Менше долара
Після 100 раундів у 54% гравців лишається менше ніж $1 із початкових $100, хоча середній статок $13 150.
У вас $100. Щораунду ви ставите всі свої гроші на чесну монетку: орел додає 50% до того, що у вас є, решка забирає 40%. У середньому раунд дає +5%, тож гра здається вигідною. Її грають 10 000 людей, кожен сам за себе, по 100 раундів. Яка частка з них закінчить із більшою сумою, ніж $100? Зафіксуйте відповідь, а потім підкиньте монетку самі.
Середній статок після 100 раундів справді росте: у середньому $13 150 замість $100. Але це середнє тримають кілька щасливців із мільйонами. Типовий гравець, що отримав 50 орлів і 50 решок, має 52 центи: пара «орел і решка» множить гроші на 1,5 · 0,6 = 0,9. Щоб вийти в плюс, треба 56 орлів зі 100, а це трапляється лише з 13,6% людей. Середнє по натовпу і доля однієї людини в часі тут різні: гра неергодична.
Цю гру розібрав фізик Оле Петерс у статті «The ergodicity problem in economics» (Nature Physics, 2019). Вона проста, як підкидання монетки, але ділить два способи думати про ризик: як про середнє по багатьох людях і як про шлях однієї людини в часі.
У вас $100. У кожного з 10 000 гравців теж по $100, і кожен грає зі своєю монеткою, незалежно від інших.
Ви ставите всі гроші, що у вас зараз є, і підкидаєте чесну монетку. Орел: сума зростає на 50%. Решка: сума меншає на 40%. Зі $100 орел дає $150, решка $60.
Відсотки беруться від поточної суми. Якщо у вас $150, орел дасть $225, решка $90. Вийти з гри посередині не можна.
Кожен гравець робить 100 раундів. Яка частка з 10 000 гравців закінчить гру з більшою сумою, ніж $100?
«Гра вигідна: +5% за раунд»
Орел і решка випадають однаково часто. Середня зміна за раунд: ½ · (+50%) + ½ · (−40%) = +5%. За 100 раундів по +5% сума мала б зрости в 1,05¹⁰⁰ ≈ 131 раз. Отже, більшість мала б розбагатіти? Або хоча б половина, бо монетка ж чесна?
10 000 людей, у кожного $100, кожен грає 100 раундів: орел +50%, решка −40%. Скільки з них, у відсотках, закінчать із більшою сумою, ніж почали? Оберіть зону або наберіть число.
Тут з'явиться точна частка і порівняння з вашою відповіддю.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Зіграйте два раунди: орел, потім решка. Скільки лишиться від $100? А якщо навпаки, спершу решка?
За 100 раундів типовий гравець отримує приблизно 50 орлів і 50 решок. Що роблять із грошима 50 пар «орел і решка»?
Скільки орлів зі 100 треба, щоб 1,5^k · 0,6^(100 − k) було більше за 1? Як часто чесна монетка дає стільки?
Наступні раунди показують, скільки гравців розбагатіє: ваша власна гра з монеткою, 10 000 гравців і пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Синя лінія показує ваші гроші, раунд за раундом. Сірі лінії показують інших гравців, які грають поруч, кожен зі своєю монеткою. Шкала логарифмічна: кожна поділка в 100 разів більша за попередню, тож і долар, і мільйон видно на одному графіку. Золотиста лінія показує середнє всіх гравців, зелена — медіану, тобто суму гравця посередині черги від найбіднішого до найбагатшого.
Комп'ютер грає за 10 000 людей. Кожен стовпчик гістограми збирає гравців з однаковою кількістю орлів, а отже й з однаковою сумою: порядок орлів і решок на суму не впливає. Рожеві стовпчики закінчили багатшими, ніж почали. Кружки показують, скільки гравців у кожному стовпчику дає точна формула. Посуньте кількість раундів.
Після вашої відповіді тут з'явиться код симуляції, який можна запустити в себе.
Та сама симуляція коротко і без бібліотек. JavaScript запускається в консолі браузера (F12) або в Node, Python потребує лише стандартної бібліотеки.
