Фунти в газеті
Енциклопедія MathWorld Еріка Вайсстайна наводить задачу у фунтах: 100 фунтів картоплі, 99 % води, потім 98 %. Як джерело вона називає книжку Джона Аллена Паулоса «A Mathematician Reads the Newspaper» 1995 року, сторінку 81.
У мішку 100 кг картоплі, і вона на 99 % складається з води. Мішок лишили на ніч надворі, частина води випарувалася, і тепер вода становить 98 %. Скільки важить картопля? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її: посушіть мішок самі, порахуйте на комп'ютері й прочитайте пояснення.
У мішку 100 кг картоплі, і вона на 99 % складається з води. За ніч частина води випарувалася, і тепер вода становить 98 %. Здається, що мішок схуд на кілограм, бо води поменшало на «1 %». Насправді картопля важить 50 кг: суха речовина, 1 кг, була 1 % маси, а стала 2 %, тож уся маса мусила зменшитися вдвічі.
Тут немає ні ймовірностей, ні формул зі шкільного підручника для старших класів. Лише відсотки, які всі знають з п'ятого класу. Але спробуйте відповісти швидко, як на базарі: так цікавіше дізнатися, чи збіглася ваша перша думка з правильною відповіддю.
У мішку рівно 100 кг картоплі. Вона на 99 % складається з води, а решта, 1 %, це суха речовина: крохмаль, клітковина, усе, що не випаровується.
Мішок лишили на ніч надворі. Частина води випарувалася, а суха речовина нікуди не ділася.
Уранці картоплю перевірили: тепер вода становить 98 % її маси.
Скільки тепер важить картопля?
«Води поменшало на 1 %, тож і картопля важить на кілограм менше, 99 кг»
Насправді 50 кг. «1 %» тут не кілограм, а відсотковий пункт частки, яка рахується від маси, що сама змінилася. Надійна опора одна: суха речовина. Її було 1 кг, і її лишилося 1 кг.
Оберіть відповідь рядком під повзунком, а потім уточніть її або введіть число в кілограмах.
Тут з'явиться порівняння вашої відповіді з правильною.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Не стежте за водою: вона змінюється, і відсоток води рахується від маси, яка теж змінюється. Знайдіть те, що за ніч не змінилося.
Скільки кілограмів сухої речовини в мішку ввечері? А скільки вранці? Яку частку маси вона становить уранці?
Якщо 1 кг становить 2 % мішка, скільки важить увесь мішок?
Наступні раунди зважують картоплю: ви посушите мішок самі, комп'ютер висушить його грам за грамом, а потім пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Мішок складається зі 100 клітинок по 1 кг: 99 синіх клітинок води й одна коричнева клітинка сухої речовини. Повзунок випаровує воду кілограм за кілограмом. Кнопки ставлять ціль: скільки води має лишитися у відсотках, і мішок сам висихає до неї.
Коричнева клітинка весь час одна. Частку води можна змінити лише тим, що ми забираємо сині клітинки, і кожна з них важить кілограм. Щоб коричнева стала 2 % мішка, мішок має складатися з 50 клітинок.
Комп'ютер бере 100 000 г картоплі й випаровує з неї воду по одному граму, щоразу зважуючи мішок і рахуючи частку води. Коли частка опускається до потрібного значення, він ставить точку. Праворуч від стартової частки він, навпаки, доливає воду по граму: так картоплю замочують. Формул тут немає, лише ваги. Сіра пунктирна пряма показує інтуїцію «мінус відсоток води, мінус кілограм».
Після вашої відповіді тут з'явиться код симуляції, який можна запустити в себе.
Та сама симуляція коротко і без бібліотек. JavaScript запускається в консолі браузера (F12) або в Node, Python потребує лише стандартної бібліотеки.
// 100 кг картоплі з 99 % води. Випаровуємо воду по граму й зважуємо мішок, доки частка води не стане потрібною.
// Частки в десятих частках відсотка, маси в грамах: лише цілі числа, без похибок округлення.
const START = 100000, DRY = 1000; // 1 % від 100 000 г — суха речовина, вона не випаровується
function weigh(target) { // target: частка води, наприклад 980 = 98 %
let total = START;
if (1000 * (total - DRY) >= target * total) { while (1000 * (total - DRY) > target * total) total--; } // сушимо
else { while (1000 * (total - DRY) < target * total) total++; } // замочуємо
return total;
}
for (const t of [995, 980, 970, 950, 900, 500]) {
const kg = weigh(t) / 1000, formula = (DRY / 1000) / (1 - t / 1000); // суха речовина / частка сухого
console.log(t / 10 + '% води:', kg.toFixed(3), 'кг, формула', formula.toFixed(3), 'кг, інтуїція', (100 - (99 - t / 10)).toFixed(1));
