Чому випадковість не схожа на випадковість? Підкиньте чесну монету 100 разів, і найдовша серія однакових сторін найчастіше матиме 6–7 кидків. Люди, які вигадують «випадкові» результати, таких серій уникають і чергують сторони занадто часто. Тут ви перевірите це на собі, на 100 000 симуляцій і на історії «помилки гравця».
Половина класу справді підкидає монету, а друга половина вигадує результати й записує їх так, щоб вони «виглядали випадково». Учитель дивиться на два аркуші й майже завжди вгадує, де підробка. Як він це робить?
Монета чесна: орел і решка випадають з однаковою ймовірністю 1/2. Кидки незалежні, монета не пам'ятає попередніх результатів.
Серія означає кілька однакових результатів поспіль: ООООО або РРРР. Нас цікавить найдовша серія будь-якої сторони за 100 кидків.
Перемикання відбувається, коли сусідні кидки різні: після орла решка або навпаки. У 100 кидках є 99 пар сусідів.
Якою зазвичай буває найдовша серія у 100 чесних кидках? Скільки там перемикань? І чи стає решка ймовірнішою після п'яти орлів поспіль?
«Шість орлів поспіль? Це вже підозріло»
Насправді у 100 кидках серія з 6 або більше однакових буває в 80,7% випадків, а найдовша серія в середньому близько 7. Справжня випадковість виглядає «грудкуватою». Підробку видає якраз її рівність.
Якщо рахувати лише серії орлів, найдовша буде в середньому приблизно на одиницю коротшою: близько 6.
Зафіксуйте відповідь, перш ніж читати далі. Яку найдовшу серію однакових сторін ви очікуєте у 100 чесних кидках?
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з точним розподілом.
Натискайте «Орел» і «Решка» або друкуйте в полі літери О і Р, поки не наберете 100 «випадкових» результатів. Сторінка паралельно підкидає справжню монету 100 разів. Детектор бачить дві послідовності без підписів і вгадує, яку з них вигадала людина. Він дивиться лише на дві речі: найдовшу серію і кількість перемикань.
Теорія для 100 кидків: найдовша серія в середньому 6,98, найчастіше 6, медіана 7. Серії з 6 і більше виділені кольором.
Комп'ютер підкидає монету мільйони разів, ділить кидки на послідовності й для кожної знаходить найдовшу серію та кількість перемикань. Лінія на графіку показує точний розподіл, обчислений динамічним програмуванням, точки показують симуляцію.
Щоб найдовша серія виросла на 1, кількість кидків треба приблизно подвоїти. Вісь кидків логарифмічна. Точки показують по 2 000 симульованих послідовностей для кожної довжини.
Кожен окремий кидок не знає про попередні. Але серія може початися в багатьох місцях, і за 100 кидків таких спроб багато. Ось п'ять способів це побачити.
Помилка гравця полягає у вірі, що після серії орлів решка «має» випасти, бо випадковість нібито вирівнюється. Шанс серії з шести орлів справді малий, 1/64, але лише до початку. Коли п'ять орлів уже випали, шостий кидок дає орла або решку з однаковим шансом 1/2.
Для конкретних шести кидків шанс бути однаковими дорівнює 2/64 = 1/32. Але у 100 кидках є 95 вікон по шість кидків поспіль, і кожне з них може стати серією. Багато маленьких шансів разом дають великий.
Амос Тверскі й Деніел Канеман назвали це «вірою в закон малих чисел»: люди очікують, що навіть короткий відрізок випадкової послідовності буде схожий на загальну картину. Тому вигадані послідовності короткими шматками надто рівні: орли й решки в них чергуються частіше, ніж у справжніх.
Кожна пара сусідніх кидків різна з імовірністю 1/2, незалежно від інших пар. Тому кількість перемикань має біноміальний розподіл з n = 99 і p = 1/2. 60 і більше перемикань у справжній послідовності трапляються лише в 2,2% випадків. Люди, які вигадують кидки, часто перемикаються набагато частіше.
