Помилка в книжці про помилку
Вільям Гупер описав фокус «геометричні гроші», де площа 32 стає 30. Креслення в першому виданні «Rational Recreations» саме було неточним, і його виправили лише у виданні 1782 року.
На папері в клітинку лежить трикутник 13 × 5, складений з чотирьох шматків: червоного й синього трикутників і двох фігур з клітинок. Шматки міняються місцями, і виходить такий самий трикутник 13 × 5. Тільки тепер одна клітинка всередині порожня. Шматки ті самі, контур той самий. Звідки дірка? Зафіксуйте свою відповідь, а потім перевірте її.
Жодна з двох фігур не трикутник. Червоний шматок піднімається на 3 клітинки на 8, синій на 2 на 5. Нахили 0,375 і 0,4 різні, тож довга сторона в обох фігурах зламана, і злам такий малий, що око бачить пряму. У першій фігурі вона прогинається всередину, і площа 32 клітинки. У другій вигинається назовні, і площа 33. Шматки займають 32, тож одна клітинка лишається порожньою.
Цю головоломку приписують нью-йоркському фокусникові-аматорові Полу Каррі. Її ще називають парадоксом Каррі. Усе в ній на виду: сітка, шматки, клітинки, які можна порахувати.
Вершини шматків лежать у вузлах сітки.
Червоний трикутник ліворуч, синій угорі праворуч, дві фігури з клітинок під синім. Виходить прямокутний трикутник з катетами 13 і 5 клітинок.
Шматки лише пересунули, не повертаючи й не перевертаючи: синій тепер ліворуч, червоний угорі праворуч. Контур знову 13 × 5, але одна клітинка всередині порожня.
Ті самі шматки, той самий контур. Звідки взялася порожня клітинка?
Угорі фігура 1, унизу фігура 2. Порожню клітинку обведено пунктиром.
«Шматки ті самі, отже, і площа та сама. Дірки бути не може»
Але вона є, і її видно неозброєним оком. Десь у картинці є підступ. Де саме?
Оберіть пояснення, яке вважаєте правильним. Відповідь зараховується одразу після кліку.
Передумати можна, але в статистику піде перший вибір.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Порахуйте клітинки в кожному шматку і складіть. А скільки клітинок у прямокутному трикутнику з катетами 13 і 5?
Порівняйте червоний і синій трикутники: на скільки клітинок кожен піднімається на одну клітинку вправо?
Прикладіть лінійку від лівого нижнього кута до правого верхнього. Чи проходить вона точно через вершини (8; 3) і (5; 2)?
Наступні раунди показують, куди поділася клітинка: шматки, які можна пересувати самому, лінійка й лупа, мільйон випадкових точок і пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Шматки можна тягти пальцем чи мишею, вони чіпляються до сітки. Складіть обидві фігури самі або кнопками, а потім увімкніть лінійку від кута до кута й лупу на місці зламу.
Лінійка з'єднує кути (0; 0) і (13; 5) справжнього трикутника. Лупа показує місце, де стикаються червоний і синій шматки, у шість разів більшим.
Око легко обдурити, а лічбу важче. Комп'ютер кидає випадкові точки в прямокутник 13 × 5 і рахує, яка частка з них лягла під довгою стороною кожної фігури. Ця частка, помножена на 65 клітинок прямокутника, і є площею фігури.
Розміри 2, 3, 5, 8, 13 — це сусідні числа Фібоначчі, де кожне є сумою двох попередніх. Візьміть наступні, і трюк повторюється: щілина між двома ламаними все тонша, а її площа щоразу рівно одна клітинка.
Після вашої відповіді тут з'явиться код симуляції, який можна запустити в себе.
Та сама симуляція коротко і без бібліотек. JavaScript запускається в консолі браузера (F12) або в Node, Python потребує лише стандартної бібліотеки.
