Спочатку були краватки
Найдавніша відома версія належить Морісу Крайчику, автору книжки про математичні розваги. У нього двоє чоловіків порівнюють свої краватки, а також гаманці.
У двох конвертах гроші, і в одному їх удвічі більше. Ви берете конверт і бачите суму A. В іншому або 2A, або A/2, тож у середньому 1,25A, і міняти вигідно. Але конверт ви обрали навмання, тому обмін нічого не може дати. Тут немає однієї правильної цифри: треба знайти крок, де міркування ламається.
Ведучий кладе в один конверт суму x, а в інший 2x. Ви не знаєте, де яка. Задача відома з середини XX століття, і про те, як найкраще пояснити помилку, досі пишуть наукові статті.
У двох однакових конвертах лежать гроші. В одному сума вдвічі більша, ніж в іншому.
Ви берете один конверт навмання. Можете відкрити його і побачити суму A, а можете не відкривати.
«В іншому конверті або 2A, або A/2, шанси 50 на 50. Отже, в середньому там ½·2A + ½·A/2 = 1,25A. Обмін вигідний».
Те саме міркування працює і для закритого конверта, і для іншого конверта після обміну. Виходить, міняти треба нескінченно. Котрий крок у міркуванні хибний?
«Можна виграти A або втратити лише A/2. Треба міняти»
Якщо конверт закритий, обмін нічого не дає: ви обрали навмання, і обидва конверти рівноправні. Помилка ховається в тому, що означає буква A. Ця задача про логіку міркування, а не про одну цифру у відповіді.
Якщо ви бачите суму, відповідь залежить від правила ведучого. Про це раунди 4 і 5.
Ви взяли конверт і не відкривали його. Зафіксуйте відповідь, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Ведучий обирає суми за прихованим правилом. Ви відкриваєте конверт і вирішуєте: залишити чи обміняти. Праворуч гра рахує, скільки ви отримали б, якби завжди залишали або завжди міняли. Якщо аргумент про 1,25A правильний, другий підсумок має бути на чверть більший.
У кожному раунді «завжди залишати» отримує ваш конверт, а «завжди міняти» отримує інший. Конверти ті самі, різниться лише рішення. Правило ведучого розкрито в раунді 4.
Комп'ютер грає багато раундів із трьома стратегіями. Графік показує, у скільки разів підсумок «завжди міняти» більший за «завжди залишати». Наївний аргумент обіцяє 1,25. Теорія каже 1. Третя стратегія, трюк Томаса Кавера, міняє конверт, лише якщо сума менша за випадковий поріг.
Поріг Кавера: перед кожним раундом обираємо випадкове число T (експоненційний розподіл із середнім 100). Якщо сума в конверті менша за T, міняємо, інакше залишаємо. Для будь-якого правила ведучого шанс закінчити з більшим конвертом вищий за 50%, бо іноді T потрапляє між x і 2x. Наскільки вищий, залежить від того, чи схожий масштаб T на масштаб сум. Для сум до мільйона з тим самим T перевага становила б лише кілька тисячних відсотка.
Міркування про 1,25A має дві слабкі ланки. Перша: буква A означає різні суми в різних випадках. Друга: шанси 50 на 50 не можуть виконуватися для кожної суми.
Нехай у конвертах x і 2x. Кожен випадок має шанс ½, тож середній виграш від обміну дорівнює нулю. Наївна формула бере A = x у першому випадку і A = 2x у другому, а потім рахує їх як одну суму. Тому виграш виглядає як A, а втрата як A/2, хоча насправді обидва дорівнюють x.
Застосуйте те саме міркування до другого конверта, позначивши його суму B. Вийде, що в першому в середньому 1,25B. Тобто кожен конверт у середньому на чверть більший за інший, чого не буває. Якщо логіка доводить і твердження, і його протилежність, у ній є помилка, навіть коли ми ще не бачимо, де.
Шанс, що інший конверт більший, залежить від того, як ведучий обирає суми. Щоб він дорівнював ½ для кожного A, сума A/2 мала б бути такою ж імовірною, як A, а A так само ймовірною, як 2A, і так далі до нескінченності в обидва боки. Безліч однаково ймовірних сум дає загальну ймовірність нескінченність, а не 1. Такого правила не існує.
Якщо ви не відкриваєте конверт, у вас немає жодної інформації. «Взяти конверт навмання й обміняти» означає те саме, що «взяти навмання інший конверт». Обидва способи дають більший конверт із шансом ½. Тому в симуляції підсумки «міняти» і «залишати» збігаються для будь-якого правила ведучого.
