У сім'ї двоє дітей. Відомо, що хоча б одна з них хлопчик. Який шанс, що обидві? Більшість відповідає «1/2», а правильно 1/3. Якщо ж додати, що це хлопчик, народжений у вівторок, відповідь стає 13/27. Розберемося, чому день тижня щось змінює і чому відповідь залежить від того, як ви дізналися про хлопчика.
Задачу про двох дітей (її ще називають парадоксом «хлопчик чи дівчинка») опублікував Мартін Гарднер у 1959 році. Суперечки навколо неї тривають досі, бо одне й те саме речення можна зрозуміти по-різному.
У сусідів двоє дітей. Кожна дитина незалежно від іншої буває хлопчиком або дівчинкою з імовірністю 1/2.
Якщо записати старшу дитину першою, можливі чотири варіанти: ХХ, ХД, ДХ, ДД. Кожен трапляється в чверті сімей.
Варіант А: «хоча б одна дитина є хлопчиком». Варіант Б: «старша дитина є хлопчиком». Варіант В: «хоча б одна дитина є хлопчиком, народженим у вівторок».
Який у кожному варіанті шанс, що в сім'ї двоє хлопчиків?
«Друга дитина або хлопчик, або дівчинка. Отже, завжди 1/2»
Насправді відповіді різні: 1/3, 1/2 і 13/27. Фраза «хоча б одна» не вказує, яка саме дитина хлопчик, і тому відкидає лише сім'ю ДД. А день тижня, як не дивно, наближає відповідь до 1/2.
Останнє припущення найважливіше. Якщо інформацію отримано інакше, відповідь змінюється. Детальніше в раунді 4.
Для кожної фрази оцініть шанс, що в сім'ї двоє хлопчиків. Потім натисніть «Перевірити».
Тут з'явиться порівняння ваших оцінок з правильними відповідями.
Кожна картка є випадковою сім'єю: старша дитина ліворуч, молодша праворуч, на кожній дитині день тижня народження. Оберіть фразу, і сім'ї, для яких вона хибна, зблякнуть. Порахуйте, яку частку тих, що лишилися, становлять сім'ї з двома хлопчиками.
| Фраза | Двоє хл. / лишилось | Теорія |
|---|
У малій колоді частки стрибають. Додайте кілька сотень сімей, і вони наблизяться до теорії. Для вівторка лишається лише близько 14% колоди, тож там розкид найбільший.
Комп'ютер створює 100 000 випадкових сімей, для кожної фрази відбирає ті, для яких вона правдива, і рахує частку сімей з двома хлопчиками. Темна риска показує точну відповідь.
Фраза «хоча б одна дитина є хлопчиком з деталлю», де деталь має кожна дитина з імовірністю 1 з N. Лінія показує точну формулу, точки показують симуляцію: для кожної точки моделюються мільйони сімей, поки не лишиться кілька тисяч відібраних.
Усе вирішує одне питання: які сім'ї лишаються після того, як ви почули фразу. Ось чотири способи це побачити і формули.
У другому випадку сім'я ХХ завжди показує вам хлопчика, а ХД і ДХ лише в половині випадків. Ваги 1, ½, ½ дають частку ХХ рівно 1/2. Обидва батьки могли сказати «у нас є хлопчик», але процедура, яка привела до цієї фрази, різна.
Рядки: старша дитина. Стовпчики: молодша. Квадрат означає хлопчика, коло дівчинку, буква день тижня. Усі 196 клітинок однаково ймовірні.
У задачі Монті Голла відповідь 2/3 правильна лише тому, що ведучий знає, де авто, і завжди відчиняє двері з козою. Якщо ведучий відчиняє двері навмання і випадково показує козу, шанс стає 1/2. Тут те саме: якщо ви відібрали всі сім'ї з хоча б одним сином, відповідь 1/3. Якщо хлопчик потрапив вам на очі випадково, 1/2.
А чому важить вівторок? У сім'ї з двома хлопчиками дві спроби мати хлопчика, народженого у вівторок, а в сім'ї з одним хлопчиком лише одна. Тому ХХ проходить відбір майже вдвічі частіше, і частка ХХ піднімається з 1/3 майже до 1/2.
Чисельник ¼·(2p − p²) є шансом, що в сім'ї ХХ хоча б один із двох хлопчиків має деталь. Доданок ½·p відповідає сім'ям ХД і ДХ, де деталь має бути в єдиного хлопчика. Коли p мале, 2p − p² ≈ 2p, тож ХХ важить ½·p, рівно стільки ж, скільки ХД і ДХ разом.
Будь-яка деталь про хлопчика працює так само, як вівторок: що рідкісніша деталь, то ближче відповідь до 1/2. Перевірте це, а також подивіться, що змінюється для трьох дітей і для реального співвідношення статей.
Шанс, що всі троє хлопчики. Без жодної інформації це 1/8. «Перевірити» моделює 100 000 сімей.
| Що відомо | Точно |
|---|
На кожні 100 дівчаток народжується близько 105 хлопчиків, тобто шанс хлопчика ≈ 51,2%. Перемкніть модель і подивіться, наскільки зміняться відповіді.
| Що відомо | 50 : 50 | 105 : 100 | Обрана модель |
|---|
Мартін Гарднер поставив обидва питання, про старшу дитину і про «хоча б одного хлопчика», у своїй колонці «Математичні ігри» в журналі Scientific American у 1959 році. Він дав відповіді 1/2 і 1/3, а згодом визнав, що друге питання двозначне.
Версію з вівторком запропонував Гері Фоші на конференції Gathering 4 Gardner у 2010 році, присвяченій пам'яті Гарднера. Після цього задача швидко розійшлася газетами й блогами і стала однією з найсуперечливіших головоломок.
З 196 однаково ймовірних комбінацій «стать і день тижня» для двох дітей фраза про хлопчика у вівторок правдива лише для 27. Сім'я, де обидва сини народилися у вівторок, рахується один раз, тому вийшло 13 з 27, а не 14 з 28.
У світі на 100 новонароджених дівчаток припадає приблизно 105 хлопчиків. Для нашої задачі це майже нічого не змінює: відповідь «хоча б один хлопчик» зростає з 33,3% до 34,4%.
Майя Бар-Гіллель і Рума Фальк у статті «Some teasers concerning conditional probabilities» (журнал Cognition, 1982) показали, що відповідь на задачі такого типу залежить від того, як саме отримано інформацію, а не лише від її змісту.
Авторка колонки в журналі Parade, що пояснювала задачу Монті Голла, розбирала варіанти цієї задачі в 1991 і 1996 роках. Коли читачі засумнівалися в її розв'язку, вона опитала читачів, які мають рівно двох дітей і хоча б одного сина. Із 17 946 відповідей двох хлопчиків мали 35,9%, близько до 1/3.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.