Четверо покупців хочуть ту саму річ, і кожен знає, скільки вона варта для нього. Продавець може продати її за першою ціною, за другою ціною, на англійському чи на голландському аукціоні. Покупці розумні й підлаштовують ставки під правила. Які правила дадуть продавцю найбільше в середньому? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її в грі, на симуляції і в поясненнях.
За другої ціни покупці ставлять чесно, але переможець платить чужу, нижчу ставку. За першої платить свою, зате ставить менше, ніж річ варта для нього. Ці дві знижки в середньому точно однакові: усі чотири формати дають продавцю 60 із 100. Різниться лише розкид. Перевірте це в грі, на симуляції і в поясненнях.
Це класична модель теорії аукціонів. Тут усе, що потрібно знати про лот, покупців і правила.
Продається одна річ, скажімо, вінтажна гітара. Кожен із чотирьох покупців знає, скільки вона варта саме для нього: це його цінність, число від 0 до 100, і будь-яке значення однаково ймовірне. Свою цінність покупець знає, чужих ні. Цінності незалежні: що одному гітара дуже потрібна, нічого не каже про інших.
Продавець обирає один із чотирьох форматів:
Кожен покупець хоче заробити якомога більше: різницю між своєю цінністю і ціною, яку заплатить. Він знає правила і знає, що інші теж розумні, тож обирає ставку, найкращу для себе за цих правил. Ніхто не змовляється і не ставить більше, ніж річ варта для нього.
Якщо продавати такі лоти знову і знову, який формат принесе продавцю найбільше в середньому?
«Перша ціна, бо переможець платить свою ставку, а не чужу»
Але покупці теж це знають і ставлять менше. Розумний покупець за першої ціни ставить рівно стільки, скільки в середньому заплатив би за другої. Тому всі чотири формати дають продавцю 60.
«Дохід продавця» — ціна, яку заплатив переможець.
Ті самі четверо розумних покупців, цінності від 0 до 100. Який формат принесе продавцю найбільше в середньому?
Оберіть відповідь. Тут з'явиться симуляція 10 000 лотів у кожному форматі.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Подумайте, як покупці ставлять за кожних правил. Чи поставить розумний покупець усю свою цінність, якщо в разі перемоги платить саме свою ставку?
За другої ціни найкраще ставити рівно свою цінність, але переможець платить чужу, нижчу ставку. За першої ставка нижча за цінність, зате переможець платить її саму. Яка з двох знижок більша?
Візьміть двох покупців. За другої ціни продавець отримує меншу з двох цінностей. За першої кожен ставить половину своєї цінності, і перемагає більша. Порівняйте середнє меншої з двох цінностей і половину середнього більшої.
Тепер ви покупець. Кожен лот продається то за першою, то за другою ціною, і ви бачите, за якою. Ваша цінність випадкова від 0 до 100, у ботів так само. Боти досвідчені: кожен ставить по-своєму і трохи по-різному від лоту до лоту. Повзунок задає вашу ставку у відсотках від вашої цінності, окремо для кожного формату. Серія — 10 лотів. Ваш заробіток порівнюється з «підручником»: тими самими лотами, зіграними за правилом із теорії.
Симуляція продає 10 000 лотів у кожному форматі, кожен формат на своїх, незалежних покупцях. Покупці ставлять так, як велить теорія: за другої ціни і на англійському аукціоні свою цінність, за першої ціни і на голландському (n − 1)/n від неї (раунд 4 пояснює чому). Лінії показують, як середній дохід змінюється з кількістю проданих лотів, пунктир — точне значення.
Перший шар без формул, другий з прикладом, таблицею і формулами, третій про теорему і людей, які її довели.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
За другої ціни переможець ставить чесно, але платить не свою ставку, а нижчу чужу. За першої платить свою, але сам її занижує. В обох форматах переможець платить менше, ніж річ варта для нього, тільки знижку дає в одному випадку правило, а в іншому сам покупець.
Ця картка пояснює, чому різниця між форматами менша, ніж здається, але ще не чому вона точно нуль. Чому знижки однакові, показує картка «Ставка = очікувана друга ціна» в наступному шарі.
Ваша ставка за другої ціни вирішує лише одне: виграєте ви чи ні. Скільки платити, вирішує чужа ставка. Поставите більше за цінність — інколи виграєте лот за ціною, вищою за його цінність для вас, і втратите. Поставите менше — інколи програєте лот, який міг принести заробіток. Чесна ставка не помиляється ні так, ні так, хоч би що робили інші.
На англійському аукціоні розумний покупець тримається, доки ціна не дійде до його цінності. Торги зупиняються, щойно виходить передостанній, тобто на другій за величиною цінності. Це той самий результат, що й за другої ціни.
На голландському ціна падає, і кожен мусить наперед вирішити, на якій ціні крикне. Нічого нового за час торгів він не дізнається, бо перший крик їх і завершує. Це та сама ставка в конверті, що й за першої ціни.
