Книжка двох фізиків
Задача з'явилася в книжці Джорджа Гамова і Марвіна Стерна «Puzzle-Math» (Viking Press, 1958). Гамов відомий і як автор популярних книжок про фізику, зокрема «Один, два, три… нескінченність».
Ліфт цілий день їздить між 1-м і 15-м поверхами: доїхав до верху, розвернувся, поїхав униз, і так без кінця, з однаковою швидкістю. Ваш кабінет на 2-му поверсі. Ви виходите до ліфта коли заманеться, не дивлячись на годинник, і помічаєте, куди їде перший ліфт, що доїхав до вашого поверху. Що ви бачитимете частіше: вгору, вниз чи порівну?
Здається, ліфт однаково часто їде вгору і вниз, тож має бути 50 на 50. Але під вами лише один проліт із чотирнадцяти. Коли ви натискаєте кнопку, ліфт майже завжди десь над вами, а звідти до вас він може приїхати тільки згори. Тому перший ліфт їде вниз у 13 випадках із 14. Якщо ліфтів кілька, перекіс слабшає, але не зникає одразу.
Цю задачу придумали два фізики, які працювали в одному будинку на різних поверхах і щодня їздили одним ліфтом. Спершу уявіть будинок і свій поверх, а потім вгадайте.
П'ятнадцять поверхів і один ліфт. Він безперервно їздить від 1-го поверху до 15-го і назад, з однаковою швидкістю, на крайніх поверхах розвертається миттєво.
Ваш кабінет на 2-му поверсі. Ви виходите до ліфта у випадкові моменти: коли закінчили лист, коли захотілося кави. Ваші виходи ніяк не пов'язані з тим, де зараз ліфт.
Ви стоїте біля дверей і чекаєте, доки ліфт доїде до вашого поверху. Записуєте одне: куди він їхав, коли приїхав, угору чи вниз.
За багато днів що в записах буде частіше: «вгору», «вниз» чи порівну?
«Ліфт їздить угору й униз однаково, тож буде 50 на 50»
Ліфт справді проводить у дорозі вгору рівно половину часу. Але з 2-го поверху ви бачите не весь його шлях, а лише перший приїзд після вашого виходу. А 13/14 часу ліфт над вами, і звідти він приїжджає вниз.
15 поверхів, один ліфт без зупинок, ви на 2-му поверсі приходите у випадковий момент. Оберіть відповідь.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Ви виходите до ліфта у випадковий момент. Спитайте себе: де найчастіше перебуває ліфт у цей момент, нижче вашого поверху чи вище?
Між 1-м і 15-м поверхами 14 прольотів. Скільки з них нижче 2-го поверху, а скільки вище?
Якщо зараз ліфт вище за вас, хоч куди він їде, то яким шляхом він до вас доїде? А якщо нижче?
Щораунду новий будинок: інша кількість поверхів, інший ваш поверх, від одного до шести ліфтів, що їздять незалежно один від одного. Де вони зараз, ви не бачите. Вгадайте, куди їхатиме перший ліфт, що доїде до вас, і оберіть ставку. Обережна ставка: +1 очко, якщо вгадали, 0, якщо ні. Смілива: +2 або −3. Сміливо ставити варто лише тоді, коли ви впевнені принаймні на 75%. Поруч грає бот, що знає точні шанси.
Вона швидко показує, як воно насправді, тож спершу вгадайте самі.
Симуляція тисячі разів «приходить до ліфта» на кожен поверх: ставить кожен ліфт у випадкову точку його маршруту, з випадковим напрямком, і дивиться, який доїде до вас першим і куди він їхатиме. Точки — частка «вниз» у симуляції. Пунктир — точна відповідь для одного ліфта, суцільна лінія — точна відповідь для вибраної кількості ліфтів, якщо вони їздять незалежно.
Ліфт проводить у дорозі вгору рівно половину часу, і повз ваш поверх він проїжджає вгору й униз однаково часто: раз туди, раз назад. Перекіс з'являється не в ліфті, а в тому, як ви його ловите.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Між 1-м і 15-м поверхами 14 прольотів. Лише один із них, між 1-м і 2-м, нижче за вас. Ліфт їздить рівномірно, тож у випадковий момент він з імовірністю 13/14 десь над вами. А звідти є лише одна дорога до вас: згори, униз. Хоч куди він їде зараз, угору чи вниз, він приїде до вас униз. Ця картка про один ліфт. Чому з кількома ліфтами перекіс слабшає, пояснюють картки нижче.