// Трикутник Каррі: кидаємо випадкові точки в прямокутник 13 × 5 і рахуємо площі під трьома лініями
const N = 1e6;
const fig1 = x => x <= 8 ? 3 * x / 8 : 3 + 2 * (x - 8) / 5; // червоний 8 × 3, потім синій 5 × 2
const fig2 = x => x <= 5 ? 2 * x / 5 : 2 + 3 * (x - 5) / 8; // синій, потім червоний
const line = x => 5 * x / 13; // справжня діагональ
let a1 = 0, a0 = 0, a2 = 0;
for (let i = 0; i < N; i++) {
const x = Math.random() * 13, y = Math.random() * 5;
if (y < fig1(x)) a1++;
if (y < line(x)) a0++;
if (y < fig2(x)) a2++;
}
const area = k => (65 * k / N).toFixed(3);
console.log('фігура 1 ', area(a1), 'точно 32');
console.log('трикутник ', area(a0), 'точно 32.5');
console.log('фігура 2 ', area(a2), 'точно 33');
console.log('щілина між ними', area(a2 - a1), 'точно', 8 * 2 - 3 * 5);
# Трикутник Каррі: кидаємо випадкові точки в прямокутник 13 × 5 і рахуємо площі під трьома лініями
import random
N = 1_000_000
fig1 = lambda x: 3 * x / 8 if x <= 8 else 3 + 2 * (x - 8) / 5 # червоний 8 × 3, потім синій 5 × 2
fig2 = lambda x: 2 * x / 5 if x <= 5 else 2 + 3 * (x - 5) / 8 # синій, потім червоний
line = lambda x: 5 * x / 13 # справжня діагональ
a1 = a0 = a2 = 0
for _ in range(N):
x, y = random.random() * 13, random.random() * 5
a1 += y < fig1(x)
a0 += y < line(x)
a2 += y < fig2(x)
area = lambda k: f"{65 * k / N:.3f}"
print("фігура 1 ", area(a1), "точно 32")
print("трикутник ", area(a0), "точно 32.5")
print("фігура 2 ", area(a2), "точно 33")
print("щілина між ними", area(a2 - a1), "точно", 8 * 2 - 3 * 5)
Площа не змінюється, і шматки вирізано точно. Змінюється контур: «гіпотенуза» обох фігур складається з двох відрізків з різним нахилом. Різниця така мала, що мозок домальовує пряму.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Червоний трикутник займає половину прямокутника 8 × 3, тобто 12 клітинок. Синій займає половину 5 × 2, тобто 5. Разом із фігурами на 7 і 8 клітинок це 32. А справжній трикутник 13 × 5 є половиною прямокутника 13 × 5, тобто 32,5 клітинки.
Отже, шматки не можуть точно скласти трикутник 13 × 5: їм бракує пів клітинки. Цей підрахунок показує, що підступ є, але ще не каже, де саме. Про це наступна картка.
Червона гіпотенуза піднімається на 3 клітинки на 8 клітинок уперед, тобто на 0,375 за клітинку. Синя піднімається на 2 на 5, тобто на 0,4. Синя трохи крутіша, тож поставлені одна за одною вони дають не пряму, а ламану.
У фігурі 1 спершу йде пологий червоний відрізок, потім крутіший синій: лінія прогинається всередину. У фігурі 2 навпаки: лінія вигинається назовні. Різниця нахилів лише 0,025, кут між відрізками близько 1,25°.
Покладіть контури обох фігур один на одний. Між прогнутою і вигнутою ламаною лишається тонка щілина у формі дуже витягнутого паралелограма. Її площа рівно 1 клітинка, але вона розтягнута на всю діагональ завдовжки майже 14 клітинок і завтовшки щонайбільше 1/8 клітинки. На папері з клітинкою 1 см це 1,25 мм у найширшому місці, а до кінців діагоналі щілина сходить нанівець. На малюнку вище висоту щілини збільшено вдесятеро.
