Ви чекаєте на одне з трьох: автобус, що ходить раз на 20 хвилин, але розкладу ви не знаєте, тож чекати в середньому 10 хвилин; автобус, що приходить коли завгодно, в середньому раз на 10 хвилин; відповідь на заявку про роботу, яка в середньому приходить за 10 днів. Ви прочекали 10 хвилин (на заявку 10 днів), а нічого немає. Скільки ще чекати тепер: менше за 10, ті самі 10 чи більше? Зафіксуйте відповідь для кожного випадку, а потім перевірте її.
Спочатку в усіх трьох випадках чекати в середньому 10. Ви прочекали 10. Автобус за розкладом тепер прийде в середньому за 5 хвилин. Автобус без розкладу, як і на початку, за 10. А відповіді на заявку чекати в середньому ще 15 днів, і що довше тиша, то більше лишилося: після 20 днів тиші ще 20. Прочеканий час не повернеш, але він підказує, на що саме ви чекаєте.
Ця задача про те, що каже вже прочеканий час про час, що лишився. У теорії надійності це називають середнім залишковим часом.
Ця задача про те, що каже вже прочеканий час про час, що лишився. У теорії надійності це називають середнім залишковим часом, і залежно від розподілу він може спадати, стояти на місці або рости.
Автобус ходить строго раз на 20 хвилин, але розкладу ви не знаєте і приходите в довільний момент. Від вашого приходу до автобуса минає будь-що від 0 до 20 хвилин, у середньому 10.
Автобуси приходять незалежно один від одного, у випадкові моменти, в середньому раз на 10 хвилин. Як показує парадокс автобуса, якщо прийти в довільний момент, чекати теж у середньому 10 хвилин.
Ви подали заявку на роботу. Компанії відповідають у середньому за 10 днів, але дуже по-різному: приблизно половина відповідає за 5 днів, кожна восьма мовчить понад 20 днів, а деякі відповідають через місяці.
У кожному випадку ви вже прочекали 10 (хвилин або днів), а нічого немає. Скільки в середньому ще чекати: менше за 10, ті самі 10 чи більше?
«Я вже стільки прочекав, тепер точно скоро»
Це правда лише для автобуса за розкладом: там залишок падає до 5 хвилин. Автобусу без розкладу байдуже, скільки ви чекали, він так само за 10. А відповідь на заявку після 10 днів тиші в середньому прийде лише ще через 15: довга тиша є поганою ознакою.
Де закінчується очікування: синій розклад рівно в межах 0–20, зелені випадкові автобуси здебільшого до 20–30, а відповіді на заявку (жовті) мають довгий хвіст.
Для кожного очікування оберіть, скільки в середньому лишилося порівняно з 10 на початку. Зафіксуйте відповідь, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Подумайте, чи має кожне очікування межу. Чи є момент, після якого автобус за розкладом точно вже прийде?
Автобуси без розкладу приходять незалежно: у кожну хвилину шанс той самий. Чи знає автобус, скільки ви вже стоїте?
Компанії бувають швидкі й повільні. Хто з них найчастіше ще мовчить через 10 днів після заявки?
Наступні раунди показують, скільки лишилося чекати в кожному випадку: зал очікування, симуляція і пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Кожна крапка означає людину, що почала чекати в нульовий момент. Запустіть годинник або посуньте повзунок. Коли автобус чи відповідь приходить, крапка стає порожньою. Праворуч видно, скільки людей ще чекає і скільки їм у середньому лишилося. Тут це не формула, а реальні долі цих 300 людей.
У черзі за відповіддю відтінок крапки показує, наскільки швидка компанія: світлі відповідають за кілька днів, темні тижнями. Посуньте повзунок до 10, а потім до 20 і подивіться, які крапки лишаються.
Комп'ютер розігрує багато очікувань кожного виду. Для кожного моменту t беремо лише тих, хто ще чекає, і рахуємо, скільки їм у середньому лишилося. Лінії показують точні формули, точки показують симуляцію.