В окремому лоті формати дають різні суми. За другої ціни продавець залежить від того, чи знайшовся другий покупець, який теж дуже хоче річ, тож дохід скаче сильніше. За першої переможець сам «згладжує» ставку, і дохід стабільніший. Середнє те саме, ризик різний.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Нехай покупців двоє. Дві випадкові точки на відрізку від 0 до 100 у середньому ділять його на три рівні частини, тож менша з двох цінностей у середньому 33,3, а більша 66,7.
Друга ціна: переможець платить меншу цінність, у середньому 33,3. Перша ціна: кожен ставить половину своєї цінності, перемагає більша, і продавець отримує половину від 66,7, тобто ті самі 33,3. В окремому лоті суми різні: за цінностей 70 і 40 друга ціна дає 40, а перша 35.
Ваша цінність 80, суперників троє. Якщо ви перемогли, усі троє мають цінності нижчі за 80, рівномірно від 0 до 80. Найбільша з трьох таких цінностей у середньому дорівнює ¾ · 80 = 60. Стільки ви в середньому заплатили б, перемігши за другої ціни.
Рівно стільки, 60, розумний покупець і ставить за першої ціни. Тобто перша ціна бере з переможця наперед і без ризику те, що друга ціна взяла б у середньому. Звідси однаковий дохід.
| Покупців n | Найбільша цінність | Ставка за 1-ї ціни | Дохід, 1-ша ціна | Дохід, 2-га ціна | Розкид 1-ї / 2-ї |
|---|
Середня найбільша з n цінностей дорівнює 100 · n/(n + 1). Перша ціна бере з неї частку (n − 1)/n. Друга ціна бере середню другу за величиною цінність, 100 · (n − 1)/(n + 1). Обидва шляхи дають те саме число. Розкид за першої ціни завжди менший.
Цінності Vi незалежні й рівномірні на [0, 1] (у сотнях). Рівноважна ставка за першої ціни дорівнює середній найбільшій з n − 1 чужих цінностей за умови, що всі вони нижчі за вашу.
Дохід за першої ціни: частка від середньої найбільшої цінності. За другої: середня друга за величиною цінність.
Загальна теорема: якщо в будь-якому форматі перемагає найбільша цінність, а покупець із нульовою цінністю нічого не платить, то покупець із цінністю v у середньому платить те саме. P(v) — ймовірність виграти лот.
Розкид доходу: друга ціна має дисперсію в 2n/(n − 1) разів більшу. Для n = 4 стандартні відхилення 12,2 і 20.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Економіст із Колумбійського університету Вільям Вікрі 1961 року описав аукціон другої ціни у статті «Контрспекуляція, аукціони і конкурентні закриті тендери» (Journal of Finance). Там же він уперше порівняв доходи різних форматів і побачив, що за таких умов, як у нашій задачі, вони однакові.
1996 року Вікрі отримав Нобелівську премію з економіки разом із Джеймсом Мірлісом. Він помер через три дні після оголошення, і премію вручили посмертно.
Загальну теорему довели незалежно одне від одного Роджер Маєрсон («Оптимальний дизайн аукціонів», Mathematics of Operations Research) і Джон Райлі з Вільямом Семюелсоном («Оптимальні аукціони», American Economic Review), обидві статті 1981 року. Однаковий дохід дає не лише ця четвірка, а будь-який формат, де перемагає найбільша цінність, навіть такий, де ставку платять усі учасники, а не лише переможець.
Ті самі статті відповіли, як продавцю заробити більше: правила не допоможуть, допоможе резервна ціна (про неї раунд 5). Маєрсон 2007 року отримав Нобелівську премію за основи теорії дизайну механізмів.
Пол Мілгром і Роберт Вілсон зі Стенфорда отримали Нобелівську премію 2020 року за вдосконалення теорії аукціонів і нові формати аукціонів. Разом із Престоном Макафі вони запропонували одночасний багатораундовий аукціон, де багато пов'язаних ліцензій торгуються водночас і торги закінчуються для всіх разом.
Перший такий аукціон Федеральна комісія зв'язку США провела в липні 1994 року: десять загальнонаціональних ліцензій на пейджинговий зв'язок за п'ять днів принесли 617 млн доларів.
1999 року Девід Лакінг-Райлі перевірив теорему в полі: продавав колекційні карти Magic: The Gathering через інтернет парами однакових лотів у різних форматах. Англійський аукціон і друга ціна дали приблизно однаковий дохід, як і обіцяє теорія. А голландський приніс приблизно на 30% більше, ніж перша ціна.
Ціна на його голландських аукціонах падала повільно, приблизно на 5% на день, тож покупці не просто «ставили в конверт». Справжні люди і справжні правила додають те, чого немає в моделі.
Спершу математика (резервна ціна, яка піднімає дохід за будь-яких правил), потім логіка (на яких умовах тримається теорема і що буває, коли одна з них ламається), потім практика (рекламні аукціони, де чесна ставка програє).
Резервна ціна — це мінімум, нижче якого продавець не продає. Вона працює як невидимий п'ятий покупець, що ставить чесно. Якщо найвища цінність нижча, лот лишається непроданим. Якщо лише одна цінність вища, переможець платить резервну ціну, а не меншу чужу ставку.
