У місті 500 000 дорослих. На місці крадіжки злодій лишив кров, і її ознаки трапляються в одного дорослого з 10 000. Під час перевірки, не пов'язаної зі справою, в одного чоловіка взяли аналіз, і він збігся. Більше проти нього нічого немає. Експерт каже суду: «Випадковий невинний збігся б лише з шансом 1 на 10 000». Прокурор робить висновок: «Отже, шанс, що він невинний, — 1 на 10 000». Чи правий прокурор?
Серед 500 000 дорослих такі самі ознаки крові мають ще близько 50 невинних людей. Усі вони збіглися б так само. Тож збіг звужує коло до приблизно 51 людини, і лише одна з них злодій: шанс провини близько 2%, а невинуватості близько 98%. Прокурор переплутав два різні питання: «який шанс збігу, якщо людина невинна» і «який шанс, що людина невинна, якщо вона збіглася».
Справа вигадана, але числа реалістичні, а помилка в ній справжня: через неї засуджували невинних людей. Юристи називають її «помилкою прокурора». За нею стоїть умовна ймовірність і теорема Баєса.
У місті живе 500 000 дорослих. Хтось із них уночі виніс із крамниці касу і, розбиваючи вітрину, порізав руку. На склі лишилася кров. Свідків немає, камер теж.
Лабораторія визначила групу крові й кілька інших ознак. Таке поєднання трапляється в одного дорослого з 10 000. Лабораторія не помиляється: кров злодія точно збіжеться з його аналізом.
Через тиждень в одного чоловіка взяли аналіз крові з приводу, ніяк не пов'язаного з крадіжкою, і ознаки збіглися. Алібі в нього немає, але й нічого іншого проти нього немає: ні вкраденого, ні свідків, ні мотиву.
Експерт: «Якби підсудний був ні до чого, такий збіг трапився б лише з шансом 1 на 10 000». Прокурор: «Отже, шанс, що він невинний, — 1 на 10 000, тобто 0,01%». Яка ймовірність, що підсудний невинний насправді?
«Збіг 1 на 10 000 — це майже доказ. Невинний так не збігся б»
Окремий невинний справді майже ніколи не збігається. Але невинних у місті 499 999, і серед них таких «майже ніколи» назбирається близько 50. Злодій один. Тож серед усіх, хто збігся, злодій лише один із приблизно 51.
Збіг 1 на 10 000, у місті 500 000 дорослих, більше доказів немає. Оберіть відповідь.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Експерт назвав шанс збігу для однієї невинної людини. Але невинна людина в місті не одна.
Порахуйте, скільки з 499 999 невинних дорослих мали б такі самі ознаки крові, якщо кожен збігається з шансом 1 на 10 000.
Уявіть, що аналіз взяли в усього міста. Збіглися б злодій і всі ці невинні. Підсудний — один із них, і про нього більше нічого не відомо. Яка частка з них злодій?
Кожна справа — інше місце і інші сліди. Правило суду в цій грі: «винний», лише якщо шанс провини щонайменше 95%. Вирішіть, чи це так. Можна попросити детектива перелічити людей, у яких збігся б слід, але це коштує 4 очки. Правильний вердикт дає 10 очок. Наприкінці кожної справи гра розкриває, хто в цьому місті був злодієм насправді: іноді навіть правильний вердикт не вбереже від помилки.
Вона підказує розв'язок, тож спершу вгадайте самі.
Симуляція будує місто за містом. У кожному один злодій, а кожен із решти жителів збігається зі слідом випадково, з тим самим шансом. Потім вона рахує всіх, у кого слід збігся, і дивиться, яка частка з них винна. Це і є шанс провини людини, про яку відомо лише те, що вона збіглася. Теорема Баєса дає це число точно. Оберіть розмір міста і рідкісність сліду.
Вона одразу показує відповідь.
Експерт відповідав на одне питання, а суду потрібна відповідь на інше. Найпростіше побачити різницю, якщо рахувати людей, а не відсотки.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Уявіть, що поліція взяла кров у всього міста. Збіглися б злодій і близько 50 невинних. Наш підсудний — один із цих 51, і нічого більше про нього не відомо. Тож шанс, що злодій саме він, — 1 із 51, близько 2%. Ця картка не пояснює, чому «1 на 10 000» звучить як майже доказ і де саме помиляється прокурор. Про це наступна.
