Задача з кембриджського іспиту
Задача є в збірнику розв'язків Senate House examination 1854 року, кембриджського іспиту з математики. Там стрижень позначають навмання у двох точках і просять довести, що шанс трикутника 1/4.
Паличку завдовжки 1 метр ламають у двох місцях, і кожне місце обирають навмання, незалежно одне від одного. Виходить три шматки. Із них пробують скласти трикутник, з'єднавши кінці. Який шанс, що вийде?
Здається, що три шматки майже завжди складуться, хіба що не пощастить. Але є одна умова: кожен шматок має бути коротшим за половину палички. Якщо якийсь довший, двом іншим разом не вистачить довжини, щоб зійтися. Ця умова ламається в трьох випадках із чотирьох.
Задачу давали кембриджським студентам на іспиті ще 1854 року. Вона коротка, але вчить двох речей: як перевірити, чи складеться трикутник, і як рахувати шанси, коли випадковою є точка на відрізку.
Рівна паличка завдовжки 1 метр, тобто 100 см. Товщину не враховуємо: це просто відрізок.
На паличці навмання обирають дві точки: кожну рівномірно по всій довжині, незалежно одну від одної. Будь-яке місце однаково ймовірне. У цих двох точках паличку ламають, і виходить три шматки.
Із трьох шматків пробують скласти трикутник: кожен шматок стає стороною, кінці сусідніх сторін з'єднуються. Ламати далі чи накладати шматки внапуск не можна.
Який шанс, що трикутник складеться?
«Три шматки майже завжди складуться, ну, хай у половині випадків»
Трикутник складається, лише якщо кожен шматок коротший за 50 см. А хоч один шматок довший за половину в трьох випадках із чотирьох. Шанс трикутника — 1/4.
Два випадкові злами, три шматки. Оберіть відповідь, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Спершу з'ясуйте, коли з трьох відрізків узагалі складається трикутник. Покладіть найдовший основою: що мають зробити два інші?
Два коротші шматки разом — це вся паличка без найдовшого. Яким тоді має бути найдовший шматок порівняно з половиною палички?
Зафіксуйте перший злам, скажімо на 30 см. У яке вікно мусить влучити другий злам, щоб жоден шматок не перевищив 50 см? Яка ширина цього вікна в середньому?
Паличку вже зламали в одному місці, і ви бачите де. Друге місце обиратиме випадок. Поставте: «складеться» дає +3 очки, якщо вгадали, і −1, якщо ні; «не складеться» дає +1 або −1. Поруч грають два боти: Оптиміст щоразу ставить на трикутник, Скептик щоразу проти. Хто набере більше за 10 паличок?
Вона швидко підказує відповідь, тож спершу вгадайте самі.
Кожна паличка — одна точка на кожній картинці. Ліворуч квадрат: по горизонталі перший злам, по вертикалі другий. Праворуч рівносторонній трикутник Пуанкаре: відстані від точки до трьох сторін дорівнюють довжинам трьох шматків. Пурпурові точки — палички, з яких склався трикутник, сірі — ні. Пунктир обводить місце, де мусять опинитися всі пурпурові точки.
Вона одразу показує частку трикутників, тож спершу вгадайте.
Квадрат злам × злам. Пунктир — два трикутники, кожен 1/8 квадрата.
Трикутник Пуанкаре. Пунктир — середній трикутник, 1/4 площі.
Спершу правило, коли трикутник складається. Потім підрахунок, як часто воно виконується. Обидва кроки вміщаються в дві картинки.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Покладіть найдовший шматок основою. Два інші мусять дотягнутися від його кінців один до одного. Якщо разом вони коротші за основу, кінці не зійдуться, як праворуч. А разом вони — це вся паличка без основи. Тож основа мусить бути коротшою за решту палички, тобто коротшою за половину, за 50 см. Ця картка пояснює, коли трикутник складається, але ще не каже, як часто. Про це наступна.
Нехай перший злам на 30 см. Тоді лівий шматок уже коротший за половину. Щоб два інші теж були коротші за 50 см, другий злам мусить бути правіше за середину, але не далі ніж 30 + 50 = 80 см. Вікно завдовжки 30 см, як і лівий шматок. Чим ближче перший злам до краю, тим вужче вікно; навіть у найкращому разі, посередині, воно лише 50 см. Середня ширина вікна по всіх перших зламах — 25 см, чверть палички.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Поділимо паличку на десять рівних частин і візьмемо перший злам посередині кожної. Ширина вікна — довжина коротшого з двох шматків після першого зламу, а шанс трикутника для цієї палички — ширина вікна, поділена на 100 см. Середнє з десяти рядків рівно 25%. Якщо брати частини дрібніше, середнє не зміниться: вікно рівномірно росте від 0 до 50 см і назад, тож у середньому воно вдвічі вужче за максимум.
Кожна пара зламів — точка в квадраті 1 × 1, і всі точки однаково ймовірні, тож шанс дорівнює площі. Якщо перший злам x лівіше за другий y, трикутник складається, коли x < 1/2, y > 1/2 і y − x < 1/2. Це трикутник з катетами 1/2, площа 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8. Другий такий самий — для випадку, коли y лівіше. Разом 1/8 + 1/8 = 1/4.
Візьміть рівносторонній трикутник заввишки 1. Для будь-якої точки всередині сума відстаней до трьох сторін дорівнює висоті, тобто 1 (теорема Вівіані). Тож кожна точка — це спосіб поділити паличку на три шматки, і навпаки. Два рівномірні злами розсипають точки рівномірно по всьому трикутнику.
