Задача натураліста
Бюффон більше відомий як натураліст, автор багатотомної «Природничої історії». Задачу про голку він поставив у 1733 році, а розв'язок опублікував лише в 1777-му, через 44 роки.
Підлога з однакових дощок, сірник завдовжки як ширина дошки. Кидайте його навмання й рахуйте, як часто він перетинає шов. Кіл тут немає, але частка перетинів дорівнює 2/π. Тож тисячі кидків дають вам число π. Перевірте це в грі, на мільйоні кидків і через п'ять пояснень.
Задачу поставив французький натураліст Жорж-Луї Леклерк, граф де Бюффон, у 1733 році, а розв'язок опублікував у 1777-му. Це одна з перших задач геометричної ймовірності. Парадоксу в ній немає. Є несподіванка: випадковий експеримент без жодного кола видає число π.
Підлога складається з однакових дощок шириною d. Шви між дошками утворюють паралельні прямі на відстані d одна від одної.
Сірник, або голка, має довжину l, не більшу за d. Почнемо з найпростішого випадку: l = d, сірник завдовжки як ширина дошки.
Сірник падає навмання. Його центр може опинитися будь-де, а сам сірник може лягти під будь-яким кутом. Усі положення й кути однаково ймовірні.
Яка частка кидків перетне шов між дошками? І як за цією часткою знайти π?
«Десь половина. І звідки взятися π, якщо кіл тут немає?»
Насправді шов перетинають 63,7% кидків, тобто рівно 2/π. Коло ховається в куті: напрям сірника можна уявити як точку на колі, і саме звідти приходить π.
Короткий сірник (l < d) розглянемо в раунді 3, довгий (l > d) у раунді 5.
Сірник завдовжки як ширина дошки. Зафіксуйте свою відповідь, перш ніж кидати.
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з правильною.
Кожен сірник падає в випадкове місце під випадковим кутом. Ті, що перетнули шов, підсвічуються. Після кожного кидка оцінка π = 2 · кидки / перетини оновлюється.
Шанс перетину P = 2/π. Отже, π = 2/P. Замість P підставляємо частку перетинів, яку ви бачите на підлозі.
Останні оцінки π після кожної сотні кидків:
Комп'ютер кидає сірники й після кожного кидка перераховує оцінку π. Графік показує, як оцінка наближається до справжнього π. Смуга показує, де оцінка опиняється у 95% серій. Вона звужується повільно: у 10 разів на кожні 100 разів більше кидків.
Типова похибка оцінки π після N кидків:
Чесна деталь: щоб обрати випадковий кут, програма не використовує π. Вона бере випадкову точку в квадраті, відкидає точки поза півколом і проводить напрям через решту.
Кожен кидок можна описати двома випадковими числами. Тоді шанс перетину стає площею фігури під синусоїдою, а площа під синусоїдою і є тим місцем, де з'являється π.
x: відстань від центру сірника до найближчого шва, від 0 до d/2. θ: кут між сірником і напрямом швів, від 0° до 90°. Обидва числа рівномірні й незалежні. Половина сірника має «горизонтальний розмах» (l/2)·sin θ. Сірник перетинає шов, коли цей розмах дістає до шва: x ≤ (l/2)·sin θ.
Зігніть сірник чи дріт як завгодно. Середня кількість перетинів залежить лише від довжини: кожен маленький шматочок дроту поводиться як маленький сірник, а середні складаються. Отже, середнє дорівнює c·L для якоїсь сталої c. Кільце діаметром d має довжину πd і завжди перетинає шви рівно у двох точках. Звідси c·πd = 2, тобто c = 2/(πd). Для прямого сірника довжиною d це дає 2/π.
| Кидків | Типова похибка | Надійних знаків після коми |
|---|
Частка перетинів коливається навколо 2/π, і її типове відхилення зменшується як 1/√N. Щоб отримати ще один правильний знак, похибку треба зменшити в 10 разів, а для цього потрібно в 100 разів більше кидків. Тому сірниками π не рахують: це спосіб побачити π, а не обчислити його.
Інтеграл синуса від 0 до π/2 дорівнює 1, тому площа під кривою дорівнює просто l/2. А площа всього прямокутника містить π/2, бо кут змінюється від 0 до π/2. Саме в знаменнику π і з'являється.
Що буде, якщо сірник довший за дошку? А якщо підлога викладена квадратною плиткою? І чи швидше знайти π, кидаючи точки в квадрат? Кожну формулу тут перевірено симуляцією.
Довга голка може перетнути кілька швів, тож шанс «хоча б одного перетину» росте повільніше й прямує до 100%. А середня кількість перетинів так і лишається 2l/(πd). Тому π можна оцінювати голкою будь-якої довжини, якщо рахувати всі перетини.
Кожен рядок уже перевірено на 100 000 кидках. «Ще раз» запускає нову серію. Стовпчик «похибка» показує типову похибку оцінки π після 10 000 кидків: чим менша, тим швидше метод сходиться.
| Що кидаємо | Теорія | Формула π | Похибка | Симуляція |
|---|
Найточнішою виявляється квадратна сітка, яку розглянув П'єр-Симон Лаплас: майже кожен кидок перетинає лінію, і π визначається малою часткою промахів. Класичний метод Монте-Карло з точками в квадраті сходиться швидше за голку на лініях, але повільніше за сітку.
Бюффон більше відомий як натураліст, автор багатотомної «Природничої історії». Задачу про голку він поставив у 1733 році, а розв'язок опублікував лише в 1777-му, через 44 роки.
У 1901 році італієць Маріо Лаццаріні повідомив, що кинув голку 3408 разів (l/d = 5/6) і отримав 1808 перетинів. Це дає π ≈ 355/113 = 3,1415929, шість правильних знаків. Таку точність за 3408 кидків вважають підлаштованою: число кидків наче обрано так, щоб зупинитися саме на 355/113.
Дріб 355/113 знайшов китайський математик Цзу Чунчжі ще в V столітті. Він дає π з шістьма правильними знаками після коми. Щоб чесно отримати таку точність голкою, знадобилися б десятки трильйонів кидків.
Жозеф-Еміль Барбьє в 1860 році розвинув ідею «локшини» і довів: будь-яка крива сталої ширини w має периметр πw. Аргумент той самий, що в раунді 4: така крива між паралельними прямими завжди дає два перетини, як і коло.
Голку Бюффона часто називають одним із перших прикладів методу Монте-Карло: обчислення за допомогою випадкових експериментів. Сама назва з'явилася в 1940-х у Лос-Аламосі, де метод розвивали Станіслав Улам, Джон фон Нейман і Ніколас Метрополіс.
П'єр-Симон Лаплас переніс задачу на сітку з прямокутників. Для квадратної плитки зі стороною d і голки довжиною d шанс перетнути хоча б одну лінію дорівнює 3/π ≈ 95,5%. Цей варіант можна перевірити в раунді 5.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.