Ліворуч: три прямі виходять з однієї точки, 10 на початку, і розходяться. Розклад спадає до нуля на 20-й хвилині, випадковий автобус тримається на 10, а заявка росте на половину кожного прочеканого дня. Праворуч: частки тих, хто ще чекає. Після 20 у черзі за розкладом не лишається нікого, за випадковим автобусом лишається 13,5%, а за відповіддю 12,5%. Ці дві частки майже однакові, але далі заявка тане значно повільніше: її хвіст довгий. Ліворуч точки черги за відповіддю для t > 30 розкидані сильніше, бо там лишається мало людей.
Після вашої відповіді тут з'явиться код симуляції, який можна запустити в себе.
Та сама симуляція коротко і без бібліотек. JavaScript запускається в консолі браузера (F12) або в Node, Python потребує лише стандартної бібліотеки.
// Три очікування, у кожному в середньому 10. Скільки лишилося тим, хто вже прочекав t?
const N = 400000;
const waits = {
'розклад': () => 20 * Math.random(), // автобус кожні 20 хв: від 0 до 20
'без розкладу': () => -10 * Math.log(1 - Math.random()), // експоненційний, середнє 10
'заявка': () => 20 * (Math.pow(1 - Math.random(), -1 / 3) - 1) // Ломакс α = 3, λ = 20, середнє 10
};
for (const [name, draw] of Object.entries(waits)) {
const xs = Array.from({ length: N }, draw);
const out = [0, 10, 20].map(t => {
const left = xs.filter(x => x > t); // лише ті, хто ще чекає
if (!left.length) return `t=${t}: –`;
const avg = left.reduce((s, x) => s + x - t, 0) / left.length;
return `t=${t}: ${avg.toFixed(2)}`;
});
console.log(name.padEnd(14), out.join(' '));
}
# Три очікування, у кожному в середньому 10. Скільки лишилося тим, хто вже прочекав t?
import random
N = 400_000
waits = {
"розклад": lambda: 20 * random.random(), # автобус кожні 20 хв: від 0 до 20
"без розкладу": lambda: random.expovariate(1 / 10), # експоненційний, середнє 10
"заявка": lambda: 20 * ((1 - random.random()) ** (-1 / 3) - 1), # Ломакс α = 3, λ = 20, середнє 10
}
for name, draw in waits.items():
xs = [draw() for _ in range(N)]
out = []
for t in (0, 10, 20):
left = [x - t for x in xs if x > t] # лише ті, хто ще чекає
out.append(f"t={t}: {sum(left) / len(left):.2f}" if left else f"t={t}: –")
print(f"{name:14}", " ".join(out))
Прочеканих хвилин не повернути, тож рішення «чекати далі чи піти» має дивитися лише вперед. Але вперед видно по-різному залежно від того, що прочекане сказало про ваше очікування.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Спростимо модель до двох видів компаній. Ви подаєте 100 заявок: 75 у швидкі компанії, що відповідають у середньому за 5 днів, і 25 у повільні, у середньому за 25 днів. Разом виходить ті самі 10 днів у середньому.
Минає 10 днів. Зі швидких мовчить лише близько 10 (світлі крапки), з повільних близько 17 (темні). Отже, якщо вам досі не відповіли, то найімовірніше, ви чекаєте на повільну компанію, і чекати ще довго: у цьому прикладі в середньому близько 17 днів.
Ця картка показує механізм, але не точне число: у моделі сторінки швидкість компаній розподілена плавно, і там після 10 днів лишається 15.
Автобус ходить кожні 20 хвилин, тож прийде будь-коли від 0 до 20 хвилин після вас. Ви прочекали 10, і його ще немає. Значить, він прийде в другій половині, між 10-ю і 20-ю хвилинами, у середньому посередині: ще за 5 хвилин.
Тут прочекане справді працює на вас: у очікування є межа, і кожна хвилина до неї наближає. Після 15 хвилин лишається 2,5, після 19 лише пів хвилини.
Автобуси без розкладу приходять незалежно один від одного, тож у кожну хвилину шанс, що автобус прийде, однаковий: близько 1 з 10. Він не залежить від того, скільки ви вже стоїте. Хоч 10 хвилин чекали, хоч 30, попереду все ті самі 10 хвилин у середньому.
Так само монета не «мусить» випасти решкою після п'яти орлів поспіль. Прочекане тут нічого не каже ні на користь, ні проти: це чисте невезіння, яке не змінює майбутнього. Докладніше в парадоксі автобуса.
