Цифр у відповіді
Кількість секунд до фінішу мурахи записується числом з 43 430 цифр. Надруковане дрібним шрифтом, воно займе з десяток сторінок. Вік Всесвіту в секундах має 18 цифр.
Гумова мотузка завдовжки 1 км. Біля одного кінця сидить мураха і повзе до другого: 1 сантиметр за секунду. А мотузку щосекунди рівномірно розтягують ще на 1 кілометр, і мураху разом з нею. Кінець тікає в сто тисяч разів швидше, ніж вона повзе. Чи дістанеться вона колись до кінця?
Розтяг несе мураху разом з мотузкою, тож пройдену частку шляху він у неї не забирає. Щосекунди вона додає крихту: 1 см від мотузки, що стає все довшою. Крихти меншають, але їхня сума росте без меж, як гармонічний ряд 1 + ½ + ⅓ + … Тому мураха доповзе, лише через ≈ 1,6 × 1043 429 секунд. Всесвіту зараз близько 4 × 1017 секунд.
Класична задача-головоломка, яку популяризував Мартін Ґарднер. Вона про те, що сума дедалі менших шматочків не обов'язково зупиняється біля якоїсь межі.
Гумова, на старті 1 км завдовжки. Один кінець прив'язаний до стовпа, за другий тягнуть. Гума тягнеться рівномірно: кожен шматочок довшає в однакову кількість разів, як малюнок на повітряній кульці, коли її надувають.
Стартує біля прив'язаного кінця і повзе до другого зі сталою швидкістю 1 см за секунду відносно гуми під ногами. Вона тримається за мотузку, тож коли гума тягнеться, мураха їде разом зі шматочком, на якому сидить.
Спершу мураха проповзає свій 1 см. Потім мотузку миттєво розтягують ще на 1 км. Після першої секунди вона 2 км завдовжки, після другої 3 км, після сотої 101 км. Кінець тікає на 1 км за секунду, тобто в 100 000 разів швидше, ніж повзе мураха.
Чи дістанеться мураха колись до дальнього кінця мотузки? Якщо так, то коли?
«Кінець тікає в сто тисяч разів швидше. Мураха його ніколи не наздожене»
Наздожене. Розтяг тягне й мураху: усе, що вона пройшла, розтягується разом з мотузкою. Тож рахувати треба не метри, а частку мотузки. А частка щосекунди хоч трохи, але росте, і ці прирости разом стають більшими за будь-яке число.
Мотузка 1 км, мураха 1 см/с, мотузка щосекунди довшає на 1 км. Оберіть відповідь.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Не рахуйте метри до кінця, рахуйте частку мотузки, яку мураха вже пройшла. Що з цією часткою робить рівномірний розтяг?
У секунду номер k мотузка має k км, тож 1 см — це 1/(100 000 · k) її довжини. Мураха доповзе, коли сума цих часток дійде до 1.
Сума 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n: чи є число, яке вона ніколи не перейде? Згрупуйте доданки: 1/3 + 1/4, потім 1/5 + … + 1/8.
Спершу пісочниця: оберіть довжину мотузки, крок мурахи й розтяг і подивіться, чи вдасться її зупинити. Потім гра: шість мотузок, і для кожної треба вгадати, на якому кроці мураха доповзе, або що не доповзе ніколи. Деякі мотузки тягнуть по-іншому: щоразу на кілька відсотків.
Вона підказує відповідь, тож спершу вгадайте самі.
Угорі мотузка завжди на всю ширину, а поділки показують метри: коли її тягнуть, поділки розсуваються. Мураха стоїть там, яку частку мотузки вона вже пройшла. Унизу та сама частка на графіку: по горизонталі номер кроку в логарифмічному масштабі, кожна поділка — у 10 разів більше кроків.
Кроки рахує симуляція: метри мурахи і мотузки, крок за кроком. Коли кроків стає понад 20 мільйонів, далі веде формула з раунду 4, і графік про це скаже.
На якому кроці мураха доповзе?
Симуляція не знає жодних формул: вона зберігає, на якому метрі мураха і яка довжина мотузки, додає крок мурахи, а потім розтягує все пропорційно. Формула з раунду 4 рахує лише частку: суму v/L₁ + v/L₂ + … Лінія на графіку — формула, точки — симуляція, пунктир — неперервна версія, де мотузку тягнуть плавно.
