середню виплату в іграх. Переможець мав у середньому $85 і отримав $1 700. Число 2 не могло принести в середньому більше за $4.
У досліді Капри, Гуре, Гомеса і Голта ціни були від 80 до 200 центів. З бонусом 5 центів студенти писали в середньому 180, з бонусом 80 центів — 120. За логікою число мало бути 80 в обох випадках.
Аріель Рубінштейн запропонував варіант гри з цінами від 180 до 300 приблизно 2 500 людям із семи країн в інтернеті, без грошей. 55% написали максимум, 300, а рівновагу, 180, обрав менш ніж кожен сьомий.
100 ніколи не дає більше за 99 і інколи дає менше. Теоретики називають таку стратегію домінованою. Проте серед теоретиків ігор у досліді її обрали десятеро з 45.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.