Помилка безповоротних витрат (sunk cost fallacy) звучить так: «Я вже стільки вклав, що піти тепер шкода». Але вкладене не повертається ні в разі, якщо ви лишитеся, ні в разі, якщо підете. Розумне питання одне: скільки ще чекати і чи варте воно того.
Ця задача додає важливу деталь: прочеканий час не впливає на рішення як витрата, але впливає як інформація. Якщо в очікування є межа (розклад, таймер на плиті), чекати далі вигідніше з кожною хвилиною. Якщо це суміш швидких і дуже повільних випадків (відповіді, ремонти, проєкти), довга тиша означає, що вам, найімовірніше, трапився повільний, і «шкода йти» стає найгіршим аргументом саме тоді, коли він звучить найсильніше.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
| Прочекано | Розклад | Без розкладу | Заявка | Ще чекають на заявку |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 10 | 10 | 10 | 100% |
| 5 | 7,5 | 10 | 12,5 | 51,2% |
| 10 | 5 | 10 | 15 | 29,6% |
| 20 | – | 10 | 20 | 12,5% (1 з 8) |
| 40 | – | 10 | 30 | 3,7% (1 з 27) |
| 60 | – | 10 | 40 | 1,6% (1 з 64) |
Після 20 хвилин автобус за розкладом уже точно прийшов, тому там прочерк. На заявку після 20 днів чекає кожен восьмий, і цим людям лишається ще в середньому 20 днів, тобто стільки, скільки вони вже прочекали. Після 60 днів чекає один з 64, і йому лишається ще 40.
X означає повний час очікування, S(x) — частку тих, хто чекає довше за x. Середній залишок після t рахуємо лише серед тих, хто ще чекає.
Розклад: рівномірно від 0 до 20.
Без розкладу: експоненційний розподіл із середнім 10, єдиний неперервний без пам'яті.
Заявка: розподіл Ломакса (Парето другого роду) з α = 3 і λ = 20. Середнє λ/(α − 1) = 10, медіана 20(21/3 − 1) ≈ 5,2.
Звідки береться довгий хвіст: кожна компанія відповідає «без пам'яті», але зі своєю швидкістю r, а швидкості різні (гамма-розподіл). Суміш експоненційних і дає розподіл Ломакса.
Різницю між трьома випадками зручно описати швидкістю завершення (інтенсивністю відмов) h(t) = f(t)/S(t): який шанс, що очікування закінчиться в найближчу хвилину, якщо воно досі не закінчилося. У розкладу вона росте: 1/(20 − t). У випадкового автобуса стала: 1/10. У заявки спадає: 3/(20 + t). Коли h(t) росте, залишок скорочується, коли спадає, росте.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Бенуа Мандельброт у книжці «The Fractal Geometry of Nature» (1982) описав це правило на прикладі кар'єр: скільки б уже не тривав доробок людини, в середньому він триватиме ще стільки ж. Це саме лінія m(t) ≈ t, як у заявки для великих t. Нассім Талеб у «Antifragile» (2012) назвав так правило для книжок, ідей і технологій: книжка, яку друкують 40 років, найімовірніше, протримається ще десятиліття.
Ефект Лінді працює лише для того, що не старіє. Людина чи автомобіль зношуються, і для них середній залишок з віком падає, як у розкладу.
Інженери малюють інтенсивність відмов у вигляді «ванни» (bathtub curve). Спочатку вона спадає: деякі прилади мають заводський брак і ламаються одразу, а той, що пропрацював тиждень, найімовірніше, без браку. Це наша заявка. Потім вона довго стала: відмови випадкові, як автобуси без розкладу. Наприкінці росте: прилад зношується, як автобус за розкладом, що неминуче наближається.
Тому нову техніку часто «проганяють» кілька днів перед відправкою (burn-in): ті, що пережили початок, далі служать надійніше.
Відповідь на заявку є лише однією точкою на шкалі. Можна плавно перейти від випадкового автобуса до хвостів, де очікування тягнеться без кінця, і подивитися, коли варто піти.
Середнє скрізь те саме, 10. Змінюється параметр хвоста α розподілу Ломакса, а λ = 10(α − 1) підбираємо так, щоб середнє не змінилося. Тоді лишається m(t) = 10 + t/(α − 1): кожен прочеканий день додає 1/(α − 1) дня до прогнозу.