}
# 100 кг картоплі з 99 % води. Випаровуємо воду по граму й зважуємо мішок, доки частка води не стане потрібною.
# Частки в десятих частках відсотка, маси в грамах: лише цілі числа, без похибок округлення.
START, DRY = 100000, 1000 # 1 % від 100 000 г — суха речовина, вона не випаровується
def weigh(target): # target: частка води, наприклад 980 = 98 %
total = START
if 1000 * (total - DRY) >= target * total:
while 1000 * (total - DRY) > target * total:
total -= 1 # сушимо
else:
while 1000 * (total - DRY) < target * total:
total += 1 # замочуємо
return total
for t in [995, 980, 970, 950, 900, 500]:
kg = weigh(t) / 1000
formula = (DRY / 1000) / (1 - t / 1000) # суха речовина / частка сухого
print(f"{t / 10:g}% води: {kg:.3f} кг, формула {formula:.3f} кг, інтуїція {100 - (99 - t / 10):.1f}")
Інтуїція стежить за водою, бо вода змінюється. Але відсоток води рахується від усієї маси, а маса теж змінюється. Надійна опора лише одна: суха речовина, яка весь час важить 1 кг.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Увечері 1 кг сухої речовини становить 1 % мішка. Якщо 1 кг — це 1 %, то весь мішок 100 кг. Уранці той самий 1 кг становить уже 2 %. Якщо 1 кг — це 2 %, то весь мішок 50 кг. Більше нічого рахувати не треба.
Це суть задачі, хоч і не вся розповідь: чому інтуїція так помиляється і де ця пастка трапляється в житті, далі.
У кімнаті 99 чоловіків і одна жінка. Скільки чоловіків має вийти, щоб чоловіків стало 98 %? Жінка лишається одна, і вона має бути 2 % кімнати, тобто кожною п'ятдесятою людиною. Отже, у кімнаті 50 людей, і вийти мають 50 чоловіків. Та сама задача, лише замість води чоловіки, а замість сухої речовини жінка.
Ми чуємо «99 % води стало 98 %» і бачимо маленьку зміну: було 99, стало 98. Але подивіться на другий бік тих самих чисел. Суха частина була 1 %, а стала 2 %. Це не «трохи більше», це вдвічі більше. А частка сухої частини може подвоїтися, лише якщо все інше зменшиться вдвічі, бо сама вона не росте.
Ця асиметрія сильна лише біля 100 %. Якби картопля мала 50 % води і стала мати 49 %, суха частина виросла б з 50 % до 51 %, і маса змінилася б ледь помітно, з 100 кг до 98 кг. Чим ближче частка води до 100 %, тим меншою стає суха частина і тим сильніше її змінює кожен відсоток.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
| увечері | уранці | зміна | |
|---|---|---|---|
| частка води | 99% | 98% | −1 п. п. |
| частка сухого | 1% | 2% | +100% |
| вода, кг | 99 | 49 | −50,5% |
| суха речовина, кг | 1 | 1 | 0 |
| маса, кг | 100 | 50 | −50% |
Частка води змінилася на один відсотковий пункт, а відносно себе на 1/99 ≈ 1,01 %. Ні те, ні інше не каже, скільки води зникло. Щоб це дізнатися, частку треба помножити на масу, а маса вранці інша. Вода зменшилася з 99 кг до 49 кг, тобто на 50 кг, більше ніж наполовину.
| води | сухого | маса |
|---|---|---|
| 99,5% | 0,5% | 200 кг |
| 99% | 1% | 100 кг |
| 98% | 2% | 50 кг |
| 97% | 3% | 33⅓ кг |
| 95% | 5% | 20 кг |
| 90% | 10% | 10 кг |
Маса обернено пропорційна частці сухого: частка вдвічі більша, маса вдвічі менша. Тому графік у раунді 3 — гіпербола, а не пряма. Зверніть увагу на верхній рядок: якщо картоплю замочити до 99,5 % води, маса подвоїться до 200 кг.
Маса m₀ з часткою води p₀ висихає до частки p₁. Суха маса не змінюється.
Картопля: 100 кг, 99 % води, потім 98 %.
Скільки води треба випарувати: різниця мас.
Інтуїція «мінус кілограм» відповідає іншій формулі: m₁ = m₀ − m₀(p₀ − p₁), ніби відсотковий пункт завжди важить 1 % початкової маси. Це було б так, якби відсоток рахувався від незмінних 100 кг. Але частка 98 % рахується від нової маси, і знаменник 1 − p₁ робить залежність гіперболою.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Відсотки біля 100 % стискають величезні відмінності в кілька цифр після коми. Запишіть частку води як співвідношення води до сухого: 99 % — це 99 : 1, 98 % — це 49 : 1, а 99,9 % — це 999 : 1. Тепер видно, що «мінус один відсоток» скоротив воду на кожен кілограм сухого вдвічі.
У середині шкали все навпаки: 50 % — це 1 : 1, 49 % — це 0,96 : 1, зміна ледь помітна. Тому статистики, коли частки близькі до 0 або 100 %, часто переходять до співвідношень, а аналітики порівнюють не «99,9 % і 99,8 % часу без збоїв», а «збій раз на 1000 хвилин і раз на 500».
