Звідки парадокс
Карл Гемпель описав його в статті «Studies in the Logic of Confirmation», яка вийшла двома частинами в журналі Mind у 1945 році. Перші версії ідеї з'являлися в його працях ще з 1937 року.
Твердження «усі ворони чорні» означає те саме, що й «усе, що не чорне, — не ворон». Ви бачите червоне яблуко. Воно не чорне і не ворон, тобто підходить під друге твердження. Виходить, яблуко підтверджує, що всі ворони чорні? Так у 1945 році спитав філософ Карл Гемпель. Звучить абсурдно: тоді орнітологію можна робити, не виходячи з кухні.
Яблуко справді доказ, але дуже слабкий. У парку зі 100 воронами і 10 000 не-чорних речей одне червоне яблуко важить приблизно як сота частка чорного ворона: шанс правила зростає з 50% до 50,0025%, а після чорного ворона — до 50,25%. Білий ворон, якщо він є, ховається серед воронів як 1 із 100, а серед не-чорних речей як 1 із 10 000. Тож перевірка яблуком майже ніколи не могла б провалитися, і саме тому вона майже нічого не важить. Логіка Гемпеля правильна. Інтуїція «яблуко ні до чого» права щодо розміру, але не щодо нуля.
Це один із найвідоміших парадоксів філософії науки. Він питає, що взагалі вважати підтвердженням правила. Щоб відповісти числом, а не словами, візьмемо маленький уявний парк.
«Усі ворони чорні». Природний спосіб перевірити: дивитися на воронів. Кожен чорний ворон — приклад, який правилу відповідає, і здається, що він його трохи підтверджує.
«Усе, що не чорне, — не ворон». Це те саме правило, сказане навпаки: якщо одне правдиве, то й друге, а один білий ворон ламає обидва. Логіки називають таку пару контрапозицією.
Ви берете випадкову не-чорну річ, і це червоне яблуко, не ворон. Воно відповідає другому правилу так само, як чорний ворон першому. Якщо приклад, що відповідає правилу, його підтверджує, то яблуко підтверджує і «усі ворони чорні».
У парку 100 воронів і 10 000 не-чорних речей: яблука, листя, квіти, лавки. Ви не знаєте, чи всі ворони тут чорні. Можливо, усі 100 чорні, а можливо, 99 чорні і один білий. Чи підтверджує червоне яблуко, що всі ворони чорні, і наскільки, якщо порівняти з одним чорним вороном?
«Яблуко нічого не каже про воронів»
Майже так. Якби білий ворон існував, він був би однією з 10 000 не-чорних речей. Випадкова не-чорна річ могла б ним виявитися з шансом 1 на 10 000, а виявилася яблуком. Це перевірка, яка майже не могла провалитися, тож і підтвердження від неї майже нульове. Майже, але не нуль.
Парк зі 100 воронами і 10 000 не-чорних речей. Випадкова не-чорна річ виявилася червоним яблуком. Оберіть відповідь.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Правило ламає лише білий ворон. Подумайте, де він міг би трапитися: серед воронів чи серед не-чорних речей.
Якщо білий ворон є, випадковий ворон виявиться ним з шансом 1 на 100. А випадкова не-чорна річ?
Перевірка підтверджує правило тим сильніше, чим легше вона могла провалитися. Порівняйте 1 на 100 і 1 на 10 000.
Наступні раунди показують, скільки важить червоне яблуко: таємний парк, мільйон симульованих парків і пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Гра потай вирішила, який це парк: усі 100 воронів чорні чи серед них є один білий, кожне з шансом 50%. Дивіться на випадкових воронів або на випадкові не-чорні речі. Смужка показує, наскільки ймовірно, що всі ворони чорні, з урахуванням усього, що ви побачили. Терези показують, скільки «яблук» важать ваші спостереження. Спробуйте з'ясувати правду, оглянувши якомога менше.
Вона підказує розв'язок, тож спершу вгадайте самі.
Симуляція будує парк за парком. Кожен другий (навмання) має білого ворона. У кожному парку вона робить k випадкових поглядів одного виду. Як і в умові, оглянуте повертають назад: 100 поглядів на воронів не означають, що ви бачили всіх 100, когось побачите двічі, а когось жодного разу. Перевірку без повторів дивіться в раунді 5. Далі вона бере лише ті парки, де жоден погляд не показав білого ворона, і рахує, яка частка з них справді без білого ворона. Це і є шанс правила після k таких спостережень. Формула дає те саме число точно.
Вона одразу показує відповідь.