Коли шматки переходять з фігури 1 у фігуру 2, контур «роздувається» на цю щілину. Площа контуру зростає з 32 до 33, а шматків як було 32. Різниця збирається в одну помітну порожню клітинку всередині.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
| Фігура 1 | Трикутник | Фігура 2 | |
|---|---|---|---|
| злам у точці | (8; 3) | немає | (5; 2) |
| висота при x = 8 | 3 | 40/13 ≈ 3,077 | 3,125 |
| висота при x = 5 | 1,875 | 25/13 ≈ 1,923 | 2 |
| площа під краєм | 32 | 32,5 | 33 |
| займають шматки | 32 | – | 32 + 1 |
Між x = 5 і x = 8 обидві ламані йдуть паралельно, і вертикальна відстань між ними весь час 1/8 клітинки. Справжня діагональ проходить між ними: на 1/13 клітинки над вершиною (8; 3) і на 1/13 під вершиною (5; 2).
Фігура 1: під червоним трикутником нічого немає, а під синім стоїть прямокутник 5 × 3 з двох фігур з клітинок. Площа 12 + 5 + 15 = 32.
Фігура 2: під червоним трикутником стоїть прямокутник 8 × 2. Площа 5 + 12 + 16 = 33. Але дві фігури з клітинок мають лише 7 + 8 = 15 клітинок, тож у прямокутнику 8 × 2 одна лишається порожньою.
Увесь фокус у тому, що 5 × 3 = 15, а 8 × 2 = 16. Прямокутники під трикутниками відрізняються на одну клітинку, а трикутники лише міняються місцями.
Три точки лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли нахили рівні. Тут вони різні, отже, «гіпотенуза» зламана.
Щілина є паралелограмом, натягнутим на вектори сторін (8; 3) і (5; 2). Площа паралелограма дорівнює модулю визначника з координат.
Тоді площі двох фігур відрізняються від справжнього трикутника на половину щілини кожна.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Усі розміри взято з ряду Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…: червоний 8 × 3, синій 5 × 2, контур 13 × 5. Відношення 2/5 = 0,4, 3/8 = 0,375 і 5/13 ≈ 0,385 по черзі підходять з обох боків до одного числа, 1/φ² ≈ 0,382, де φ ≈ 1,618 — золотий перетин. Тому всі три нахили дуже близькі, і жоден не збігається з іншим.
А площа щілини завжди рівно 1. Для сусідніх чисел Фібоначчі виконується тотожність Fn+1·Fn−2 − Fn·Fn−1 = ±1, наприклад 8 · 2 − 5 · 3 = 1, 13 · 3 − 8 · 5 = −1. Вона близька родичка тотожності Кассіні Fn−1·Fn+1 − Fn² = ±1. Що більші числа, то тонша щілина, але її площа лишається однією клітинкою.
Фокуси зі «зникненням» площі на папері в клітинку старші за цей трикутник. 1774 року Вільям Гупер у книжці «Rational Recreations» склав із фігури площею 32 прямокутник площею 30. 1868 року Оскар Шльоміх опублікував перекроювання шахівниці 8 × 8 у прямокутник 5 × 13, тобто «64 = 65», а 1879 року Віктор Шлеґель пов'язав такі фокуси з числами Фібоначчі.
Трикутник з діркою Мартін Ґарднер приписав Полу Каррі, нью-йоркському фокусникові-аматорові, і датував 1953 роком. Каррі відомий і як автор карткового фокуса «Out of This World». Новим у його версії було те, що зайва клітинка не губиться в щілинах, а з'являється як помітна дірка всередині фігури з тим самим контуром.
Та сама щілина в одну клітинку перетворює шахівницю на прямокутник з 65 клітинок. А «доведення», що виглядають бездоганно, часто ламаються в одному кроці, як і наша гіпотенуза.
Шахівницю 8 × 8 розрізають на два трикутники 3 × 8 і дві трапеції зі сторонами 3 і 5. Складені інакше, вони дають прямокутник 5 × 13, і 64 клітинки стають 65. Діагональ прямокутника знову зламана: вона складається з тих самих векторів (8; 3) і (5; 2), що й наша «гіпотенуза», і між шматками лишається щілина площею 1.
