Книжки Зенона немає
Власна книжка Зенона втрачена. Його апорії ми знаємо з переказів інших авторів, передусім Аристотеля, який розбирав їх у «Фізиці», щоб спростувати.
Зенон Елейський доводив, що Ахілл ніколи не наздожене черепаху: поки він добіжить туди, де вона була, вона відповзе трохи далі, і так без кінця. Перевірмо цю ідею на трьох мандрівниках. Кожен робить нескінченно багато кроків, і кожен наступний крок коротший:
A: 1 км, потім ½, ¼, ⅛ км…
B: 1 км, потім ¼, 1/9, 1/16 км…
C: 1 км, потім ½, ⅓, ¼ км…
За 10 км від старту стоїть стовп. Хто з них колись його мине? Зафіксуйте відповідь, а потім перевірте її.
Ахілл наздоганяє черепаху за 11,11 секунди: нескінченно багато етапів умістилися в скінченний час. З мандрівниками не працює жодна проста відповідь: ні «нескінченно багато кроків, отже, піде нескінченно далеко», ні «кроки меншають до нуля, отже, зупиниться». A не дійде навіть до 2 км, B до 1,645 км. А C, хоч його кроки теж меншають до нуля, мине стовп на 12 367-му кроці й піде як завгодно далеко. Вирішує не кількість кроків, а те, як швидко вони меншають.
Зенон жив у V столітті до нашої ери і склав кілька апорій, тобто нерозв'язних на вигляд міркувань про рух. Найвідоміша з них про Ахілла. Ми почнемо з неї, а потім поставимо питання, де інтуїція помиляється вже по-сучасному.
Ахілл біжить 10 м/с, черепаха повзе 1 м/с і стартує на 100 м попереду. Щоб її наздогнати, Ахілл спершу має добігти туди, де вона була: 100 м за 10 с. Але за цей час черепаха відповзла на 10 м. Він пробігає їх за 1 с, а вона вже на 1 м далі. Він пробігає і цей метр, а вона ще на 10 см попереду.
Етапів нескінченно багато, і після кожного черепаха ще попереду. Отже, каже Зенон, Ахілл її ніколи не наздожене. Звучить як жарт, але знайти, де саме в цьому міркуванні помилка, люди вчилися понад дві тисячі років.
Кожен іде без зупинок і робить нескінченно багато кроків. Кожен крок коротший за попередній, і кроки меншають до нуля.
За 10 км від старту стоїть стовп. Чи мине його кожен із трьох мандрівників, якщо йти вічно?
«Кроків нескінченно багато, отже, мандрівник зайде як завгодно далеко»
проти«Кроки меншають до нуля, отже, колись він зупиниться»
Яка з них права і для кого? Зверніть увагу: A і C починають однаково, 1 км, а потім ½ км.
Обидві хибні як загальне правило. A і B не дійдуть навіть до 2 км, хоч і кроків у них нескінченно багато, а C піде як завгодно далеко, хоч і кроки в нього меншають до нуля.
Перші вісім кроків кожного, шкала від 0 до 3 км. Поки що всі троє тупцюють біля старту, до стовпа ще далеко.
Для кожного мандрівника оберіть, чи мине він колись стовп. Зафіксуйте відповідь, перш ніж читати далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Важко вирішити? Відкривайте підказки по одній: спочатку легка, далі сильніша.
Подивіться на мандрівника A з боку позначки 2 км. Яку частину відстані, що лишилася до неї, проходить кожен його крок?
Для B спробуйте оцінити кожен крок 1/n² зверху різницею 1/(n − 1) − 1/n. Що вийде, якщо скласти такі різниці?
Кроки C згрупуйте: ⅓ + ¼, потім від ⅕ до ⅛, потім від 1/9 до 1/16. Скільки щонайменше дає кожна група?
Наступні раунди показують, куди дійде кожен мандрівник: гра з Ахіллом, мільйони кроків на комп'ютері й пояснення. Спершу відповісти в раунді 1 чи йти далі?
Ви обрали завжди показувати всі раунди.
Спершу пройдіть з Ахіллом кілька етапів Зенона, а потім пустіть звичайний час. Далі посуньте повзунок кроків для трьох мандрівників аж до десяти мільйонів.
У режимі етапів картинка щоразу збільшується вдесятеро, тож кожен етап виглядає однаково. Змінюються лише підписи: відстань до черепахи в 10 разів менша, а годинник додає в 10 разів менше.
Повзунок логарифмічний: кожна сьома частина його ходу множить кількість кроків на 10. Штрихові лінії показують межі, до яких підходять A і B. Риски на доріжках показують перші кроки, і видно, як вони дрібнішають.