// Гра з монеткою: 10 000 гравців по 100 раундів, орел +50%, решка −40%
const N = 10000, T = 100;
const money = [];
for (let i = 0; i < N; i++) {
let w = 100; // у кожного $100
for (let t = 0; t < T; t++) w *= Math.random() < 0.5 ? 1.5 : 0.6;
money.push(w);
}
money.sort((a, b) => a - b);
const mean = money.reduce((s, w) => s + w, 0) / N;
// точно: треба щонайменше 56 орлів зі 100
let exact = 0, c = 1; // c = C(100, k)
for (let k = 0; k <= T; k++) { if (k >= 56) exact += c / 2 ** T; c = c * (T - k) / (k + 1); }
console.log(`у плюсі: ${(100 * money.filter(w => w > 100).length / N).toFixed(1)}% точно ${(100 * exact).toFixed(2)}%`);
console.log(`медіана: $${money[N / 2].toFixed(2)} точно $${(100 * 0.9 ** 50).toFixed(2)}`);
console.log(`середнє: $${mean.toFixed(0)} сподівання $${(100 * 1.05 ** T).toFixed(0)} (середнє 10 000 гравців зазвичай нижче: його тримають кілька щасливців)`);
# Гра з монеткою: 10 000 гравців по 100 раундів, орел +50%, решка −40%
import random
from math import comb
N, T = 10_000, 100
money = []
for _ in range(N):
w = 100 # у кожного $100
for _ in range(T):
w *= 1.5 if random.random() < 0.5 else 0.6
money.append(w)
money.sort()
mean = sum(money) / N
# точно: треба щонайменше 56 орлів зі 100
exact = sum(comb(T, k) for k in range(56, T + 1)) / 2 ** T
print(f"у плюсі: {100 * sum(w > 100 for w in money) / N:.1f}% точно {100 * exact:.2f}%")
print(f"медіана: ${money[N // 2]:.2f} точно ${100 * 0.9 ** 50:.2f}")
print(f"середнє: ${mean:.0f} сподівання ${100 * 1.05 ** T:.0f} (середнє 10 000 гравців зазвичай нижче: його тримають кілька щасливців)")
Розрахунок «+5% за раунд» правильний. Він лише відповідає на інше питання: що станеться з усіма грошима натовпу разом, а не з грошима однієї людини.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Один орел і одна решка, у будь-якому порядку, лишають вам 90% грошей: 1,5 · 0,6 = 0,9. За 100 раундів типовий гравець отримує десь 50 орлів і 50 решок, тобто 50 таких пар, і щоразу втрачає 10%. Після 50 пар від $100 лишається 100 · 0,9⁵⁰ ≈ 52 центи. Навіть 55 орлів зі 100, тобто більше половини, дають лише $50. У плюс виводять щонайменше 56 орлів, а таке випадає лише в 13,6% гравців.
Це пояснює типового гравця, але ще не пояснює, звідки береться середнє +5%. Про це дві картки нижче.
| Монетки | Гроші після 2 раундів |
|---|---|
| орел, орел | $225 |
| орел, решка | $90 |
| решка, орел | $90 |
| решка, решка | $36 |
| Середнє | $110.25 |
Чотири однаково ймовірні результати. Середнє $110,25, рівно +5% двічі: 100 · 1,05². Але троє з чотирьох втратили гроші. Середнє витягує вгору один щасливчик зі $225: його виграш більший, ніж утрати трьох інших разом.
У кафе сидять 30 людей, у кожного в середньому по кілька тисяч доларів заощаджень. Заходить мільярдер, і середній статок відвідувачів стрибає до десятків мільйонів. Ніхто з них не розбагатів, просто середнє тепер описує одну людину.
У грі з монеткою так само. З кожним раундом гроші натовпу дедалі більше збираються в кількох рекордсменів, які викинули багато орлів поспіль. У симуляції з 10 000 гравців найбагатший 1% (100 людей) після 100 раундів зазвичай тримає понад 90% усіх грошей. Середнє росте завдяки їм, а не завдяки вам.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
За раунд гроші множаться на 1,5 або на 0,6. Середнє арифметичне цих множників (1,5 + 0,6)/2 = 1,05: це математичне сподівання, середнє по безлічі паралельних гравців після одного раунду.
Але для однієї людини множники не додаються, а перемножуються. Тому типовий множник за раунд дає середнє геометричне: √(1,5 · 0,6) = √0,9 ≈ 0,949, тобто приблизно −5,1% за раунд. Середнє геометричне завжди не більше за арифметичне, і що сильніше скачуть множники, то більший розрив. Тут він міняє знак: +5% проти −5,1%.
Із k орлами за 100 раундів у вас 100 · 1,5k · 0,6100−k доларів. Більше за $100 це тоді, коли 1,5k · 0,6100−k > 1, тобто k > 100 · ln(1/0,6) / ln(2,5) ≈ 55,75. Отже, потрібно щонайменше 56 орлів.