Уся хитрість у тому, щоб рахувати не метри, а частку мотузки. Метри до кінця справді ростуть. А частка, яку пройшла мураха, лише росте, і питання тільки в тому, чи дорослить вона до одиниці.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Гума тягнеться рівномірно, тож мураха, що сиділа на третині мотузки, після розтягу знову на третині: просто ця третина тепер довша. Кінець тікає, але й мураха їде вперед разом з гумою. Отже, стежити треба за часткою. Щосекунди мураха додає 1 см до мотузки, яка має k км, тобто 1 / (100 000 · k) мотузки. Ця картка не пояснює, чому такі крихти колись складуться в цілу мотузку. Про це наступна і строгий шар.
Мотузка 4 м, мураха проходить 1 м за крок, після кожного кроку мотузка довшає на 1 м. Частки: ¼, потім ⅕, ⅙, 1/7… Кожна менша за попередню, але їхня сума вже на сьомому кроці переходить за 1. Після шостого кроку мурасі бракувало лише 4 см. У нашій задачі все так само, тільки кожна частка в 100 000 разів менша, і чекати доводиться неймовірно довго.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
1/100 000 · (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) = Hn / 100 000
У секунду k мотузка має k км, і 1 см — це 1/(100 000 · k) її довжини. Складаємо: виходить гармонічний ряд, поділений на 100 000. Мураха доповзе, коли сума 1 + ½ + ⅓ + … перейде за 100 000. А вона переходить за будь-яке число, бо доданки можна згрупувати: ½, потім ⅓ + ¼ > ½, потім ⅕ + ⅙ + 1/7 + ⅛ > ½, і так далі. Кожна наступна група вдвічі довша і дає більше ніж ½. Груп нескінченно багато, тож і сума нескінченна. Цей доказ знайшов Микола Орем близько 1350 року.
По горизонталі час у секундах, кожна поділка — у 10 разів більше. Сума 1 + ½ + … + 1/n тут майже пряма: вона дорівнює приблизно ln n + 0,5772. Щоб додати до суми одиницю, час треба помножити на e ≈ 2,718. Тому за рік сума лише 17,8, за вік Всесвіту 41,2, а до 100 000 дійде лише при n ≈ e100 000 − 0,5772 ≈ 1,6 × 1043 429.
Мотузка L, мураха проходить v за крок, після кожного кроку мотузка довшає на s. Під час кроку k вона має L + (k − 1)s. Частка після n кроків:
ψ — дигамма-функція, «гармонічне число для дробових аргументів». У нашій задачі L = s = 1 км, v = 1 см, тож частка — це просто Hn / 100 000, а Hn ≈ ln n + γ, γ ≈ 0,5772.
Якщо тягнути плавно зі швидкістю c (довжина L + ct), частка росте за законом dθ/dt = v / (L + ct). Звідси логарифм і точна відповідь:
Ривками і плавно відповіді різняться лише в eγ ≈ 1,78 раза: 1,6 і 2,8 × 1043 429 секунд. Обидва числа мають 43 430 цифр. Сторінка звіряла формулу з покроковою симуляцією в раунді 3.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Широко задачу розніс Мартін Ґарднер: вона виходила в Scientific American, а 1982 року він включив її в книжку парадоксів «aha! Gotcha: Paradoxes to Puzzle and Delight» (с. 145–146). У різних переказах замість мурахи буває черв'як на гумовій стрічці. Хто першим придумав задачу, у джерелах, які ми перевірили, не сказано, тож ми цього не стверджуємо.
Задачу досі розвивають: Марк Маккартні 2013 року присвятив їй статтю «Extending the rubber rope: convergent series, divergent series and the integrating factor» у International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Як видно з назви, в узагальненнях ряд буває і розбіжним, і збіжним. Збіжний ряд означає, що мураха не дійде. Це раунд 5.
Коли кажуть, що Всесвіт розширюється, мають на увазі приблизно нашу мотузку: далекі галактики не летять крізь простір, а простір між ними тягнеться, і відстані ростуть пропорційно. Світло від далекої галактики — мураха: воно йде з однаковою швидкістю відносно простору, по якому йде, а простір під ним тягнеться.
Якщо розширення йде як у нашої мотузки, без прискорення, світло від будь-якої галактики колись до нас дійде, хай і через дуже довгий час. А от якщо розширення прискорюється, а за спостереженнями наш Всесвіт саме такий, то для світла, випущеного сьогодні, є межа: горизонт подій. Те, що за ним, ніколи нас не досягне. Раунд 5 показує це на моделі.