Шматок довший за половину — точка ближче до кута, ніж середня лінія. Три середні лінії ділять трикутник на чотири однакові трикутники. Три кутові — «один шматок задовгий», середній — «трикутник складається». Він займає рівно 1/4 площі.
Паличка завдовжки 1, перший злам x рівномірний на [0, 1]. Для нього шанс трикутника дорівнює ширині вікна, min(x, 1 − x).
Інше правило: зламати один раз, а потім зламати довший шматок (довжина 1 − x при x < 1/2) у рівномірній точці. Вікно те саме, x, але тепер ділиться на довжину довшого шматка.
n шматків від n − 1 рівномірних зламів складають n-кутник, коли найдовший коротший за половину. Подія «шматок i довший за половину» має ймовірність (1/2)ⁿ⁻¹, і дві такі події одночасно неможливі.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Зламайте паличку в n − 1 випадкових місцях. Лівий шматок довший за половину, якщо всі n − 1 зламів потрапили в праву половину: шанс (1/2)ⁿ⁻¹. Довжини шматків рівноправні: якщо переставити шматки місцями, ймовірності не зміняться (математики кажуть, що розподіл рівномірний на симплексі, або що це розподіл Діріхле з одиничними параметрами). Тож будь-який шматок довший за половину з тим самим шансом.
Двоє довших за половину бути не можуть, бо разом вони були б довші за паличку. Значить, шанси просто додаються: хтось задовгий з імовірністю n · (1/2)ⁿ⁻¹. Для трьох шматків 3/4, а трикутник — решта, 1/4.
Найдавніше відоме формулювання — у збірнику розв'язків задач Senate House examination, кембриджського іспиту з математики, за 1854 рік: стрижень позначають навмання у двох точках і ділять на три частини; треба показати, що шанс скласти трикутник дорівнює 1/4. Анрі Пуанкаре в підручнику «Calcul des probabilités» (1896) розібрав її через рівносторонній трикутник, який ви бачили вище.
Ширше задачу популяризував Мартін Ґарднер у колонці «Mathematical Games» у Scientific American (жовтень 1959, «Probability and Ambiguity»). Головна думка колонки: відповідь залежить від того, як саме «навмання» ламати паличку.
Математично: що буде, якщо зламати паличку на n шматків і складати многокутник. Логічно: та сама паличка дає різні відповіді, якщо по-різному розуміти «навмання». Практично: випадковий поділ — це проста базова модель для часток ринку, місць у парламенті чи чисельності видів.
Математика
З n відрізків складається n-кутник за тим самим правилом: найдовший має бути коротшим за суму решти, тобто за половину палички. Шанс 1 − n/2ⁿ⁻¹: для чотирьох шматків 1/2, для п'яти 11/16, для десяти вже 251/256, понад 98%. Що більше зламів, то менші шматки, і задовгий трапляється рідко.
Трикутник — найгірший випадок: лише три шматки, і один із них дуже часто забирає понад половину. У середньому найдовший із трьох займає 11/18 палички, приблизно 61%.
Логіка
Смужка — частка трикутників у симуляції, риска — точне значення.
Слово «навмання» саме по собі не задає задачу: треба сказати, що саме рівномірне. Це той самий урок, що й у парадоксі Бертрана з випадковою хордою. Тому у формулюванні задачі прямо сказано, що обидві точки рівномірні й незалежні.
Практика
Уявіть, що місця в парламенті ділять між партіями зовсім випадково: як паличку, зламану в n − 1 рівномірних точках. «Ніхто не має більшості» — це рівно «з шматків складається многокутник». Для трьох партій коаліція потрібна лише в 1/4 випадків, а в 3/4 одна партія має понад половину місць. Середні частки трьох партій від більшої до меншої: 11/18, 5/18 і 2/18, тобто 61%, 28% і 11%. Перевірте на стовпчиках ліворуч.
Справжні вибори не випадкові, тож ця модель — точка відліку, а не прогноз: вона каже, якої нерівності чекати «просто так», без жодної причини. Саме так її використав еколог Роберт Макартур 1957 року: він порівнював чисельність видів птахів із частками зламаної палички, щоб побачити, де природа відхиляється від випадкового поділу.
Задача є в збірнику розв'язків Senate House examination 1854 року, кембриджського іспиту з математики. Там стрижень позначають навмання у двох точках і просять довести, що шанс трикутника 1/4.
Анрі Пуанкаре в підручнику «Calcul des probabilités» (1896) показав, що три шматки можна бачити як відстані від точки до сторін рівностороннього трикутника. Відтоді цю картинку малюють майже в кожному розв'язку.
Мартін Ґарднер узяв зламану паличку в колонку «Probability and Ambiguity» (Scientific American, жовтень 1959) як приклад того, що відповідь залежить від способу ламати.
Навіть коли трикутник складається, він зазвичай тупокутний. Гострокутний виходить з імовірністю 3 ln 2 − 2 ≈ 7,9%, тобто лише приблизно в третині всіх трикутників, які взагалі склалися (за розрахунком Еугена Іонашку і Габріеля Прежитуре, 2010).
Середня довжина кожного з трьох шматків — третина палички. Але найдовший у середньому займає 11/18, приблизно 61%, а найкоротший лише 1/9, приблизно 11%. Саме тому найдовший так часто перевищує половину.
Еколог Роберт Макартур у статті «On the relative abundance of bird species» (PNAS, 1957) запропонував модель зламаної палички: ресурси середовища діляться між видами, як паличка у випадкових точках. Модель не має жодного параметра, який треба підбирати.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.