Філософ і логік Віллард ван Орман Квайн у есеї «The Ways of Paradox» поділив парадокси на три види. Хибні (falsidical): висновок звучить абсурдно і справді хибний, бо в міркуванні прихована помилка, як у «доведенні», що 1 = 2. Антиномії: правильне на вигляд міркування веде до суперечності й змушує переглянути самі правила мислення, як парадокс брехуна.
Картопля належить до третього виду, правдивих (veridical) парадоксів: висновок здається абсурдним, але він правдивий, і міркування бездоганне. Помиляється не математика, а очікування. Такі ж і задача Монті Голла, і парадокс днів народження.
Формула працює для будь-якої частки, але біля 100 % крива стає дуже крутою. Сама пастка ширша за картоплю: щоразу, коли відсоток рахується від величини, яка теж змінилася. А в житті її можна перевірити на кухні, у базі клієнтів і в чарці.
Загальна формула m₁ = m₀ · (1 − p₀)/(1 − p₁) каже, що маса залежить лише від того, у скільки разів змінилася частка сухого. Тому маса падає вдвічі і при 99 % → 98 %, і при 90 % → 80 %, і при 80 % → 60 %, і при 50 % → 0 %. У першому випадку частка води зменшилася на 1 пункт, в останньому на 50, а результат той самий.
Біля 100 % це робить кожну десяту частку відсотка важкою. Картопля з 99,9 % води, що підсохла до 99 %, втрачає 90 % маси: зі 100 кг лишається 10 кг. А з 99,9 % до 99,8 % — знову рівно половина. Спробуйте повзунками ліворуч.
Відсоток — це завжди частка від чогось. Картопляна пастка спрацьовує, коли ми непомітно вважаємо це «щось» незмінним. Ціна, яку знизили на 50 %, а потім підняли на 50 %, становить 75 % початкової, бо друге підвищення рахується від уже зниженої ціни. Безробіття, що зросло з 1 % до 2 %, зросло «на 1 відсотковий пункт» і водночас «на 100 %», і обидва заголовки правдиві.
Перш ніж порівнювати два відсотки, спитайте: від якої бази кожен із них, і чи вона та сама? Якщо база змінилася, шукайте величину, яка не змінилася, як суху речовину в картоплі, і рахуйте від неї.
Щоразу шукаємо те, що не змінюється, і ділимо його на нову частку. Вміст води у продуктах — з бази USDA FoodData Central (SR Legacy).
| Ситуація | Що не змінюється | Що виходить |
|---|---|---|
| Виноград сушать на родзинки: у винограді 80,54 % води, у темних родзинках без кісточок 15,46 % | суха речовина: 194,6 г на кілограм винограду | З 1 кг винограду виходить 0,1946 / 0,8454 ≈ 230 г родзинок. На 1 кг родзинок треба ≈ 4,34 кг винограду. |
| База розсилки: 10 000 контактів, 99 % з них давно не відкривають листів. Неактивних чистять, доки їх не стане 98 % | 100 активних контактів | Вони мають стати 2 % бази, отже лишається 5 000 контактів. «Мінус 1 %» неактивних означає видалити половину бази. |
| 1 л напою з 40 % спирту розводять водою до 20 % | 0,4 л спирту | 0,4 / 0,2 = 2 л: треба долити 1 л води. Справжній об'єм вийде трохи меншим, бо суміш спирту з водою стискається. |
| Актив становить 1 % портфеля на 100 000. Його частку хочуть підняти до 2 %, нічого не докуповуючи | 1 000 у цьому активі | Увесь портфель має стати 1 000 / 0,02 = 50 000: решту треба зменшити з 99 000 до 49 000, тобто більше ніж наполовину. |
Енциклопедія MathWorld Еріка Вайсстайна наводить задачу у фунтах: 100 фунтів картоплі, 99 % води, потім 98 %. Як джерело вона називає книжку Джона Аллена Паулоса «A Mathematician Reads the Newspaper» 1995 року, сторінку 81.
У «The Universal Book of Mathematics» Девіда Дарлінга (2004, с. 253) герой на ім'я Фред приносить додому 100 кг картоплі, яка «будучи суто математичною картоплею» на 99 % складається з води, і лишає її надворі на ніч. Саме це формулювання цитує Вікіпедія.
Американське радіошоу про автомобілі «Car Talk» щотижня загадувало слухачам головоломку. Картопляна задача була серед них під назвою «Porch Potatoes», «картопля на ґанку»: мішок лишили на ґанку, і він підсох.
Сира картопля зі шкіркою містить 79,25 % води (USDA). У ній 20,75 кг сухої речовини на 100 кг, тож якщо вода опуститься на один пункт, до 78,25 %, мішок схудне лише до 95,4 кг. Пастка працює саме біля 100 %.
Огірок зі шкіркою містить 95,23 % води, кавун 91,45 % (USDA). Навіть огірок далекий від 99 %: 100 кг огірків з 95,23 % води, що підсохли до 94,23 %, важитимуть 82,7 кг, а не 50.
Виноград містить 80,54 % води, темні родзинки 15,46 %. Частка води падає «лише» з 80 % до 15 %, а на кілограм родзинок іде близько 4,3 кг винограду. Ось чому сушені фрукти коштують дорожче за свіжі.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.