Це працює для будь-якого квадрата зі стороною Fn з ряду Фібоначчі, бо Fn−1·Fn+1 − Fn² = (−1)n. Квадрат 8 × 8 = 64 дає 5 × 13 = 65, квадрат 13 × 13 = 169 дає 8 × 21 = 168: тут шматки трохи налазять один на одного, і клітинка «зникає». Квадрат 21 × 21 = 441 дає 13 × 34 = 442.
Софізм — це міркування, яке виглядає правильним, а приходить до хибного висновку. Його будова така сама, як у трикутника з діркою: майже всі кроки бездоганні, і помилка ховається в одному непомітному місці. У трикутнику це злам на 1,25°, у «доведеннях» це ділення на нуль, корінь, який забуває про знак, чи креслення, де точка опинилася не з того боку.
Звідси й метод. Якщо висновок хибний, а кроки здаються правильними, не шукайте помилку «загалом». Перевірте кожен крок окремо, а креслення перевірте числами, як ми перевірили нахили 3/8 і 2/5.
Два відрізки йдуть один за одним: перший на a клітинок управо й b угору, другий на c управо й d угору.
Найдешевша перевірка «чи це пряма» — порівняти нахили як дроби або порахувати a·d − b·c. Нуль означає, що три точки на одній прямій. Будь-яке інше ціле число означає злам, і саме воно є площею щілини, яку можна «заховати» перестановкою шматків. Для трикутника Каррі це 8 · 2 − 3 · 5 = 1.
Так само перевіряють, чи лежать три точки на одній прямій, в обчислювальній геометрії, на якій стоять програми для креслення: рахують той самий вираз a·d − b·c (його називають тестом орієнтації), а не дивляться на картинку. Перевірте вручну: від (0; 0) до (8; 3) і далі до (13; 5): 8 · 2 − 3 · 5 = 1, отже, злам.
Усі ці фокуси тримаються на одному: два відрізки з дуже близькими нахилами, які око читає як одну пряму. Перевірте кожен рядок: перемножте сторони.
| Фокус | Було → стало | Куди поділася різниця |
|---|---|---|
| Гупер, «Rational Recreations», 1774 | 32 → 30 | Шматки в прямокутнику насправді трохи налазять один на одного. Креслення в першому виданні було неточним, його виправили у виданні 1782 року. |
| Шахівниця, Шльоміх, 1868 | 8 × 8 = 64 → 5 × 13 = 65 | Щілина площею 1 уздовж діагоналі прямокутника. |
| Квадрат 13 × 13 | 169 → 8 × 21 = 168 | Шматки налазять один на одного смужкою площею 1. |
| Трикутник Каррі, 1953 | 32 → 32 + 1 | Контур роздувається на 1 клітинку, і вона стає діркою всередині. |
Вільям Гупер описав фокус «геометричні гроші», де площа 32 стає 30. Креслення в першому виданні «Rational Recreations» саме було неточним, і його виправили лише у виданні 1782 року.
Оскар Шльоміх надрукував перекроювання шахівниці в прямокутник 5 × 13 у статті «Ein geometrisches Paradoxon» у журналі Zeitschrift für Mathematik und Physik.
Віктор Шлеґель узагальнив перекроювання шахівниці в тому самому журналі й показав, що розміри шматків мають бути сусідніми числами Фібоначчі.
Автор «Аліси» Чарлз Доджсон шукав усі квадрати, які так само можна перекроїти в прямокутник з «виграшем» в одну клітинку. Він, схоже, не знав, що Шлеґель уже зробив це. Його нотатки описав Воррен Вівер 1938 року.
Пол Каррі (1917–1986) був фокусником-аматором з Нью-Йорка. Мартін Ґарднер датував його трикутник 1953 роком і розповів про нього в книжці «Mathematics, Magic and Mystery» 1956 року.
Червона і синя гіпотенузи нахилені під кутами ≈ 20,56° і ≈ 21,80°, різниця ≈ 1,25°. На кресленні з клітинкою 1 см вершина (8; 3) відстає від справжньої діагоналі лише на 1/13 см ≈ 0,77 мм.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.