Випадковості тут немає, тож замість симуляції комп'ютер просто додає кроки один за одним, по 10 000 000 кроків для кожного мандрівника, і порівнює суми з формулами. Точки показують підраховане, лінії показують формули.
Ліворуч: вісь кроків логарифмічна, кожна поділка множить n на 10. A і B швидко виходять на свої стелі, 2 і π²/6 ≈ 1,645. C на такій осі йде майже прямою вгору: кожні десять разів більше кроків додають йому ще ln 10 ≈ 2,3 км. Біля n = 1 формули для B і C ще неточні, а далі точки лягають точно на лінії. Праворуч: щоб C пройшов ще 1 км, кроків потрібно приблизно в e ≈ 2,72 раза більше. Тому 10 км він проходить за 12 367 кроків, а на 20 км знадобиться вже ≈ 2,7·10⁸.
Після вашої відповіді тут з'явиться код симуляції, який можна запустити в себе.
Та сама симуляція коротко і без бібліотек. JavaScript запускається в консолі браузера (F12) або в Node, Python потребує лише стандартної бібліотеки.
// Троє мандрівників: кроки 1/2ⁿ⁻¹, 1/n² і 1/n км. Куди вони дійдуть за 10 мільйонів кроків?
const N = 1e7, GAMMA = 0.5772156649015329;
let a = 0, b = 0, c = 0, step = 1, cross = 0;
for (let n = 1; n <= N; n++) {
a += step; step /= 2; // A: кожен крок удвічі коротший
b += 1 / (n * n); // B: крок 1/n²
c += 1 / n; // C: крок 1/n
if (!cross && c > 10) cross = n; // перший крок за стовпом 10 км
}
console.log('A', a.toFixed(10), 'межа 2');
console.log('B', b.toFixed(10), 'межа π²/6 =', (Math.PI ** 2 / 6).toFixed(10));
console.log('C', c.toFixed(10), 'ln n + γ =', (Math.log(N) + GAMMA).toFixed(10), 'і росте далі');
console.log('C минає 10 км на кроці', cross);
# Троє мандрівників: кроки 1/2ⁿ⁻¹, 1/n² і 1/n км. Куди вони дійдуть за мільйон кроків?
import math
N = 1_000_000
GAMMA = 0.5772156649015329
a = b = c = 0.0
step, cross = 1.0, 0
for n in range(1, N + 1):
a += step; step /= 2 # A: кожен крок удвічі коротший
b += 1 / n**2 # B: крок 1/n²
c += 1 / n # C: крок 1/n
if not cross and c > 10: # перший крок за стовпом 10 км
cross = n
print("A", f"{a:.10f}", "межа 2")
print("B", f"{b:.10f}", "межа π²/6 =", f"{math.pi**2 / 6:.10f}")
print("C", f"{c:.10f}", "ln n + γ =", f"{math.log(N) + GAMMA:.10f}", "і росте далі")
print("C минає 10 км на кроці", cross)
Зенон рахує етапи, ми рахуємо відстань. Сума нескінченно багатьох доданків буває скінченною, а буває й нескінченною, навіть коли доданки меншають до нуля. Усе залежить від того, наскільки швидко вони меншають.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Етапи Зенона тривають 10 с, 1 с, 0,1 с, 0,01 с і так далі. Разом це 11,111… с, тобто 11 і 1/9 секунди. Етапів нескінченно багато, але вони тісняться все ближче до однієї миті й не виходять за неї.
Зенон описує лише час до цієї миті й мовчить про те, що буде після. А годинник іде далі: о 12-й секунді Ахілл уже на 8 м попереду. Нескінченно багато етапів умістилися в скінченний час. Ця картка пояснює Ахілла, а для мандрівників одного цього мало, бо в C теж нескінченно багато кроків, що меншають.
Подивіться на мандрівника A з боку позначки 2 км. Після першого кроку до неї лишається 1 км, і наступний крок дорівнює ½ км, тобто рівно половині залишку. Після нього лишається ½ км, і крок знову половина, ¼. Кожен крок проходить половину того, що лишилося до 2 км.
Половина залишку ніколи не перевищує залишку. Тож A підходить до 2 км як завгодно близько, але не доходить і тим паче не мине стовп за 10 км. Це друга апорія Зенона, «дихотомія», тільки навпаки: там, щоб пройти шлях, треба спершу пройти його половину, потім половину решти, і так далі.
Згрупуйте кроки C. Крок ½ дає ½. Кроки ⅓ і ¼ разом більші за ¼ + ¼ = ½. Наступні чотири кроки, від ⅕ до ⅛, більші за 4 · ⅛ = ½. Наступні вісім, від 1/9 до 1/16, більші за 8 · 1/16 = ½. І так без кінця.
