Словник / Нормальний розподіл
Кулька падає крізь ряди цвяхів і на кожному відскакує ліворуч або праворуч, ніби кидає монетку. Куди впаде саме ця кулька, не скаже ніхто. А тисяча кульок щоразу складає ту саму гірку, схожу на дзвін. Цей дзвін звуть нормальним розподілом, і він з'являється всюди, де складаються багато дрібних випадковостей.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Дошку з цвяхами придумав англійський учений Френсіс Ґальтон у XIX столітті. Тут 12 рядів цвяхів і 13 кошиків. Киньте одну кульку й спробуйте вгадати, куди вона впаде. Потім киньте тисячу.
Окрема кулька непередбачувана, а тисяча кульок передбачувана чудово. Кулька в крайньому кошику мусила б 12 разів поспіль відскочити в той самий бік, і так буває дуже рідко. А до середини веде безліч різних шляхів: трохи ліворуч, трохи праворуч, і відскоки гасять одне одного. Тому середина завжди повна, а краї майже порожні.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Будь-який нормальний розподіл повністю задають два числа. Середнє μ показує, де вершина дзвона. Стандартне відхилення σ показує, наскільки він широкий: на скільки значення зазвичай відходять від середнього. Змініть μ — дзвін посунеться. Змініть σ — стане ширшим і нижчим або вужчим і вищим. Форма завжди та сама.
Для будь-якого дзвона частка значень у межах ±1 σ від середнього — приблизно 68%, у межах ±2 σ — 95%, у межах ±3 σ — 99,7%. Перевірмо на зрості. Числа тут умовні, для прикладу: нехай зріст дорослих чоловіків десь має середнє 176 см і σ = 7 см. Нижче 10 000 випадкових людей.
Поставте 1, 2 і 3. Поза ±3 σ лишаються близько 3 людей з 1000: тут це нижчі за 155 см і вищі за 197 см.
Дзвін з'являється, коли результат — це сума багатьох дрібних незалежних поштовхів, і жоден не переважає. Коли ці умови порушено, дзвін бреше, і частіше за все в хвостах: дуже великі значення трапляються набагато частіше, ніж він обіцяє.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
P(кошик k) = C(12, k) / 2¹² · C(12, 6) = 924, C(12, 0) = 1, 2¹² = 4096
Кожна кулька проходить 12 цвяхів, і кожна з 4096 можливих траєкторій однаково ймовірна. Кошик визначає лише кількість відскоків праворуч k. До крайнього кошика веде один шлях, до середнього — 924. Звідси і форма: середній кошик збирає 924/4096 ≈ 22,6% кульок, а кожен крайній лише 1/4096, тобто приблизно одну кульку з чотирьох тисяч. Це біноміальний розподіл.
Стовпчики — частки кульок, які ви кинули на дошку вгорі. Точки — біноміальний розподіл, що дає точний підрахунок шляхів. Лінія — нормальна крива з μ = 6 і σ = √3 ≈ 1,73 кошика. Що більше кульок, то ближче стовпчики до точок, а точки й без того майже на кривій.
кульки на дошцібіноміальнийнормальна крива
Відскок на дошці — це монетка. Але монетка не обов'язкова. Кубик розподілений зовсім рівно: кожна грань по 1/6, жодного дзвона. Складіть очки кількох кубиків, і дзвін з'явиться сам: два кубики дають трикутник, три вже схожі на дзвін. Це ідея центральної граничної теореми: сума багатьох незалежних однаково розподілених величин з будь-яким скінченним розкидом прямує до нормального розподілу. Абрахам де Муавр помітив це для монеток ще 1733 року.
20 000 кидків для кожного n. Лінія — нормальна крива з тими самими середнім і σ.
f(x) = 1 / (σ √(2π)) · e−(x − μ)² / (2σ²)
Уся форма сидить у e−z²/2, де z = (x − μ) / σ — відстань від середнього, виміряна в σ. На відстані 1 σ висота кривої становить 61% від вершини, на 2 σ — 13,5%, на 3 σ — лише 1,1%. Квадрат у показнику робить хвости неймовірно тонкими: опинитися далі ніж за 10 σ вгору можна з імовірністю менше одного шансу на 10²³. Множник 1 / (σ √(2π)) лише робить площу під кривою рівною 1. Саме тонкі хвости і є головна різниця між дзвоном і доходами чи біржею: там далекі значення трапляються незрівнянно частіше.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.