Словник / Закон великих чисел
Під час Другої світової математик Джон Керріх опинився в таборі для інтернованих у Данії й підкинув монету 10 000 разів. Орлів випало 5 067, тобто 50,67%: майже рівно половина. Але в штуках орли випередили решки на 134. Що довше кидати, то ближче частка до половини, а розрив у монетах зазвичай тільки росте. Обидва факти правдиві одночасно, і саме в цьому суть закону великих чисел.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
П'ятеро людей підкидають кожен свою монету. На верхньому графіку частка орлів у кожного: лінії стискаються до 50%. На нижньому — на скільки монет орлів більше, ніж решок: лінії зазвичай розповзаються від нуля. Це ті самі кидки, лише пораховані по-різному.
Вісь кидків логарифмічна: кожна поділка вдесятеро далі за попередню. Максимум 100 000 кидків на людину.
Нехай з перших 10 кидків 8 виявилися орлами: це 80%. Монета нічого не пам'ятає, тож далі орли й решки йдуть у середньому порівну. Зайві 6 орлів нікуди не діваються, але тонуть у дедалі більшій кількості нових кидків:
Ніхто не «повертає борг» решками. Частка наближається до половини лише тому, що старий надлишок стає дедалі меншою часткою від усього.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Повторюйте те саме випробування багато разів, і щоб спроби не впливали одна на одну. Подія має ймовірність p. Тоді частка спроб, у яких вона трапилася, зі зростанням кількості спроб n наближається до p. Точніше: хоч який малий допуск ви візьмете, 1% чи 0,1%, шанс вийти за нього прямує до нуля.
Тепер не п'ятеро, а 200 людей, і кожен підкидає монету n разів. Угорі частка орлів кожного, унизу орлів мінус решок у штуках. Пересувайте повзунок: верхня хмара стискається, нижня розповзається.
Це класична задача психологів Даніеля Канемана й Амоса Тверські. В одній лікарні щодня народжується 15 дітей, в іншій 45. Хлопчики й дівчатка народжуються приблизно порівну. Де за рік буде більше днів, коли хлопчиків понад 60%? Більшість відповідає «однаково». Перевірте: кожна клітинка — один день, зафарбована — день, коли хлопчиків понад 60%.
У малої лікарні таких днів зазвичай удвічі більше: точний розрахунок дає в середньому 55 днів на рік проти 25. Мала вибірка частіше потрапляє в крайнощі. Тому серед найкращих і найгірших у будь-якому рейтингу так часто опиняються маленькі школи, села й команди: не завжди тому, що вони особливі, а тому, що в них мало людей.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
σчастки = √( p(1 − p) / n )
Для монети p = ½, тож розкид частки орлів 0,5/√n: після 100 кидків 5 відсоткових пунктів, після 10 000 лише 0,5. Щоб частка стала вдесятеро точнішою, потрібно в сто разів більше кидків. У симуляції з 200 гравцями зараз n = –: формула дає –, а в гравців вийшло –.
О − Р = 2О − n · σ(О − Р) = √n · E|О − Р| ≈ √(2n/π) ≈ 0,8 √n
Кожен кидок додає до різниці +1 або −1, і ці кроки незалежні. Розкиди незалежних кроків додаються, тож після n кроків розкид різниці √n. Отже, типовий розрив після 100 кидків близько 8 монет, після 10 000 близько 80. Але поділіть на кількість кидків: 8 зі 100 — це 8%, 80 з 10 000 — лише 0,8%. Розрив росте, проте повільніше за n, тому частка все одно сходиться до половини. У Керріха розрив 134 при σ = 100 — цілком звичайний результат. У симуляції з 200 гравцями при n = – формула дає – монет, а в середньому вийшло –.
P( |X̄ − p| ≥ ε ) ≤ p(1 − p) / (n ε²)
Пафнутій Чебишов довів просту річ: величина рідко відходить від свого середнього більше ніж на кілька розкидів. Шанс відійти на ε не більший за дисперсію, поділену на ε². Дисперсія частки дорівнює p(1 − p)/n і падає зі зростанням n, тому для будь-якого ε шанс вийти за допуск прямує до нуля. Це і є закон великих чисел. Візьмімо ε = 5 пунктів: для монети межа дорівнює 100/n. При n = – Чебишов гарантує, що далі ніж на 5 пунктів від 50% опиниться не більше – гравців, а в симуляції таких –. Межа груба, зате працює для будь-яких незалежних однакових спроб, не лише для монет.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.