У грі ведучий обирав меншу суму x серед 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320 з однаковою ймовірністю. Для більшості сум, які ви бачите, шанси справді 50 на 50, і обмін у середньому дає 1,25A. Але якщо ви бачите 640, в іншому конверті точно 320. Ця одна велика втрата врівноважує всі виграші, і загальний підсумок обміну наосліп дорівнює нулю.
| Ви бачите A | Шанс побачити | Інший більший | Інший у середньому | Внесок у виграш від обміну |
|---|
Тож якщо ви знаєте правило ведучого і бачите суму, правильна відповідь залежить від суми: тут міняти треба завжди, крім 640.
Поріг працює так. Якщо T нижчий за обидві суми, ви завжди залишаєте, якщо вищий за обидві, завжди міняєте: в обох випадках шанс ½. Але якщо T потрапив між x і 2x, ви міняєте менший конверт і залишаєте більший, тобто виграєте напевно. Для T з додатною щільністю на всіх числах цей шанс завжди більший за нуль.
Що буде, якщо ви знаєте, яка найбільша можлива сума? А якщо ведучий обирає суми так, що обмін вигідний для кожної суми, яку ви бачите? І звідки взагалі ця задача.
Менша сума x рівномірно розподілена від 0 до 50. Ви бачите суму A і міняєте, якщо A не перевищує порогу. Якщо ви бачите понад 50, це точно більший конверт.
Найкращий поріг 50 дає 75% і в середньому на 25% більше грошей. Тут обмін справді вигідний, бо ви знаєте межу і бачите суму.
Філософ Джон Брум у 1995 році описав таке правило: менша сума дорівнює 2ᵏ з імовірністю ⅓·(⅔)ᵏ, k = 0, 1, 2, … Якщо ви бачите A = 1, в іншому точно 2. Для будь-якої іншої A інший конверт більший з шансом 2/5 і в середньому містить 1,1A. Отже, хоч би що ви побачили, обмін вигідний. Таблиця перевіряє це на 100 000 раундах.
| A | Раундів | Інший більший | Інший / A, симуляція | Теорія |
|---|
У цього правила середня сума нескінченна. Тому «середній виграш від обміну» перетворюється на ∞ − ∞ і не має значення. Ось середній виграш обміну наосліп у шести окремих серіях по 10 000 раундів. Він не наближається до жодного числа, а стрибає то вгору, то вниз:
Це той випадок, коли наївний аргумент начебто справджується для кожної суми. Але висновок «отже, обмін наосліп вигідний» усе одно хибний, бо підсумувати ці виграші неможливо.
Старший родич задачі належить бельгійському математику Морісу Крайчику. Двоє чоловіків сперечаються, чия краватка дорожча. Домовляються: власник дорожчої краватки віддає її іншому. Кожен міркує так: «Якщо програю, втрачу свою краватку. Якщо виграю, отримаю дорожчу. Ставка вигідна». Ставка не може бути вигідною для обох одразу.
Помилка та сама, що й з конвертами: «моя краватка» в разі виграшу і в разі програшу коштує по-різному. Якщо ціни краваток c і C, то переможець отримує C − c, а переможений втрачає ту саму різницю.
Найдавніша відома версія належить Морісу Крайчику, автору книжки про математичні розваги. У нього двоє чоловіків порівнюють свої краватки, а також гаманці.
Математик Джон Літлвуд навів схожу задачу у своїй книжці 1953 року і приписав її фізику Ервіну Шредінгеру. У тій версії на кожній картці з обох боків написано по числу. Ви бачите один бік випадкової картки і вирішуєте, чи варто її перевернути.
Мартін Гарднер уперше написав про парадокс краваток у колонці «Математичні ігри» в січні 1958 року. Пізніше, у 1982 році, він популяризував його як гру з гаманцями в книжці Aha! Gotcha.
Економіст Баррі Нейлбафф опублікував дві задачі про конверти, у 1988 і 1989 роках. Саме друга з них найчастіше трапляється сьогодні під назвою «парадокс двох конвертів».
Логік Реймонд Смалліан показав, що задача ламає інтуїцію і без імовірностей. «Якщо в конвертах x і 2x, я виграю або втрачу x». «Якщо в мене A, я виграю A або втрачу A/2». Обидва речення звучать правильно, але дають різні висновки.
Стратегію з випадковим порогом зазвичай приписують теоретику інформації Томасу Каверу. Вона виграє частіше ніж у половині випадків для будь-якого правила ведучого, навіть невідомого. Про задачу загалом написано десятки статей, і єдиного пояснення, з яким згодні всі, досі немає.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.