По горизонталі — скільки спостережень, по вертикалі — шанс, що всі ворони чорні. Чорна лінія злітає до 100% за кілька сотень воронів. Рожевій потрібні десятки тисяч речей, щоб помітно відірватися від 50%.
Обидва твердження — одне й те саме правило. Різниця не в логіці, а в тому, де ми шукаємо порушника.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Правило ламає лише одне: білий ворон. Якщо він є, то він і ворон, і не-чорна річ. Тож шукати його можна в обох місцях. Але серед 100 воронів він займає помітне місце, а серед 10 000 не-чорних речей губиться, як ключі на великому складі.
Подивитися на ворона — це як шукати ключі в шухляді, де вони мали б бути: якщо там порожньо, ви щось дізналися. Подивитися на яблуко — це як шукати їх у випадковому куточку складу: порожньо, але ви й не чекали їх там знайти. Кожна перевірка, що пройшла, трохи підтверджує правило. Що легше вона могла б провалитися, то більше важить. Ця картка не каже, чому різниця саме в 100 разів. Про це наступна.
Перевірка вороном провалилася б у 100 разів легше, ніж перевірка яблуком. Тому сто яблук разом важать приблизно як один чорний ворон. А 100 і 10 000 — це просто кількість воронів і не-чорних речей у парку. У справжньому світі не-чорних речей у мільярди разів більше, ніж воронів, тож одне яблуко важить так мало, що інтуїція округлює його до нуля.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
шанси після = шанси до × P(E | H) / P(E | ¬H)
H — «усі ворони чорні», E — те, що ми побачили. Відношення правдоподібності каже, у скільки разів побачене ймовірніше, якщо правило правдиве. Якщо всі ворони чорні, випадковий ворон чорний напевно, а якщо один білий, то з шансом 99/100. Відношення 100/99 ≈ 1,0101. Для яблука: напевно проти 9 999/10 000, відношення ≈ 1,0001. Шанси 1 : 1 стають 100 : 99 після ворона і 10 000 : 9 999 після яблука.
Після k яблук шанси дорівнюють (10 000/9 999)k. Сто яблук дають 1,0001100 ≈ 1,01005, майже стільки ж, як один ворон з його 1,0101. Тисяча яблук піднімає шанс правила лише до 52,5%, а тисяча чорних воронів — до 99,996%. Яблука підтверджують правило, але щоб зрівнятися з воронами, їх треба в сто разів більше.
H — усі R воронів чорні, ¬H — один із них білий. Не-чорних речей N, білий ворон, якщо він є, серед них. Теорема Баєса у формі шансів:
Випадковий ворон чорний і випадкова не-чорна річ — не ворон:
Скільки яблук важать як один ворон: шанси після k яблук — це Λapplek, тож порівнюємо логарифми.
У нашому парку R = 100, N = 10 000:
Вага одного яблука відносно ворона ≈ R/N: кількість воронів, поділена на кількість не-чорних речей. Якщо не-чорних речей стільки ж, скільки воронів, яблуко важить як ворон. Що більше не-чорного світу, то менше важить кожен його шматок.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Те саме червоне яблуко може бути доказом, а може й ні, залежно від того, як ви до нього дійшли. Якщо ви взяли випадкову не-чорну річ і перевірили, чи це не ворон, перевірка могла провалитися, і вага 1,0001 справжня. А якщо ви взяли випадкове яблуко і подивилися, чи воно червоне, то колір яблука ніяк не залежить від воронів: шанс побачити червоне однаковий в обох парках, відношення рівно 1, доказу нуль. Ще в 1960 році статистик І. Дж. Гуд наголошував, що вага спостереження залежить від способу перевірки.
Гуд показав, що навіть чорний ворон не завжди підтверджує правило. Уявіть два можливі світи, обидва з мільйоном інших птахів. У першому 100 воронів, усі чорні. У другому 1 000 чорних воронів і один білий. Ви берете випадкового птаха, і це чорний ворон. У другому світі таке трапляється приблизно вдесятеро частіше: там чорних воронів удесятеро більше. Тож якщо світи до цього були рівноймовірні, шанс, що всі ворони чорні, падає з 50% до ≈ 9,1%. Правило «приклад підтверджує правило» працює лише за умови, що інші знання не змінюють картини.
Сам Гемпель не вважав, що його логіка хибна. На його думку, парадокс — це психологічна ілюзія: нам здається, що яблуко ні до чого, бо ми підсвідомо знаємо, що воронів мало, а не-чорних речей безліч. Баєсівська відповідь, яку першою дала польська логікиня Янина Госіасон-Лінденбаум у 1940 році, а потім розвинули Гуд та інші, уточнила цю думку числом: підтвердження є, але його вага приблизно дорівнює частці воронів серед не-чорних речей. Філософи Бранден Фітельсон і Джеймс Готорн у 2010 році вивели точні умови, за яких чорний ворон важить більше за не-чорного не-ворона.