Груп нескінченно багато, і кожна додає щонайменше пів кілометра. Двадцять груп уже дають понад 10 км. Кроки C меншають, але так повільно, що їх щоразу вистачає на нову половину. Цей доказ знайшов Микола Орем близько 1350 року. Той самий ряд рятує мураху на гумовій мотузці.
«Кроків нескінченно багато, отже, піде нескінченно далеко» хибне: A і B ідуть вічно й стоять перед невидимою стіною. «Кроки меншають до нуля, отже, зупиниться» теж хибне: C має кроки, менші за будь-яке число, і все одно минає будь-який стовп.
Те, що кроки меншають до нуля, є лише необхідною умовою, щоб сума була скінченною, але не достатньою. Важить, як швидко вони меншають. Удвічі на кожному кроці (A) досить. Як 1/n² (B) теж досить. Як 1/n (C) уже ні.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Кожен крок B, починаючи з другого, менший за різницю двох дробів: 1/n² < 1/((n − 1)n) = 1/(n − 1) − 1/n.
Праві частини складаються «телескопом»: кожен дріб з'являється раз із плюсом і раз з мінусом, і лишається 1 − 1/n. Отже, усі кроки після першого разом коротші за 1 км, а з першим B ніколи не пройде 2 км. Точна межа менша: π²/6 ≈ 1,645 км. Її знайшов Леонард Ейлер 1734 року.
| n | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 10 | 1,99805 | 1,54977 | 2,92897 |
| 100 | 2 − 2−99 | 1,63498 | 5,18738 |
| 1000 | 2 − 2−999 | 1,64393 | 7,48547 |
| 106 | 2 − 2−999999 | 1,644933 | 14,39273 |
| 107 | 2 − 2−9999999 | 1,6449340 − 10−7 | 16,69531 |
| межа | 2 | π²/6 ≈ 1,644934 | немає |
A і B вже після сотні кроків майже на своїх межах, і далі мільйони кроків додають їм дрібниці. C після 100 кроків пройшов лише 5,2 км, після мільйона 14,4 км, але ніде не зупиняється: кожні десять разів більше кроків додають йому ще 2,3 км.
Геометричний ряд: кожен доданок у r разів менший за попередній. Він скінченний, коли |r| < 1. Для A маємо a = 1, r = ½, для Ахілла a = 100 м, r = 1/10.
Ряд з показником p: скінченний тоді й лише тоді, коли p > 1. Для B маємо p = 2, і сума дорівнює π²/6 (Ейлер, 1734). Для C маємо p = 1, і ряд розбігається.
Гармонічні числа ростуть як логарифм. γ ≈ 0,5772 — стала Ейлера — Маскероні. Звідси C проходить k км приблизно за ek−γ кроків: щоб дістати точний номер кроку, відніміть ½ і округліть угору.
Сума нескінченного ряду означає межу: число, до якого суми перших n доданків підходять як завгодно близько, коли n росте. У A такою межею є 2, у B π²/6. У C такого числа немає: суми переростають будь-яке. Саме це уточнення, що таке «сума нескінченно багатьох доданків», і знімає парадокс Ахілла: він наздоганяє черепаху в точці 1000/9 м, у момент 100/9 с, після всіх етапів Зенона.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
Зенон Елейський жив у V столітті до нашої ери. Його книжка не збереглася, і апорії ми знаємо переважно з «Фізики» Аристотеля. Про рух їх чотири: Ахілл, «дихотомія» (щоб дійти, треба спершу пройти половину шляху, а перед тим чверть, і так без кінця), «стріла» (у кожну мить летюча стріла нерухома) і «стадіон» (про ряди тіл, що рухаються назустріч).
Микола Орем близько 1350 року довів, що гармонічний ряд розбігається. 1650 року П'єтро Менголі спитав, чому дорівнює 1 + ¼ + 1/9 + …, і це питання назвали Базельською задачею. Відповідь π²/6 дав Ейлер 1734 року. Строге означення границі, на якому стоїть сучасна відповідь Зенонові, з'явилося в XIX столітті, насамперед у працях Оґюстена Коші.
Філософ Джеймс Ф. Томсон 1954 року в журналі Analysis запропонував таку лампу. Її вмикають на 1-й хвилині, вимикають на 1,5-й, вмикають на 1,75-й і так далі, щоразу вдвічі швидше. До 2-ї хвилини перемикань нескінченно багато. Світить лампа о 2:00 чи ні?
Час тут скінченний, як в Ахілла: 1 + ½ + ¼ + … = 2 хвилини. Але останнього перемикання немає, тож опис нічого не каже про мить 2:00. Пол Бенасерраф 1962 року показав, що з умовою узгоджуються обидві відповіді. Межа каже, де буде Ахілл, бо його положення змінюється неперервно. Але не кожне питання про «кінець» нескінченного процесу має відповідь лише тому, що процес укладається в скінченний час.