Коли α росте, хвіст коротшає, і на межі α → ∞ виходить випадковий автобус: пряма на висоті 10. Коли α прямує до 2, кожен прочеканий день додає майже цілий день, як в ефекті Лінді. При α ≤ 2 розкид стає нескінченним: симуляція скаче від запуску до запуску, бо все вирішують кілька рідкісних дуже довгих очікувань. При α ≤ 1 нескінченним стає навіть середнє.
А якщо частина компаній не відповідає ніколи, ефект ще сильніший. Нехай кожна п'ята компанія мовчить завжди. Тоді після 10 днів тиші частка «мовчунів» серед тих, кому ще не відповіли, зростає з 20% до 46%, а після 20 днів до 67%. Тиша дедалі частіше означає «ніколи».
Перед тим як сказати «вже скоро», спитайте себе, на який з трьох випадків схоже ваше очікування: чи є в нього межа, чи воно «без пам'яті», чи це суміш швидких і дуже повільних.
| Ситуація | Тип | Що каже прочекане |
|---|---|---|
| Таймер на плиті, автобус за розкладом, лекція, що закінчиться за розкладом | Є межа | Що довше чекали, то менше лишилося. Тут «вже скоро» правда. |
| Розпад радіоактивного атома, автобуси без розкладу, дзвінки в кол-центр у спокійну годину | Без пам'яті | Нічого. Атом, що прожив тисячу років, має ті самі шанси розпастися, що й новий. |
| Відповідь на заявку, ремонт «на пару днів», проєкт, що вже запізнюється | Суміш, важкий хвіст | Що довше тиша, то більше лишилося. Варто заздалегідь назначити собі строк і після нього діяти: розсилати інші заявки, шукати іншого майстра. |
| Людське життя | Старіння | Що старша людина, то менше їй у середньому лишилося, хоча вік, до якого вона в середньому доживе, росте: ті, хто дожив до 80, вже пережили ризики молодості. |
Назва «Lindy's Law» з'явилася в есеї Альберта Голдмана в журналі The New Republic. Lindy's — нью-йоркська кулінарія, де збиралися коміки й обговорювали шоу-бізнес. У Голдмана закон був про те, що в коміка обмежений запас матеріалу, тож що частіше він виступає, то швидше вичерпається.
Бенуа Мандельброт узяв назву для «The Fractal Geometry of Nature», але зробив з неї протилежне: що довший уже доробок, то довшим він буде в майбутньому, в середньому ще стільки ж. Він додав, що коли робота все-таки обривається, то в середньому на половині обіцяного. Тобі Орд пізніше зауважив, що Голдман і Мандельброт, можливо, описували зовсім різні закони.
Астрофізик Річард Ґотт побачив Берлінський мур 1969 року, коли тому було 8 років. Він міркував, що прийшов у випадковий момент його існування, і дав 50% шансів, що мур простоїть ще від 2⅔ до 24 років. Мур упав за 20 років. 1993 року Ґотт описав цей «принцип Коперника» для прогнозів у журналі Nature.
Річард Докінз і Тамсін Карлайл у статті в Nature назвали помилку безповоротних витрат на честь надзвукового літака «Конкорд», у який британський і французький уряди продовжували вкладати гроші, хоча вигоди вже не було видно. Вони показали, що ця сама помилка спокушає й теоретиків поведінки тварин, коли ті пояснюють піклування батьків про потомство.
Гел Аркс і Кетрін Блумер (1985) продали абонементи театру Університету Огайо на сезон 1982–1983 за трьома цінами: повною і зі знижками в 2 і 7 доларів. За першу половину сезону ті, хто заплатив повну ціну, сходили в середньому на 4,11 вистави, а ті, хто отримав знижку, приблизно на 3,3. У другій половині різниці майже не було. Пізніші дослідники вважають ефект слабшим, ніж здавалося.
Розпад радіоактивного атома є найчистішим прикладом очікування без пам'яті. Тому в атома є період напіврозпаду, але немає віку: атом урану, що пролежав у породі мільярд років, має ті самі шанси розпастися наступної секунди, що й щойно утворений.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Поглиблено» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.