Розгорніть шлях ліфта в коло: ліва сторона — дорога вгору, права — униз. Ваш поверх стоїть на колі двічі: ліфт проїжджає його раз угору і раз униз. Якщо в момент вашого виходу ліфт на довгій дузі, він спершу доїде до точки «вниз», якщо на короткій — до точки «вгору». Шанс — це просто довжина дуги.
Сусід із 14-го поверху того самого будинку бачить протилежне: перший ліфт майже завжди їде вгору, бо над ним лише один проліт. Обидва праві, і обидва бачать той самий ліфт. Так і почалася ця задача: двоє фізиків на різних поверхах сперечалися, хто з них «невдаха».
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
P(вниз) = (N − k) / (N − 1)
N — кількість поверхів, k — ваш поверх. Повний рейс угору й униз триває 2(N − 1) прольотів. З них 2(N − k) ліфт проводить над вами (дорогою вгору і дорогою вниз), і з будь-якої такої точки він доїде до вас униз. Решту 2(k − 1) він під вами і доїде вгору. Ділимо: (N − k)/(N − 1). Для 2-го поверху з 15: 13/14 ≈ 92,9%. Для поверху Гамова в задачі 1958 року, 2-го з 7: 5/6.
P(вниз) = 1/2 + 1/2 · (1 − 2x)n, x = (k − 1)/(N − 1)
Ліфт, що зараз під вами, доїде до вас угору не пізніше ніж за 2(k − 1) прольотів: для 2-го поверху за 2. Подивімося на перші 2 прольоти після вашого виходу. За цей час кожен ліфт приїжджає до вас угору з тим самим шансом, що й униз, тож якщо хтось приїхав у цьому вікні, вгору і вниз рівноймовірні. Якщо ж ніхто не приїхав (шанс (1 − 2x)ⁿ, для 2-го поверху з 15 це (6/7)ⁿ), то всі ліфти над вами, і перший точно їде вниз. Разом: 1/2 · (1 − (6/7)ⁿ) + (6/7)ⁿ. Для двох ліфтів 85/98 ≈ 86,7%, для трьох ≈ 81,5%.
Нижче середини перший ліфт частіше їде вниз, вище — вгору, на 8-му поверсі рівно 50% за будь-якої кількості ліфтів. Що більше ліфтів, то ближче всі рядки до 50%, але на 2-му поверсі навіть із чотирма ліфтами «вниз» буває у трьох випадках із чотирьох.
Ваша висота як частка будинку: 0 — нижній поверх, 1 — верхній. На 2-му з 15 поверхів x = 1/14.
n незалежних ліфтів, кожен у випадковій точці свого рейсу. Модуль потрібен для поверхів вище середини: там (1 − 2x) від'ємне, і відповідь стає меншою за 1/2.
Для 2-го поверху з 15 і двох ліфтів:
Сторінка перевіряла формулу в раунді 3 на всіх поверхах і для 1–10 ліфтів. Коли n росте, (1 − 2x)ⁿ прямує до нуля, і відповідь до 1/2. Але повільно: на 2-му з 15 поверхів, щоб опуститися нижче 55%, потрібно 15 ліфтів.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Фізики Джордж Гамов і Марвін Стерн описали цю загадку в книжці «Puzzle-Math» (1958). У їхній історії Гамов працював на 2-му поверсі, а Стерн на 6-му в семиповерховому будинку. Гамов скаржився, що перший ліфт зазвичай їде вниз, Стерн — що вгору. Пояснення в книжці те саме, що й у нас: для 2-го поверху 5 із 6 прольотів вище, тож 5/6.
Для кількох ліфтів автори написали, що ситуація «залишиться, звісно, такою самою». 1969 року Дональд Кнут у статті «The Gamow-Stern Elevator Problem» (Journal of Recreational Mathematics, т. 2, с. 131–137) показав, що це не так: що більше незалежних ліфтів, то ближче шанс до 1/2. Для двох ліфтів на поверсі Гамова виходить 13/18, а не 5/6.
Наша модель навмисно проста. Справжні ліфти зупиняються, чекають без діла, часто повертаються на перший поверх, бо звідти їдуть найбільше людей. Ввечері всі їдуть униз, уранці вгору. З нижніх поверхів частина людей іде сходами, а повний ліфт може проїхати повз ваш виклик. А кілька ліфтів у будинку керує одна система, яка навмисно розводить їх по шахті, тож вони не незалежні, як у формулі Кнута.
Тому точні числа для вашого офісу будуть іншими. Але причина перекосу геометрична і нікуди не дівається: якщо ліфт більшу частину часу над вами, то частіше приїжджає згори. Біля нижнього поверху ви частіше бачите «вниз», біля верхнього — «вгору».