B і C є двома точками на одній шкалі: кроки 1/np з p = 2 і p = 1. Покрутіть p і подивіться, де саме сума перестає бути скінченною. А потім змініть геометричні кроки A.
При p ≤ 1 сума росте без меж: при p = ½ мандрівник мине стовп уже на 33-му кроці, при p = 0,8 на 201-му, при p = 1 на 12 367-му. При p > 1 сума має межу: ζ(1,5) ≈ 2,612, ζ(2) ≈ 1,645, ζ(3) ≈ 1,202. Тут ζ(p) — дзета-функція Рімана, просто назва для цієї суми.
Найцікавіше при p = 1,1. Межа ζ(1,1) ≈ 10,584 км, тобто більша за 10: мандрівник мине стовп і все одно зупиниться, не дійшовши до 10,6 км. Тільки чекати доведеться ≈ 2,15·10¹² кроків. За 10 мільйонів кроків він пройде лише 8,6 км, і на графіку його не відрізнити від C. Тому жоден комп'ютер «на око» не скаже, скінченна сума чи ні: потрібне доведення, як у Орема чи з телескопом для B.
Помилка Зенона і помилка інтуїції про C однакові: обидві судять про суму з одного лише факту, нескінченна кількість доданків чи доданки меншають. Правильне питання інше: як швидко вони меншають. Геометричні кроки зі сталим множником r < 1 завжди дають скінченну суму, навіть якщо r = 0,99 і межа аж 100 км.
Фізичний приклад — м'яч, що підстрибує. Він падає з 1 м і після кожного удару зберігає 0,8 швидкості, тож висота підскоку щоразу множиться на 0,64. Підскоків нескінченно багато, але всі вони вкладаються в ≈ 4,06 с, і м'яч пролітає ≈ 4,56 м (g = 9,81 м/с²). Інженери, що моделюють такі системи, називають це «поведінкою Зенона»: програма, яка рахує удари один за одним, ніколи не дійде до миті, коли м'яч завмирає. Інший м'ячик з іншими числами є в задачі про муху між потягами.
Щоразу, коли щось повторюється без кінця й меншає, спитайте: у стале число разів (тоді сума скінченна) чи повільніше, як 1/n (тоді вона може рости без меж)? Числа в таблиці легко перевірити калькулятором.
| Ситуація | Ряд | Що виходить |
|---|---|---|
| Вічна рента: 100 на рік назавжди за ставки 5% | Геометричний, r = 1/1,05 | Нескінченно багато виплат коштують сьогодні скінченну суму: 100/0,05 = 2 000. Докладніше в мусі між потягами. |
| Двійковий пошук: щоразу ділимо список навпіл | Дихотомія, r = ½ | Мільйон записів звужується до одного за 20 кроків, бо 2²⁰ = 1 048 576. Дихотомія Зенона, тільки корисна. |
| Стос книжок, висунутий за край столу | Гармонічний, Hn/2 | n книжок можна висунути на Hn/2 довжини книжки. Уже 4 книжки дають 1,04, тобто верхня цілком за краєм, 31 книжка дає понад 2 довжини, а в принципі виступ необмежений (Пол Б. Джонсон, 1955). Більше в мурасі на гумовій мотузці. |
| М'яч, що підстрибує | Геометричний, r = 0,8 для часу | Нескінченно багато ударів за ≈ 4,06 с. Модель, що рахує їх по одному, застрягає. |
Власна книжка Зенона втрачена. Його апорії ми знаємо з переказів інших авторів, передусім Аристотеля, який розбирав їх у «Фізиці», щоб спростувати.
Доказ Орема, що гармонічний ряд розбігається, надовго забули. У XVII столітті його довелося знаходити знову: це зробили П'єтро Менголі та Йоганн Бернуллі.
Менголі спитав про суму 1 + ¼ + 1/9 + … 1650 року. Відповідь π²/6 знайшов Ейлер 1734 року, через 84 роки. Несподіваним було саме π: у сумі немає жодних кіл.
Мандрівнику C треба 12 367 кроків, щоб пройти 10 км, і вже ≈ 2,7·10⁸ кроків, щоб пройти 20 км. Якби він робив крок щосекунди, другі 10 км забрали б понад вісім років.
Стос із 31 книжки можна висунути за край столу більш ніж на дві довжини книжки. Пол Б. Джонсон описав це 1955 року в American Journal of Physics у замітці «Leaning Tower of Lire».
Квантова система, за якою досить часто спостерігають, майже не змінюється, ніби та сама «стріла» Зенона. Назву дали Місра і Сударшан 1977 року, а 1990 року Вейн Ітано з колегами показав ефект на захоплених у пастку іонах берилію.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Рівень «Поглиблено» відповідає задачі?
Дякуємо! Це допоможе точніше ставити рівні.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.