Дві команди, у кожної своє середнє. Тренер переводить одного учасника з першої команди в другу. Здається, що одна команда мусить послабшати. Зафіксуйте свою відповідь, а потім перевірте її в грі, на симуляції лікарні і через кілька пояснень.
Якщо перевести людину, слабшу за середнє своєї команди, але сильнішу за середнє чужої, середнє зростає в обох. Загальне середнє при цьому не змінюється: ніхто не став кращим, змінилася лише межа між групами. Так само «покращується» виживаність при раку, коли кращі знімки переносять пацієнтів з ранньої стадії в пізню.
Назва походить від жарту, який приписують американському гумористу Віллу Роджерсу: коли переселенці з Оклахоми перебралися до Каліфорнії, вони підняли середній рівень розуму в обох штатах. Чи справді він це казав, невідомо, про це у фактах. Спершу умова.
На шкільній олімпіаді дев'ять учасників набрали від 1 до 9 балів, кожен своє число. Сильна команда A: 5, 6, 7, 8, 9. Слабка команда B: 1, 2, 3, 4.
Середній бал команди A дорівнює 35 / 5 = 7, команди B 10 / 4 = 2,5. Усіх дев'ятьох разом 45 / 9 = 5.
Тренер може перевести рівно одного учасника з команди A в команду B. Бали в нього лишаються ті самі.
Чи можна так перевести одного учасника, щоб середній бал виріс в обох командах? Якщо так, то кого?
«Що одна команда отримала, те друга втратила. Обидві вирости не можуть»
Так було б із сумою балів. Але середнє залежить ще й від кількості людей. Учасник з 5 балами найслабший у команді A, тож без нього A сильніша. І він сильніший за кожного в команді B, тож з ним B теж сильніша.
Команда A: 5, 6, 7, 8, 9 (середнє 7). Команда B: 1, 2, 3, 4 (середнє 2,5). Потрібно, щоб після переведення одного учасника з A в B середній бал виріс в обох командах.
Оберіть відповідь. Тут з'явиться, що стається з обома середніми після кожного з п'яти можливих переведень.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Середнє залежить не лише від суми балів, а й від кількості людей. Що стається із середнім команди, коли з неї йде хтось слабший за це середнє?
Порівняйте кожного учасника команди A із середнім A (7) і з середнім B (2,5). Хто з них тягнув свою команду вниз?
Новачок підніме середнє команди B, якщо він сильніший за її середнє. Чи є в команді A хтось, хто водночас слабший за 7 і сильніший за 2,5?
Натисніть на учасника, щоб перевести його в іншу команду. Мета: зробити якомога більше переведень поспіль, після кожного з яких середнє росте в обох командах. Стежте за загальним середнім.
Підказка: подивіться, де на прямій стоїть учасник відносно двох рисок середнього.
Ось де цей фокус трапляється насправді. У лікарні рак ділять на ранню стадію (метастазів не знайшли) і пізню (знайшли). У кожного пацієнта є прихована міра того, наскільки поширилася хвороба, від 0 до 100. Що більша вона, то менший шанс прожити 5 років: від 100% при 0 до 0% при 100. Сканер бачить метастази, лише коли поширення досягло певного порогу. Старий сканер бачить їх від 60, новий уже від 40. Лікування однакове, пацієнти ті самі.
Кожна точка означає пацієнта (показано 400 з 2 000). Заповнена точка: прожив 5 років, порожня: ні. Вертикальна лінія показує, з якого поширення сканер бачить метастази.
Середнє групи описує не лише людей, а й те, де проведено межу між групами. Посуньте межу, і середні зміняться, навіть якщо жодна людина не змінилася.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Учасник з 5 балами тягнув команду A вниз: він слабший за її середнє. Коли він іде, A стає сильнішою. У команді B він найкращий: він сильніший за її середнє. Коли він приходить, B теж стає сильнішою. Цього досить, щоб зрозуміти фокус. Чому при цьому ніхто не покращився, пояснює наступна картка.