Математика: якщо перевіряти без повторів, ворони закривають питання за 100 кроків, а речі лише за 10 000. Логіка: перевірка підтверджує рівно настільки, наскільки могла провалитися. Практика: тести, які не можуть упасти, нічого не підтверджують.
Математика
Тепер не повертаємо оглянуте назад: кожен наступний ворон чи річ — новий. Той самий парк: 100 воронів, 10 000 не-чорних речей, до перевірки 50 на 50.
Якщо білий ворон є, після n різних чорних воронів він ховається серед решти 100 − n. Шанс, що всі n виявилися чорними, — (100 − n)/100, тож шанси правила дорівнюють 100/(100 − n), а шанс — 100/(200 − n). Кожен наступний ворон важить більше за попереднього, а сотий закриває питання повністю. З речами формула та сама, лише замість 100 стоїть 10 000: щоб закрити питання яблуками, треба оглянути всі не-чорні речі в парку.
Загалом: вага спостереження з класу розміру M дорівнює приблизно 1/M. Чорний ворон і червоне яблуко відповідають одному правилу, але належать до класів різного розміру: R воронів і N не-чорних речей. Звідси вага яблука ≈ R/N ворона.
Логіка
q — шанс, що одна перевірка провалилася б, якби правило було хибним. Перевірка пройшла. Скільки таких перевірок треба, щоб підняти шанс правила з 50% до 95%?
Кажуть: «відсутність доказу — не доказ відсутності». Парадокс воронів показує, коли це не так. Якщо ви шукали там, де порушник мав би знайтися, і не знайшли, — це доказ, що його немає, і тим сильніший, що вірогідніше він мав би там знайтися. Якщо ж ви шукали там, де його й так майже напевно не було б, тиша майже нічого не каже. Це просто теорема Баєса: вага перевірки дорівнює відношенню 1/(1 − q).
Та сама логіка з іншого боку — у помилці прокурора: там рідкісний збіг здається доказом, а тут звичайне спостереження здається нічим. А теорема Баєса у словнику показує, як рахувати такі оновлення в загальному випадку.
Практика
У програмуванні тест, який проходить за будь-якого коду, — це червоне яблуко: він «відповідає правилу», але нічого не перевіряє. Саме для цього придумали мутаційне тестування (Демілло, Ліптон і Сейворд, 1978): у код навмисно вносять дрібні помилки й дивляться, чи впаде хоч один тест. Якщо не впав жоден, тести не могли провалитися, і їхній зелений колір мало що важить.
У медицині застуда зазвичай минає сама за тиждень-два. «Я пив цей засіб, і за тиждень одужав» — перевірка, яка майже не могла провалитися: одужали б і без засобу. Тому ліки порівнюють з плацебо в контрольованих дослідженнях: лише там результат міг би бути іншим, якби засіб не працював.
Карл Гемпель описав його в статті «Studies in the Logic of Confirmation», яка вийшла двома частинами в журналі Mind у 1945 році. Перші версії ідеї з'являлися в його працях ще з 1937 року.
Філософ Нельсон Гудмен у книжці «Fact, Fiction, and Forecast» (1955) іронічно написав про «перспективи кімнатної орнітології»: якщо яблуко підтверджує правило про воронів, вивчати птахів можна, не виходячи з дому.
Ще до статті Гемпеля в Mind польська логікиня Янина Госіасон-Лінденбаум у статті «On Confirmation» (Journal of Symbolic Logic, 1940) розібрала парадокс через імовірності: не-ворон підтверджує правило слабше, бо не-воронів значно більше.
Так Гуд назвав свою коротку статтю в British Journal for the Philosophy of Science з прикладом, де чорний ворон послаблює правило. Гра слів: білий черевик — класичний приклад не-чорного не-ворона, а «червоний оселедець» в англійській означає хибний слід.
Бранден Фітельсон і Джеймс Готорн у розділі «How Bayesian Confirmation Theory Handles the Paradox of the Ravens» (2010) сформулювали, за яких саме припущень чорний ворон підтверджує правило сильніше, ніж не-чорний не-ворон.
У нашому парку, щоб підняти шанс правила з 50% до 95%, вистачить 293 чорних воронів. Яблуками (з поверненням) для цього треба оглянути 29 443 не-чорні речі, майже втричі більше, ніж їх у всьому парку.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Шкільна математика» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.