Ці питання звучать майже однаково, але відповіді в них дуже різні. Порівняйте: майже кожен папа римський — католик, але майже жоден католик не папа римський. «Якщо папа, то католик» — майже напевно. «Якщо католик, то папа» — один на понад мільярд. Прокурор узяв відповідь на перше питання і видав її за відповідь на друге. Звідси й назва помилки.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
1 : 499 999 × 10 000 = 10 000 : 499 999 ≈ 1 : 50
До аналізу шанси, що злодій саме цей чоловік, — 1 проти 499 999: він один із 500 000. Збіг у 10 000 разів імовірніший, якщо він винний (тоді збіг гарантований), ніж якщо невинний (1 на 10 000). Це число називають відношенням правдоподібності, і воно множить шанси. Виходить 1 проти 50: шанс провини 1/51 ≈ 2%. Збіг — сильний доказ: він підняв шанси в 10 000 разів. Але почалося все з дуже малих шансів.
Той самий збіг, той самий експерт, та сама цифра 1 на 10 000. На острові зі 100 жителів він майже доводить провину, у країні з 5 мільйонів майже нічого не важить. Сила доказу залежить не лише від його рідкісності, а й від того, скільки людей могли б його лишити. Тому суду важливо знати, як саме знайшли підозрюваного і чи є інші докази.
В — підсудний винний, З — слід збігся. Експерт назвав P(З | не В) = p, а суду потрібне P(В | З). Теорема Баєса пов'язує їх через шанс до аналізу P(В).
Злодій збігається завжди: P(З | В) = 1. До аналізу підсудний — один із N людей: P(В) = 1/N. Підставляємо і скорочуємо на 1/N.
(N − 1)p — це очікувана кількість невинних, що збігаються. У нашій справі N = 500 000, p = 1/10 000.
Те саме у вигляді шансів: шанси після доказу = шанси до доказу × відношення правдоподібності.
Помилка прокурора — це підміна P(В | З) на 1 − P(З | не В), тобто на 1 − 1/10 000 = 99,99%. Ці числа збігаються лише тоді, коли шанс до аналізу близько 50 на 50, а в справі, де підсудного знайшли лише за збігом, він дуже малий.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
У 1996 і 1998 роках у Саллі Кларк раптово померли двоє синів-немовлят, Крістофер і Гаррі. У листопаді 1999 року її засудили за вбивство обох до довічного ув'язнення. Одним із доказів було свідчення педіатра Роя Медоу: шанс двох випадків синдрому раптової дитячої смерті в такій родині, як у Кларк, — 1 на 73 мільйони.
Перша помилка — множення залежних подій. Медоу взяв оцінку 1 на 8 543 для однієї такої смерті в схожій родині і підніс її до квадрата: 8 543² = 72 982 849. Так можна робити лише з незалежними подіями. Королівське статистичне товариство в жовтні 2001 року публічно заявило, що для цієї цифри немає статистичних підстав, а в січні 2002 року його президент Пітер Грін написав лордові-канцлеру: є вагомі причини вважати, що в родинах можуть бути спадкові чи побутові чинники, через які друга така смерть стає значно ймовірнішою.
Друга помилка — помилка прокурора. Навіть правильну цифру легко прочитати як «шанс, що смерті були природними». Так її й подавала частина преси. У тому самому листі товариство пояснило: подвійне вбивство немовлят теж надзвичайно рідкісне, і суд має порівнювати, наскільки ймовірні ці смерті за кожного з двох пояснень, а не дивитися лише на те, наскільки вони малоймовірні за одного.
Першу апеляцію відхилили в 2000 році. У січні 2003 року вирок скасували: з'ясувалося, що патологоанатом обвинувачення не розкрив результатів мікробіологічних аналізів, які вказували на інфекцію в Гаррі. Саллі Кларк вийшла на волю і померла в 2007 році.
У Лос-Анджелесі свідки описали пару грабіжників: жінка-блондинка з кінським хвостом, темношкірий чоловік з бородою і вусами, жовте авто. Обвинувачення приписало кожній ознаці частоту (від 1 на 3 до 1 на 1 000), математик перемножив їх і отримав 1 на 12 мільйонів. Подружжя Коллінзів, що підходило під опис, засудили.
Верховний суд Каліфорнії в 1968 році вирок скасував. Частоти були взяті зі стелі, а ознаки залежні (борода і вуса часто йдуть разом). І навіть якщо прийняти цифри обвинувачення, суд у додатку до рішення порахував: шанс, що в регіоні є ще хоч одна така пара, перевищує 40%. Рідкісне не означає єдине.
Психологи Вільям Томпсон і Едвард Шуман у 1987 році назвали обидві помилки. Помилка адвоката протилежна: «Якщо слід є в одного з 400, то в нашому місті таких людей тисячі, отже, збіг нічого не важить». Насправді збіг звужує коло з мільйонів до тисяч, і разом з іншими доказами може зробити провину дуже ймовірною. Доказ не треба ні переоцінювати, ні викидати: його треба множити на все інше, що відомо.