Ті самі дев'ять людей, ті самі бали, та сама сума. Змінилося лише, хто в якій команді. Обидві команди «посилилися», бо сильна стала меншою і ще сильнішою, а слабка більшою. Вага слабкої команди в загальному середньому зросла рівно настільки, щоб зрівноважити обидва прирости.
Новий сканер переносить у пізню стадію пацієнтів з поширенням від 40 до 60. Вони живуть 5 років у 50% випадків: гірше за решту ранньої стадії (70%), але краще за пізню (20%). Це ті самі «учасники з 5 балами». Обидві стадії виглядають кращими, хоча жоден пацієнт не прожив і дня довше.
Ми звикли читати «середнє групи виросло» як «люди в групі покращилися». Але середнє залежить від того, хто в групу входить. Коли змінюється склад, середнє змінюється без жодного покращення. Тому щоразу, коли росте середнє якоїсь групи, варто спитати: а чи не змінилося, кого ми туди зараховуємо?
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Група A має nA людей і середнє a, група B має nB людей і середнє b. Людина з результатом x переходить з A в B. Ось як змінюються середні.
Обидві різниці додатні рівно тоді, коли результат лежить між двома середніми.
Загальне середнє є зваженим середнім двох груп. Сума результатів і кількість людей не змінюються, тож і воно не змінюється.
Обидва середні виросли на 0,5, а загальне не змінилося, бо вага групи B зросла з 4/9 до 5/9. Група B досі слабка, просто тепер вона більша. Якщо x дорівнює одному із середніх, відповідне середнє не змінюється, тому умова строга.
По горизонталі бал учасника, якого переводять з A в B. Лінія A перетинає нуль у точці 7 (середнє A), лінія B у точці 2,5 (середнє B). Між ними обидві лінії вище нуля. У команді A туди потрапляють учасники з 5 і 6 балами.
| Старий сканер (60) | Новий сканер (40) | |
|---|---|---|
| Рання стадія | 70% | 80% |
| Пізня стадія | 20% | 30% |
| Усі пацієнти | 50% | 50% |
| Частка в пізній стадії | 40% | 60% |
Поширення рівномірне від 0 до 100, шанс прожити 5 років дорівнює 1 − поширення/100. Якщо сканер бачить метастази від порогу t, то в ранній стадії виживає в середньому 100 − t/2 відсотків, у пізній 50 − t/2, а загалом завжди 50. Кожен крок порогу вниз піднімає обидві стадії на половину кроку. Пацієнти з поширенням 40–60 (20% усіх) виживають у 50% випадків.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
1985 року Елван Фейнстейн і двоє співавторів опублікували в New England Journal of Medicine статтю «Феномен Вілла Роджерса». Вони порівняли пацієнтів з раком легень, яких почали лікувати 1977 року, з пацієнтами 1953–1964 років у тих самих клініках. У новішої групи шестимісячна виживаність була вищою в кожній стадії за системою TNM.
Новіша група пройшла багато нових обстежень із візуалізацією, і вони знаходили метастази, яких раніше не було видно. Частину пацієнтів, яких колись записали б у «добру» стадію, тепер записали в «погану». Коли автори поділили обидві групи за стадіями симптомів, на які нові обстеження не впливають, виживаність виявилася схожою.
Порівнювати виживаність за стадіями між десятиліттями, країнами чи лікарнями небезпечно, якщо діагностика різна. Чесних виходів три. Порівнювати всіх пацієнтів разом, як рядок «усі» в таблиці. Перерозподілити старих пацієнтів за новими правилами, щоб межа була однакова. Або ділити за ознакою, яку нова техніка не змінює, як Фейнстейн зі стадіями симптомів.
Ця пастка відрізняється від іншої, теж знайомої лікарям: раннє виявлення подовжує виживаність «від діагнозу», бо годинник просто запускають раніше. Тут навіть не потрібно, щоб хтось жив довше чи був виявлений раніше: досить пересунути межу між стадіями.