Для цінностей від 0 до 100 найкраща резервна ціна 50, і вона не залежить від кількості покупців (так показали Маєрсон, Райлі і Семюелсон). З двома покупцями вона піднімає дохід з 33,3 до 41,7, хоча кожен четвертий лот лишається непроданим. З чотирма лише з 60 до 61,25: конкуренція вже сама тримає ціну. Оскільки резерв діє однаково за всіх правил, еквівалентність зберігається і з ним.
Те саме перевіряється й з іншого боку: аукціон, де ставку платять усі, навіть ті, хто програв, теж дає 60 із чотирма покупцями. Ставки там значно нижчі, зате платять усі. Щоправда, у аукціоні за долар, де ставки відкриті й ростуть по черзі, ця логіка веде до ескалації.
Однаковий дохід гарантований, лише коли перемагає найбільша цінність, цінності незалежні й приватні, покупці однакові за розкладом цінностей і байдужі до ризику. Порушіть одну умову — і формати розходяться.
Страх ризику. Покупець, якому прикро програти лот, за першої ціни ставить вище, ніж байдужий до ризику, щоб рідше програвати. За другої ціни чесна ставка лишається найкращою, тож дохід там не змінюється. Повзунок показує, наскільки перша ціна обганяє другу. Різні покупці. Коли один покупець зазвичай цінує річ більше за інших, порядок форматів залежить від деталей: інколи вигідніша перша ціна, інколи друга (Маскін і Райлі, 2000). Спільна цінність. Якщо річ варта для всіх однаково, але ніхто не знає скільки, з'являється прокляття переможця, і рівність ламається. Мілгром і Вебер 1982 року довели: коли оцінки покупців пов'язані між собою, англійський аукціон, де видно, коли виходять інші, приносить у середньому не менше за другу ціну, а друга ціна — не менше за першу. Що більше покупці дізнаються з торгів, то сміливіше вони ставлять.
Два рекламні місця над результатами пошуку: на перше 200 кліків на годину, на друге 199. Троє рекламодавців цінують клік у $10, $4 і $2. Хто поставив найбільше, отримує перше місце і платить за клік наступну ставку, другий — друге місце за третьою ставкою. Двоє інших ставлять чесно. Скільки поставите ви, рекламодавець з $10?
Пошукова реклама довго продавалася саме так: Google запустив цей формат 2002 року, і 2004-го понад 98% його доходу в 3,189 млрд доларів давали такі аукціони. Його називають узагальненою другою ціною, бо переможець платить ставку наступного. Але, як показали Бенджамін Едельман, Михайло Островський і Майкл Шварц (American Economic Review, 2007), тут, на відміну від аукціону Вікрі, чесна ставка не найкраща.
Перевірте їхній приклад повзунком. Чесна ставка $10 дає перше місце за $4 і (10 − 4) · 200 = 1200 на годину. Ставка $3 дає друге місце за $2 і (10 − 2) · 199 = 1592. Один клік на годину коштує $2 зайвих. Причина в тому, що ваша ставка тут визначає не лише, чи ви виграєте, а й яке місце дістанеться іншим, а з ним і ваша ціна. Коли ставки перестають бути чесними, проста формула «правила не важливі» більше не працює: 2019 року Google перевів продаж медійної реклами в Ad Manager на аукціон першої ціни.
Йоганн Вольфганг Ґете запропонував видавцю Фівегу назвати ціну за рукопис поеми «Герман і Доротея», а свою вимогу запечатав у конверті в посередника. Якщо пропозиція не нижча за вимогу, угода за вимогою Ґете. Економісти Бенні Молдовану і Манфред Тіцель 1998 року показали, що це аукціон другої ціни, винайдений за 164 роки до Вікрі.
Продавці поштових марок проводили аукціони за поштовими заявками за правилом, близьким до другої ціни, щонайменше з 1893 року, ще до народження Вікрі. Девід Лакінг-Райлі показав це 2000 року, простеживши історію від філателії XIX століття до eBay, де автоматична ставка працює так само.
Вільяма Вікрі оголосили лауреатом Нобелівської премії з економіки 1996 року за внесок в економічну теорію стимулів за асиметричної інформації, зокрема про аукціони. Через три дні він помер дорогою на наукову конференцію. Премію за нього отримав колега з Колумбійського університету.
У липні 1994 року Федеральна комісія зв'язку США за п'ять днів продала десять загальнонаціональних ліцензій за 617 млн доларів. Це був перший одночасний багатораундовий аукціон за схемою Мілгрома, Вілсона і Макафі, за яку Мілгром і Вілсон згодом отримали Нобеля.
У польовому експерименті Лакінга-Райлі з картами Magic через інтернет голландські аукціони дали приблизно на 30% більше, ніж аукціони першої ціни, хоча теорія обіцяє однаково. У лабораторних дослідах до того виходило навпаки.
2004 року Google заробив 3,189 млрд доларів, і понад 98% з них дали аукціони узагальненої другої ціни за рекламу в пошуку. Так рахують Едельман, Островський і Шварц у статті, яка показала, що чесно ставити в цих аукціонах не найкраще.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Поглиблено» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.