Словник / Математичне сподівання
Математики кажуть, що від кидка кубика «варто чекати» 3,5. Такої грані немає, і жоден кидок ніколи її не покаже. Проте саме це число керує казино, страховими компаніями й лотереями. Розберімося, що воно насправді означає і коли йому вірити.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Жоден кидок не дає 3,5. Але середнє всіх кидків повзе саме туди. Спершу воно стрибає, а за тисячу кидків майже прилипає до лінії.
Вісь кидків логарифмічна: кожна поділка вдесятеро далі за попередню.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Кожен можливий результат помножте на його шанс і все складіть. Виходить середнє, до якого наближатиметься ваш результат, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
1 · ⅙ + 2 · ⅙ + 3 · ⅙ + 4 · ⅙ + 5 · ⅙ + 6 · ⅙ = 21/6 = 3,5
Квиток коштує 20 ₴. Один квиток зі 100 000 виграє 1 000 000 ₴, решта нічого. Сподівання виграшу: 1 000 000 · 1/100 000 = 10 ₴. Тобто з кожних 20 гривень лотерея в середньому повертає 10. Купіть квитки й подивіться, як це виглядає з різних боків.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
E[X + Y] = E[X] + E[Y]
Це правило не вимагає незалежності, і саме тому воно таке сильне. Візьміть n людей, які тягнуть навмання свої капелюхи з купи. Нехай Iᵢ = 1, якщо людина i дістала свій капелюх, інакше 0. Кожна має шанс 1/n, тож E[Iᵢ] = 1/n. Кількість щасливчиків — це сума I₁ + … + Iₙ, і її сподівання n · 1/n = 1. Події залежні (якщо перші дев'ять дістали свої, десятий теж дістане свій), але додаванню сподівань це не заважає.
E = 1 + ⅚ · E ⇒ E = 6
Перший кидок робимо завжди. З шансом ⅙ це шістка, і все. З шансом ⅚ ні, і тоді ми опиняємося на старті: попереду ще в середньому E кидків, бо кубик нічого не пам'ятає. Звідси рівняння вище. Загалом для події з шансом p чекати доводиться в середньому 1/p спроб.
σ² = E[X²] − (E[X])² = 91/6 − 3,5² ≈ 2,92 · σ ≈ 1,71 · розкид середнього = σ / √n
Один кидок відхиляється від 3,5 в середньому на 1,71. Середнє n кидків — у √n разів менше: після 10 кидків приблизно на 0,54, після 100 на 0,17, після 1 000 на 0,05. Щоб стати вдесятеро точнішим, треба кинути в сто разів більше. Це закон великих чисел, і саме через нього казино спокійне, а окремий гравець — ні.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.