Словник / Пуассонівський потік
Улітку 1944 року на Лондон падали німецькі крилаті ракети Фау-1. Одні квартали отримували по кілька влучань, інші стояли цілі. Лондонці дедалі частіше казали, що ракети падають купками, а отже, їх на щось наводять. Через два роки актуарій Р. Д. Кларк перевірив це звичайною таблицею. Перш ніж дізнатися, що він побачив, погляньте, як виглядає справжня випадковість.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Сітка з 144 квадратів, і на неї падають краплі. Кожна крапля падає в зовсім випадкове місце, жодна не знає про інші, жоден квадрат нічим не кращий за сусідній. Киньте краплі й подивіться на візерунок.
Коли людей просять намалювати випадкові точки, вони розкладають їх рівненько, по одній у кожну клітинку: так, як у другому візерунку. Справжній випадок так не вміє. Якщо краплі нічого не знають одна про одну, ніщо не заважає двом-трьом упасти поруч, а сусідньому квадрату лишитися сухим. Купки й порожні плями з'являються самі, без жодного прицілу. Підозрілою була б якраз рівна сітка.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Пуассонівський потік — це події, які стаються незалежні одна від одної, з однаковою середньою частотою λ і ніколи не дві точно в одну мить. Частота може бути на годину, на сторінку чи на квадратний кілометр. Тоді кількість подій у шматку розміру 1 має розподіл Пуассона, названий на честь французького математика Сімеона Дені Пуассона:
P(k) = λᵏ · e−λ / k!
Приклад. Нехай у книжці в середньому 2 друкарські помилки на сторінку, λ = 2:
Сторінка зовсім без помилок трапляється майже так само часто, як сторінка з чотирма й більше. Обидві — звичайна гра випадку, а не «уважний» чи «неуважний» день коректора.
Порахуйте квадрати: скільки з них порожні, скільки мають одну краплю, дві, три… І порівняйте з тим, що обіцяє формула Пуассона з λ = кількість крапель / 144. А тепер Лондон. Кларк узяв 144 км² півдня Лондона, поділив на 576 квадратів по ¼ км² і порахував у них 537 влучань, у середньому 537 / 576 ≈ 0,93 на квадрат.
квадратів насправдіза формулою Пуассона
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
C(n, k) · (λ/n)ᵏ · (1 − λ/n)n−k → λᵏ · e−λ / k! при n → ∞
Поділіть квадрат на n крихітних клітинок, і нехай у кожну незалежно потрапляє крапля з імовірністю λ/n. Кількість крапель тоді біноміальна. Коли клітинок дуже багато, (1 − λ/n)ⁿ прямує до e−λ, а C(n, k) / nᵏ до 1/k!, і виходить формула Пуассона. Тому вона описує все, що складається з багатьох рідкісних незалежних шансів: тисячі абонентів, мільярди ядер, тисячі літер на сторінці. Рухайте повзунок, λ = 1.
E[K] = Σ k · λᵏe−λ/k! = λ · Σ λk−1e−λ/(k−1)! = λ
E[K(K − 1)] = λ² ⇒ Var K = λ² + λ − λ² = λ
У пуассонівського потоку середнє й дисперсія однакові, і це зручний тест. Якщо дисперсія помітно більша за середнє, події справді збиваються в купки, як у годину пік чи після землетрусу. Якщо помітно менша, вони розставлені рівніше, ніж дозволяє випадок, як у візерунку «як випадок уявляють». У Лондоні середнє 0,932 влучання на квадрат, а дисперсія 0,969, якщо вважати, що в найбільшому квадраті було 7 влучань: саме стільки лишається із загальних 537. Відношення 1,04, тобто купок понад випадкові немає. Сам Кларк перевірив збіг критерієм хі-квадрат: χ² = 1,17 при 4 ступенях свободи.
Киньте краплі на сітку вгорі, і тут з'являться середнє й дисперсія ваших квадратів.
P(K₁ + K₂ = k) = Σj e−λ₁λ₁ʲ/j! · e−λ₂λ₂k−j/(k−j)! = e−(λ₁+λ₂) (λ₁ + λ₂)ᵏ / k!
Остання рівність — це біном Ньютона. Якщо в кол-центр незалежно дзвонять з Києва в середньому 0,5 разу на хвилину і зі Львова 1 раз на хвилину, то разом дзвінки — знову пуассонівський потік з λ = 1,5. Перевірте на 10 000 хвилин.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.
Наука про те, скількома способами можна впорядкувати або вибрати речі: перестановки n!, сполучення C(n, k).
Добре перетасована колода майже напевно лежить у порядку, якого ще не бачив ніхто й ніколи.
Сума 1 + ½ + ⅓ + ¼ + …: вона росте без меж, але неймовірно повільно.
Однакові книжки можна скласти так, що верхня нависатиме над краєм столу як завгодно далеко.
Правило, як змінювати впевненість, коли з'являються нові докази: апріорні шанси × сила доказу.
Два слабкі докази разом бувають сильними, а один яскравий нічого не важить, якщо твердження було малоймовірним.
Зростання, за якого величина щоразу множиться на те саме число, тож подвоюється через рівні проміжки часу.
Одне зернятко на першій клітинці шахівниці й подвоєння на кожній наступній: на останній клітинці стільки рису, скільки світ вирощує понад 300 років.
Рух, у якому кожен наступний крок робиться навмання: вперед чи назад, ліворуч чи праворуч.
П'яний завжди дійде додому, а птах, що літає навмання, може не повернутися ніколи.