Спершу математика (скільки разів поспіль можна підняти обидва середні), потім логіка (що насправді змінюється, коли рухається межа), потім практика (як цей фокус потрапляє у звіти з аналітики).
Те саме працює для цілої групи: якщо перевести кількох людей разом, обидва середні ростуть, коли середнє переведених лежить між середніми груп. Так «переселенці з Оклахоми» з жарту можуть підняти середнє обох штатів, навіть якщо серед них є і розумні, і не дуже.
Що довшого ланцюжка, ніж n − 2, не буває, перевірено перебором усіх поділів для n від 3 до 11.
Будь-який поділ на групи має межу: стадія раку, «відмінник», «високий», «активний користувач», «преміум-клієнт». Посуньте межу так, щоб через неї перейшли пограничні випадки, і середнє може зрости по обидва боки. Реального покращення немає: ті самі люди, ті самі результати.
Правило проти цього просте: коли ростуть середні всіх частин, перевірте ціле. Якщо загальне середнє стоїть, змінилася лише розмітка. Схожа пастка з групами є в парадоксі Сімпсона, тільки там частини і ціле показують протилежне, бо групи мають різну вагу.
Ліпша діагностика. Чутливіші аналізи знаходять легші форми хвороби. Хворі «легкі» випадки приєднуються до хворих і покращують їхні показники, а здорові без них виглядають здоровішими.
Рейтинги і категорії. Перегляд межі між «A-класом» і «B-класом» готелів, шкіл чи постачальників змінює середні оцінки обох класів без жодної зміни в самих готелях.
Продукт має 1 000 користувачів. Таблиця показує, скільки сесій на тиждень вони мають і скільки в середньому платять на місяць. Оберіть, з якої кількості сесій користувача вважають активним.
| Сесій | Людей | $ на людину | Сегмент |
|---|
В A/B-тестах так само: якщо новий варіант змінює, хто вважається «активним», «залученим» чи таким, що побачив зміну, порівняння метрик усередині цих сегментів між варіантами може показати приріст в обох сегментах без жодного приросту загалом. Головне рішення ухвалюйте за метрикою на всіх користувачах кожного варіанта, як їх розподілила рандомізація. Як читати сам тест, пояснює сторінка «Дві однакові сторінки».
Вілл Роджерс загинув 1935 року. За даними сайту Quote Investigator, жарт про переселенців з Оклахоми вперше приписали йому 1970 року: Los Angeles Times процитувала губернатора Оклахоми Дьюї Бартлетта. У текстах самого Роджерса цієї фрази не знайшли.
Найраніша знайдена версія вийшла 1939 року в газеті McComb Daily Journal з Міссісіпі: про одного чоловіка, який переїхав з округу в округ і «підняв рівень розуму в обох». Варіант саме про оклахомців і Каліфорнію знайшовся 1955 року.
Прем'єр-міністру Нової Зеландії Роберту Малдуну приписують варіант: новозеландці, які емігрують до Австралії, підвищують IQ обох країн. 1990 року журналіст Sydney Morning Herald написав, що Малдун розповів його на вечері, і додав, що жарт дуже старий.
Термін «феномен Вілла Роджерса» запровадив єльський клінічний епідеміолог Елван Фейнстейн у статті 1985 року про рак легень. Він узяв жарт зі слів друга, який приписав його Роджерсу. Відтоді «міграцію стадій» шукають у дослідженнях раку та інших хвороб.
2005 року Пітер Альбертсен і колеги дали досвідченому патологу заново оцінити скельця 1 858 чоловіків, яким діагностували рак простати в Коннектикуті 1990–1992 років. Середній бал Ґлісона виріс з 5,95 до 6,8. З новими оцінками смертність у межах кожного балу виглядала на 28% нижчою, хоча результати пацієнтів не змінилися.
«Оукі» називали переселенців з Оклахоми і сусідніх штатів, яких Пилова буря і Велика депресія 1930-х погнали на захід, до Каліфорнії. Їхню дорогу описав Джон Стейнбек у романі «Грона гніву» (1939), за який отримав Пулітцерівську премію.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.