Логіка рекурсії: остання серія послідовності має довжину j від 1 до k−1, а перед нею стоїть коротша допустима послідовність, яка закінчується іншою стороною. Сторона останньої серії тоді визначена однозначно. Для 100 кидків і k = 6 виходить точно 80,68%. Сторінка рахує всі ці числа саме так, без наближень.
Помилку гравця можна перевірити на мільйоні кидків. Потім подивимось на рулетку з зеро і на одну з найтонших історій у статистиці: як дослідження «гарячої руки» в баскетболі через 33 роки виявилося з прихованим зміщенням.
Симуляція підкидає монету мільйон разів і щоразу після серії з k орлів дивиться, що випало далі. Кожне натискання додає ще мільйон кидків.
Колесо не має пам'яті так само, як монета. Але на рулетці червоне не є «половиною»: зелене зеро забирає частину шансів. Ставка на червоне після будь-якої серії чорних виграє з тим самим шансом 18/37 на європейському колесі і 18/38 на американському.
Тому довга серія чорних не дає жодної переваги, а перевага казино залишається незмінною: 1/37 ≈ 2,7% від кожної ставки на європейському колесі.
У 1985 році Гілович, Валлоне й Тверскі перевірили, чи влучає баскетболіст частіше після кількох влучань поспіль. Для кожного гравця вони рахували частку влучань після серії влучань і порівнювали її з частотою після серії промахів. Різниці не знайшлося, і «гарячу руку» оголосили когнітивною ілюзією. У 2018 році Міллер і Санхурхо показали, що такий підрахунок зміщений: навіть для чесної монети середня по гравцях частка орлів після орлів менша за 50%.
Звідки зміщення? Кожен гравець дає одне число, хоч би скільки серій у нього було. Послідовності з довгими серіями мають багато кидків «після орла», і майже всі вони орли, але така послідовність важить у середньому стільки ж, скільки послідовність з однією-єдиною серією. Якщо ж скласти всі кидки разом, частка буде рівно 50%. Міллер і Санхурхо врахували цю поправку й знайшли в контрольованому експерименті з оригінальної статті ознаки «гарячої руки».
У казино Монте-Карло на рулетці 26 разів поспіль випало чорне. Гравці все більше ставили на червоне, вважаючи, що воно «має» випасти, і програли мільйони франків. Тому помилку гравця ще називають помилкою Монте-Карло.
Шанс, що 26 обертів європейського колеса, починаючи з певного, усі дадуть чорне, дорівнює (18/37)²⁶, приблизно 1 до 137 мільйонів. Але за десятиліття роботи тисяч рулеток у світі обертів набирається дуже багато, тому десь така серія рано чи пізно трапляється.
Під такою назвою Амос Тверскі й Деніел Канеман 1971 року опублікували статтю про те, що навіть науковці очікують від малих вибірок надто точної схожості з усією сукупністю. Пізніше Канеман отримав Нобелівську премію з економіки за дослідження помилок у судженнях.
Томас Гілович, Роберт Валлоне й Амос Тверскі проаналізували кидки гравців «Філадельфії 76» і провели експеримент з баскетболістами Корнелльського університету. Вони не знайшли «гарячої руки», і стаття на десятиліття стала класичним прикладом того, як люди бачать закономірності у випадковості.
Джошуа Міллер і Адам Санхурхо опублікували в журналі Econometrica статтю про те, що метод 1985 року систематично занижує частку влучань після серії влучань. Після поправки дані того самого експерименту свідчать на користь «гарячої руки». Спір про її розмір триває.
Цей фокус давно показують на уроках статистики. Одна група підкидає монету, друга вигадує результати. Учитель знаходить підробку за кілька секунд: у вигаданій послідовності немає довгих серій, а орли й решки чергуються надто часто.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.