Кількість орлів у 100 підкиданнях чесної монетки має біноміальний розподіл із середнім 50 і стандартним відхиленням 5. Імовірність отримати 56 і більше дорівнює 13,56%. Що більше раундів, то далі поріг від середини і то менша частка в плюсі.
| Раундів | Треба орлів | Частка в плюсі | Середнє | Медіана |
|---|
Середнє росте як 100 · 1,05n, медіана падає приблизно як 100 · 0,949n. Частка в плюсі в цілому падає, але не рівно: поріг завжди ціле число орлів, і при деяких n він ледь перевищує середину, а при інших з запасом. Тому за 20 раундів у плюсі 25,2%, за 30 знову 29,2%, а за 50 вже 24,0%. За 1000 раундів у плюсі лишається приблизно один гравець із 7 000.
W₀ = $100 — початкова сума, n — кількість раундів, K — кількість орлів, K ~ Bin(n, ½). Сума після n раундів:
Сподівання множиться на 1,05 щораунду, бо раунди незалежні:
Темп росту однієї людини: середній логарифм множника. За законом великих чисел ln Wn/n прямує до нього майже напевно:
Частка в плюсі після 100 раундів:
Сподівання E[Wn] описує середнє по нескінченному натовпу в одну мить. Темп g описує, що відбувається з однією людиною в довгому часі. Для адитивних ігор ці два числа збігаються, для мультиплікативних ні.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Процес називають ергодичним, якщо середнє по багатьох паралельних копіях збігається із середнім по часу для однієї копії. Тоді байдуже, чи 10 000 людей зіграють по разу, чи одна людина зіграє 10 000 разів.
Уявіть ту саму монетку, але з фіксованими сумами: орел +$50, решка −$40, і запас грошей, щоб не збанкрутувати. Тоді й у середньому по людях, і в однієї людини за довгий час виходить +$5 за раунд: гра ергодична. З відсотками від поточної суми середнє по людях дає +5%, а одна людина в часі втрачає близько 5,1% за раунд. Сподівання тут не підказує, що чекає саме вас.
$13 150 — це середнє по нескінченному натовпу. Половину цієї суми дають гравці з 72 і більше орлами, а таких один на 160 000. Серед 10 000 гравців їх зазвичай немає, тому середнє саме цих 10 000 після 100 раундів здебільшого нижче: у 300 повторах симуляції медіана такого середнього близько $5 000, а 80% повторів лягли між $2 700 і $16 000.
Що менший натовп, то раніше його середнє відривається від сподівання і починає падати разом із типовим гравцем. У довгому часі навіть середнє великого, але скінченного натовпу врешті поводиться як одна людина.
1738 року Даніель Бернуллі, розбираючи Петербурзький парадокс, запропонував оцінювати гру не за середнім виграшем, а за середнім логарифмом статку: так він пояснив, чому ніхто не платить великих грошей за гру з нескінченним сподіванням. Логарифм він обґрунтовував психологією: кожен наступний долар радує менше.
Оле Петерс разом із Мюрреєм Гелл-Манном (стаття «Evaluating gambles using dynamics», 2016) і в статті в Nature Physics 2019 року запропонував інше прочитання: середній логарифм — це просто темп росту однієї людини в часі, і для мультиплікативних ставок його можна вивести без жодної психології. Багато економістів заперечують, що це щось змінює в теорії корисності, і суперечка триває. Але сама гра з монеткою не залежить від цієї суперечки: числа на цій сторінці однакові за будь-якого погляду.
Програшною гру робить не монетка, а ставка всіх грошей щораунду. Поставте лише частку і подивіться, як змінюється доля типового гравця. Далі від чисел до ідеї, що за ними стоїть, і до того, де вона трапляється в житті.
Якщо ставити частку f, орел множить гроші на 1 + 0,5f, решка на 1 − 0,4f. Типовий темп росту g(f) = ½ ln(1 + 0,5f) + ½ ln(1 − 0,4f). Похідна дорівнює нулю, коли 0,25/(1 + 0,5f) = 0,2/(1 − 0,4f), тобто при f = 0,25. Це критерій Келлі: для ставки, що з імовірністю p виграє частку b і з імовірністю q програє частку a, f* = p/a − q/b = 0,5/0,4 − 0,5/0,5 = 0,25.
Зі ставкою 25% пара «орел і решка» множить гроші на 1,125 · 0,9 = 1,0125, і типовий гравець за 100 раундів має $186 замість 52 центів, а в плюсі 69% гравців. Зі ставкою 50% пара дає рівно 1,25 · 0,8 = 1: типовий гравець топчеться на $100. Більша ставка підіймає середнє, але топить типового гравця. Середнє найбільше при f = 100%, тобто саме там, де людина найшвидше бідніє.