Математика: якщо мотузку тягнути з прискоренням, мураха може не дійти ніколи, і межу видно точно. Логіка: сума дедалі менших шматочків буває нескінченною, і це можна побудувати з книжок. Практика: той самий розрахунок визначає, які галактики ми ніколи не побачимо.
Математика
Мотузка 10 м, мураха проходить відсоток від цих 10 м за крок. Частка — це сума v/L₁ + v/L₂ + … Якщо мотузка довшає на ту саму величину, знаменники ростуть як k, і сума — гармонічний ряд: нескінченна, мураха доходить за будь-якого кроку. Якщо довжина росте як k², сума 1 + 1/2 + 1/5 + 1/10 + … скінченна: з L = 10 + 10(k − 1)² вона дорівнює (1 + π cth π)/2 ≈ 2,077 кроку мурахи на 10 м, тож мураха дійде, лише якщо її крок не менший за 48,2% мотузки. Якщо мотузка щоразу довшає на 10%, сума — геометрична прогресія з межею 11 · v/L, і поріг 9,1%.
Загальне правило для довжини, що росте як kp: при p ≤ 1 мураха доходить завжди, при p > 1 — лише якщо досить швидка. Межа проходить точно між гармонічним рядом і всім, що росте бодай трохи швидше.
Логіка
Складіть однакові книжки стосом так, щоб верхня виступала над наступною на ½ довжини, та — над третьою на ¼, далі на ⅙, ⅛… Кожен стос тримається, бо центр ваги всього, що вище, стоїть точно над краєм книжки під ним. Загальний виступ — половина гармонічного ряду: (1 + ½ + ⅓ + … + 1/n) / 2. Уже 4 книжки виносять верхню повністю за край столу, 31 — на дві довжини, 227 — на три.
Логіка та сама, що в мурахи: доданки меншають до нуля, але цього мало, щоб сума була скінченною. Треба, щоб вони меншали досить швидко. Для порівняння: у мухи між потягами кожен відрізок уп'ятеро коротший за попередній, і нескінченно багато відрізків дають скінченні 75 км.
Практика
Дві іграшкові моделі зі сьогоднішньою швидкістю розширення H₀ ≈ 70 км/с на мегапарсек. Рівномірне — як наша мотузка: відстань до галактики росте на ту саму кількість кілометрів щосекунди. Тоді світло доходить з будь-якої відстані, а час — та сама формула, що в мурахи: (1/H₀)(eH₀D/c − 1). Прискорене — відстань щоразу множиться на те саме число. Тоді частка шляху світла має межу, і з галактик далі за c/H₀ ≈ 14 млрд світлових років світло, випущене сьогодні, не дійде ніколи.
Справжній Всесвіт складніший: розширення спершу сповільнювалося, а тепер прискорюється через темну енергію. За оцінкою Лайнвівера і Девіс (Scientific American, 2005), горизонт подій зараз близько 16 млрд світлових років. Світло, яке галактики за ним випускають сьогодні, до нас не дійде, хоча старе їхнє світло ми бачимо. Галактики, що тримаються разом гравітацією, як наш Чумацький Шлях, не розтягуються.
Кількість секунд до фінішу мурахи записується числом з 43 430 цифр. Надруковане дрібним шрифтом, воно займе з десяток сторінок. Вік Всесвіту в секундах має 18 цифр.
За добу мураха сама проповзає лише 864 м. Але розтяг везе її разом з гумою, тож наприкінці доби вона вже за 10,3 км від стовпа. Мотузка на той час 86 401 км завдовжки, і пройдено 0,012%.
Французький філософ Микола Орем близько 1350 року довів, що гармонічний ряд не має межі: він групував доданки так, що кожна група більша за ½. Це один з найстаріших доказів у теорії рядів, і його досі дають у підручниках.
Сума 1 + ½ + ⅓ + … перевищує 10 лише на 12 367-му доданку. Щоб дійти до 100, потрібно приблизно 1,5 × 1043 доданків. Ряд нескінченний, але повзе повільніше за мураху.
Мартін Ґарднер включив цю задачу в книжку парадоксів «aha! Gotcha» (W. H. Freeman, 1982). Саме на неї посилається стаття про задачу у Вікіпедії.
Горизонт подій нашого Всесвіту зараз приблизно за 16 млрд світлових років (Лайнвівер і Девіс, Scientific American, 2005). Світло, яке випускають сьогодні галактики за ним, до нас не дійде ніколи. Мураха на мотузці, що тягнеться з прискоренням, в такому самому становищі.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Поглиблено» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.