Математично: як швидко зникає перекіс, коли ліфтів багато. Логічно: та сама пастка, що й у парадоксі автобуса та парадоксі дружби, — те, що ви бачите, залежить від того, звідки дивитеся. Практично: чому ліфт «завжди не туди», а чекаєте ви не довше за інших.
Математика
Відхилення від 50% дорівнює 1/2 · |1 − 2x|ⁿ: щоразу, як додаєте ліфт, воно множиться на |1 − 2x|. Біля середини будинку цей множник малий, і вже два-три ліфти дають майже 50 на 50. Біля краю він близький до 1: на 2-му поверсі з 15 це 6/7, тож перекіс тане повільно, і щоб опуститися нижче 55%, потрібно 15 ліфтів. На крайніх поверхах питання втрачає сенс: на 1-й ліфт завжди приїжджає згори і їде далі вгору.
Ця формула для незалежних ліфтів. Якщо ліфти йдуть рівними інтервалами, як автобуси за розкладом, відповідь інша і залежить від інтервалу. Наприклад, чотири рівномірно розставлені ліфти на 2-му поверсі дають «вниз» у 5 випадках із 7 (71,4%), а чотири незалежні — у 77%.
Логіка
Графік — висота ліфта в часі: пилка від 1-го поверху до 15-го і назад. Горизонтальна лінія — ваш поверх. Ліфт перетинає її вгору й униз однаково часто, тож щоденник ліфта каже «50 на 50». Ви ж записуєте лише перший перетин після випадкового моменту. А випадкові моменти частіше потрапляють у довгий проміжок між проїздом угору і проїздом униз.
Це та сама пастка, що й у парадоксі автобуса: приходячи навмання, ви частіше потрапляєте в довгі проміжки між автобусами. І та сама, що в парадоксі дружби: дивлячись на людей через друзів, ви частіше натрапляєте на тих, у кого друзів багато. Щоразу вибірка чесна, але місце, звідки ви дивитеся, вирішує, що до неї потрапить.
Практика
Нехай ліфт проїжджає поверх за 2 секунди. Рейс 15-поверхівкою вгору і вниз — 28 прольотів, 56 секунд. Ліфт угору проходить ваш поверх рівно раз за рейс, тож, приходячи навмання, ви чекаєте на нього в середньому половину рейсу: 28 секунд. На будь-якому поверсі. Із n незалежними ліфтами — 56/(n + 1) секунди, теж на будь-якому поверсі. Відчуття «мені завжди не туди» на 2-му поверсі правдиве щодо першого ліфта, але не щодо часу очікування: просто ви частіше спершу бачите ліфт, який вам не потрібен.
Те саме на маршруті з одним човниковим автобусом, наприклад між терміналом і парковкою, 10 хвилин в один бік. На зупинці за хвилину від парковки перший автобус, якого ви бачите, у 9 випадках із 10 їде до парковки. Ваш автобус, від парковки, ви чекаєте в середньому 10 хвилин, як і на будь-якій іншій зупинці. На лінії метро з багатьма поїздами за розкладом перекосу майже немає, як і з багатьма ліфтами: там поїзди в обидва боки приходять однаково часто.
Задача з'явилася в книжці Джорджа Гамова і Марвіна Стерна «Puzzle-Math» (Viking Press, 1958). Гамов відомий і як автор популярних книжок про фізику, зокрема «Один, два, три… нескінченність».
У їхній історії Гамов сидів на 2-му поверсі семиповерхового будинку, Стерн — на 6-му. Для одного ліфта перший приїзд до Гамова їде вниз у 5 випадках із 6, до Стерна — вгору з тим самим шансом.
Дональд Кнут, автор «Мистецтва програмування», опублікував «The Gamow-Stern Elevator Problem» у Journal of Recreational Mathematics (т. 2, 1969). Статтю передруковано в його збірці «Selected Papers on Fun and Games» (2011).
Із двома незалежними ліфтами перший ліфт на поверсі Гамова їде вниз із шансом 13/18 ≈ 72%, а не 5/6 ≈ 83%, як вважали автори книжки. Сторінка рахує це тією ж формулою, що й у раунді 4.
На 2-му поверсі 15-поверхівки 14 незалежних ліфтів ще дають «вниз» у 55,8% випадків. Лише з 15-м ліфтом шанс опускається нижче 55%, до 54,95%.
Мартін Гарднер присвятив ліфтам окремий розділ «Elevators» у збірці «Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments» (1986) і розібрав там, які несподіванки дає задача, коли ліфтів кілька.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.