Нассім Талеб у книжці «Skin in the Game» (2018), у розділі «The Logic of Risk Taking», порівнює дві картини. Сто людей ідуть у казино по одному разу: дехто програє все, але частку виграшів і програшів у групі можна порахувати, і вона нічого не каже про те, що станеться з окремою людиною, яка гратиме щодня. Друга картина: одна людина, його кузен Теодорус, ходить у казино сто днів поспіль. На 28-й день він банкрут, і 29-го дня в нього вже не буде.
Ідея, яку Талеб запозичує в Петерса і Гелл-Манна: якщо програш забирає частку статку або вибиває з гри, ризик треба оцінювати за шляхом однієї людини в часі, а не за середнім по групі. Банкрутство поглинає: після нього середнє вже не має значення.
Петерс і Олександр Адаму (стаття «An evolutionary advantage of cooperation») показали ще один вихід. Нехай кілька гравців після кожного раунду зсипають усі гроші в спільний котел і ділять порівну. Кожен і далі ставить усе, але коливання котла менші, ніж у кожного окремо, тож типовий темп росту наближається до середнього +5%.
| Гравців у котлі | Темп g за раунд | Типово за 100 раундів |
|---|
Удвох ще трохи біднішають, утрьох уже багатіють, а з сотнею котел росте майже як сподівання: межа g = ln 1,05 ≈ 0,0488.
Мультиплікативна гра ховається скрізь, де прибуток і збиток рахуються у відсотках від того, що вже є: заощадження, портфель, бізнес. Перевірка проста: перемножте множники, а не складайте відсотки.
| Ситуація | Що каже середнє | Що відбувається в часі |
|---|---|---|
| Акція падає на 50%, потім росте на 50% | Середня зміна 0% | 0,5 · 1,5 = 0,75: мінус 25%. Що більші коливання, то сильніше середнє геометричне відстає від арифметичного. Це називають «волатильнісним опором» (volatility drag). |
| Фонд із триразовим плечем, що переобчислюється щодня | Утричі більший денний результат індексу | У застереженні SEC і FINRA (серпень 2009) з 1 грудня 2008 по 30 квітня 2009 індекс Russell 1000 Financial Services виріс приблизно на 8%, фонд із потрійним плечем упав на 53%, а потрійний зворотний фонд на 90%. |
| Розмір ставки в грі з перевагою | Що більша ставка, то більший середній виграш | Джон Келлі 1956 року вивів ставку, за якої капітал росте найшвидше в довгому часі. Едвард Торп застосовував цю ідею в блекджеку, а потім в інвестиціях: ставка, більша за Келлі, підіймає ризик і знижує ріст. |
| Диверсифікація, взаємне страхування | Сподівання не змінюється | Коливання меншають, тож темп росту кожного учасника вищий, як у котлі з таблиці вище. Тому розумне об'єднання ризиків може бути вигідне всім одразу, хоч середнє ніхто не підняв. |
Інші задачі про ставки, середнє і час: Петербурзький парадокс, розорення гравця, парадокс Паррондо, де дві програшні гри разом виграють, і що довше чекаєш, то довше чекати.
Після 100 раундів у 54% гравців лишається менше ніж $1 із початкових $100, хоча середній статок $13 150.
Даніель Бернуллі запропонував оцінювати ризик середнім логарифмом статку ще 1738 року. Майже три століття потому Петерс показав, що в мультиплікативній грі це і є темп росту однієї людини.
Джон Келлі, фізик із Bell Labs, вивів оптимальну ставку в статті «A New Interpretation of Information Rate», спираючись на теорію інформації Клода Шеннона. Історію формули розповідає книжка Вільяма Паундстоуна «Fortune's Formula».
Саме цю гру, +50% за орла і −40% за решку, Оле Петерс узяв за головний приклад у статті «The ergodicity problem in economics» у Nature Physics 2019 року.
За п'ять місяців зими й весни 2009 року індекс фінансових акцій виріс приблизно на 8%, а фонд, що щодня давав його потрійний результат, упав на 53%. Цей приклад навели SEC і FINRA у застереженні для інвесторів.
Якщо 10 гравців ставлять усе, але після кожного раунду ділять гроші порівну, типовий гравець за 100 раундів множить статок приблизно в 51 раз. Поодинці він мав би 52 центи.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Поглиблено» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.