Схожу суперечку пам'ятають зі справи О. Джея Сімпсона (1995). Захист казав, що лише мала частка чоловіків, які б'ють дружин, потім їх убивають. Статистик І. Дж. Гуд відповів у Nature: правильне питання інше — яка частка вбитих жінок, яких били чоловіки, загинула саме від їхніх рук. За оцінкою Ґерда Ґіґеренцера, це близько 8 із 9.
Математика: кожен доказ множить шанси на своє відношення правдоподібності. Логіка: рідкісна подія, яка вже сталася, сама нічого не доводить: важить, наскільки добре її пояснює кожна з версій. Практика: коли збіг шукають серед мільйонів профілів, випадкові збіги стають звичайними.
Математика
Місто на 500 000 дорослих. Частоти в цьому прикладі вигадані, щоб показати механіку.
Для кожного доказу питаємо: у скільки разів він імовірніший, якщо підсудний винний, ніж якщо невинний? Збіг крові 1 на 10 000 дає 10 000. Відбиток взуття розміру, який має кожен двадцятий, дає 20. Доказ на користь підсудного має відношення менше за 1 і зменшує шанси. Шанси до доказів множимо на всі ці числа по черзі. Логарифми перетворюють множення на додавання, тому доказову вагу іноді рахують у «балах», що просто додаються.
Але множити можна лише незалежні докази. Саме тут помилився Медоу: дві смерті в одній родині не незалежні, і піднесення до квадрата завищило рідкісність у багато разів. Коли докази пов'язані (борода і вуса, група крові і родинні зв'язки), друге відношення треба рахувати вже з урахуванням першого.
Логіка
Ознаки пари трапляються в одної пари з 12 мільйонів. Одна така пара точно існує: її бачили свідки. Який шанс, що в регіоні є ще хоч одна?
Цифра «1 на 12 мільйонів» каже, наскільки рідкісна така пара. Але свідки вже бачили одну, і питання тепер інше: чи вона єдина? Якщо в регіоні мільйони пар, ще одна така знаходиться з шансом, близьким до половини. Так само з будь-якою рідкісною подією, яка вже сталася: дві смерті немовлят в одній родині, серія смертей на змінах однієї медсестри, виграш у лотерею. Її рідкісність сама нічого не доводить. Треба порівняти, наскільки ймовірна подія за кожного з пояснень.
Практика
Коли слід із місця злочину порівнюють з усією базою, а не з одним підозрюваним, кожен профіль у базі — ще одна нагода для випадкового збігу. Частковий профіль, який трапляється в одного з 10 мільйонів, у базі з мільйона людей дасть хоч один випадковий збіг з шансом близько 9,5%. Якщо людину знайшли саме так і інших доказів немає, «1 на 10 мільйонів» говорить про неї набагато менше, ніж здається. Перевірте самі: збільште базу або зменште рідкісність.
Ту саму логіку застосовують у медицині: точний тест на рідкісну хворобу дає багато хибних тривог, якщо перевіряти всіх підряд. Як це рахувати для аналізів, показано в задачі про хибнопозитивний тест. А британський апеляційний суд після справ про ДНК, де прокурори робили саме цю помилку (R v Deen, 1993; R v Doheny і Adams, 1996), запровадив правила, як експертам подавати такі докази присяжним.
Терміни «помилка прокурора» і «помилка адвоката» ввели Вільям Томпсон і Едвард Шуман у статті 1987 року в журналі Law and Human Behavior. Вони перевіряли, як люди тлумачать статистичні докази в суді, і знайшли обидві помилки в підставних присяжних.
Це 8 543 × 8 543: оцінку однієї раптової смерті немовляти в родині, схожій на родину Кларк, просто піднесли до квадрата, наче смерті в одній родині незалежні. Королівське статистичне товариство назвало такий розрахунок хибним.
Верховний суд Каліфорнії в 1968 році порахував, що навіть за цифрами обвинувачення (1 пара на 12 мільйонів) шанс, що в регіоні є ще хоч одна така пара, перевищує 40%. Точний розрахунок для 12 мільйонів пар дає 41,8%.
У Нідерландах у 2003 році медсестру Люсію де Берк засудили до довічного ув'язнення, зокрема через цифру 1 на 342 мільйони: такий нібито шанс, що стільки смертей випадково припали на її зміни. Статистики, серед них Річард Гілл, показали, що розрахунок хибний. У 2010 році її виправдали.
Щоб збіг 1 на 10 000 справді вказував на одну людину в місті на 500 000, жоден із решти 499 999 не мав би збігтися. Шанс цього — 0,9999 у степені 499 999, близько 2 · 10⁻²². Практично нуль.
У Англії помилка прокурора в доказах ДНК вже ставала підставою для успішних апеляцій: R v Deen (1993) і R v Doheny і Adams (1996). Про це нагадувало Королівське статистичне товариство в листі лордові-канцлеру після справи Саллі Кларк.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.