Лист Ніколая Бернуллі
Задачу вперше поставив Ніколай Бернуллі в листі до французького математика П'єра Ремона де Монмора від 9 вересня 1713 року. Сам Ніколай пропонував пояснення, що люди просто нехтують дуже малоймовірними подіями.
Чесну монету підкидають, доки не випаде решка. Банк починається з $2 і подвоюється з кожним орлом. Коли випадає решка, ви забираєте банк. Який виграш у середньому, тобто скільки чесно платити за одну гру? Зафіксуйте відповідь, а потім зіграйте, запустіть мільйони ігор і подивіться, як із цим упоралися Бернуллі.
Чесну монету підкидають до першої решки, банк стартує з $2 і подвоюється з кожним орлом. Математичне сподівання виграшу нескінченне: кожен можливий результат додає до середнього рівно $1, а результатів безліч. Проте ніхто не заплатить за таку гру й $100, а половина ігор приносить лише $2. Тут ви зіграєте самі, запустите мільйони ігор і побачите, як цей парадокс розв'язували Бернуллі, Крамер і Феллер.
Правила вміщуються в один рядок, і з порожніми руками ви не підете: щонайменше отримаєте $2. Питання лише в тому, скільки варто заплатити за вхід.
Монета чесна: орел і решка випадають з однаковим шансом 1/2, кидки незалежні. Її підкидають знову й знову, доки вперше не випаде решка. На цьому гра закінчується.
Перед першим кидком у банку $2. Кожен орел подвоює банк: $4, $8, $16 і так далі. Решка зупиняє гру, і ви забираєте все, що в банку.
Якщо перша решка випала на кидку номер k, ви виграєте 2k доларів:
Який виграш у середньому, якщо грати дуже багато разів? Це число математики називають математичним сподіванням. Його вважають чесною ціною гри: якщо платити саме стільки, ні ви, ні казино в середньому не виграєте.
«Кілька доларів, ну хай десять»
Насправді середній виграш нескінченний. Кожен рядок таблиці зліва додає до нього рівно $1: шанс удвічі менший, зате банк удвічі більший. Рядків безліч, тож сума не має межі. І водночас половина ігор закінчується першим же кидком із виграшем $2.
Друге припущення нереалістичне, і саме тут один із ключів до парадоксу. Його розберемо в раундах 4 і 5.
Оберіть варіант, перш ніж читати далі. Ідеться про середній виграш за одну гру, якщо грати мільйони разів.
Нагадування: решка на 1-му кидку дає $2, на 2-му $4, на 3-му $8, і так далі.
Тут з'явиться розбір вашої відповіді.
Ви вже зіграли 100 ігор із внеском $20 за кожну. Грайте далі по одній, щоб бачити монети, або по 100 і по 10 000, щоб бачити баланс. Змініть внесок і порівняйте: за якої ціни гра починає приносити гроші?
Якби середнє було скінченним, середній виграш гравця після багатьох ігор зупинився б біля нього. Тут він не зупиняється: повзе вгору, а великі виграші час від часу підкидають його стрибком. Вісь ігор логарифмічна.
Пунктир log₂ n є наближенням, а не точною кривою: Вільям Феллер показав, що сума виграшів за n ігор, поділена на n · log₂ n, прямує до 1. Типовий гравець у симуляціях іде трохи вище, приблизно на 2–3 долари.
Стовпчики: точний шанс 1/2k. Точки: частка у 6 000 000 ігор симуляції. Вертикальна шкала логарифмічна, кожна поділка в 10 разів менша.
Внесок рядка дорівнює шансу, помноженому на виграш. Точно це $1 для кожного k. У симуляції рідкісні виграші або не трапилися зовсім (0), або трапилися раз і додали забагато.
Розрахунок простий і правильний. Парадокс у тому, що він розходиться з тим, як поводяться розсудливі люди. Ось п'ять способів подивитися, звідки ця розбіжність.
Шанс першої решки на кидку k дорівнює 1/2k, а виграш 2k. Добуток завжди $1. Перший рядок дає $2 · 1/2, другий $4 · 1/4, десятий $1024 · 1/1024. Середнє дорівнює сумі всіх рядків: 1 + 1 + 1 + … Що більше рядків, то більша сума, і межі немає.
Половина ігор дає $2, медіанний виграш теж $2. 15 ігор із 16 дають не більше $16. Нескінченність середнього живе в рядках, які майже ніколи не трапляються: шанс виграти мільйон доларів або більше дорівнює 1/524 288, тобто приблизно 2 на мільйон. Людина, яка грає один раз, слушно орієнтується на медіану, а не на середнє.
| Казино має | Середній виграш |
|---|
Якщо банк перевищує статки казино, гравець отримує лише те, що в казино є. Тоді рядки після певного моменту обрізаються, і середнє стає скінченним. Навіть казино з трильйоном доларів дає середній виграш лише близько $41: кожне тисячократне збільшення статків додає приблизно $10. Ще 1777 року Бюффон підрахував, що після 29 орлів поспіль у всьому Французькому королівстві не вистачило б грошей на виплату.
Даніель Бернуллі запропонував рахувати не долари, а користь від них: подвоєння статків завжди приносить однакову радість, тобто корисність пропорційна логарифму. У такому вимірі середня корисність гри скінченна й дорівнює корисності гарантованих $4. Якщо врахувати статки гравця, людина з $1000 розумно заплатить до $10,95, а мільйонер до $20,87. Крамер ще 1728 року дійшов схожого висновку з квадратним коренем.
Якщо зіграти n ігор, у середньому один раз трапиться виграш близько n доларів, двічі близько n/2, і так далі. Кожен рівень дає приблизно $1 на гру, а рівнів, які встигають трапитися, близько log₂ n. Тому середній виграш за гру росте як log₂ n (типовий гравець іде на 2–3 долари вище): щоб він виріс на $1, ігор треба вдвічі більше. Нескінченність досяжна лише за нескінченну кількість ігор.
Схожа пастка з математичним сподіванням є в парадоксі двох конвертів: там міркування «в середньому вигідно міняти» теж ламається на нескінченних середніх.
CE означає «гарантований еквівалент»: гарантована сума, яка для гравця така ж приваблива, як і гра. Для звичайних доларів (лінійна корисність) він нескінченний, для логарифма й кореня скінченний, бо великі виграші важать дедалі менше. Формула з банком B пояснює таблицю вище: перші L рядків дають по $1, а всі довші ігри разом приносять B, помножене на шанс до них дожити, 1/2L.
Три способи зробити нескінченність скінченною: обмежити казино, рахувати корисність замість доларів або питати не про одну гру, а про серію. Кожен результат тут перевіряє симуляція.
Обрізання працює як логарифм: середній виграш дорівнює log₂ B плюс приблизно один долар. Удесятеро більші статки казино додають лише log₂ 10 ≈ 3,3 долара. Щоб чесна ціна дійшла до $100, казино знадобилося б близько 299 доларів, а це число з 30 цифр.
Симуляція з мільйона ігор добре збігається з точною відповіддю, коли статки казино невеликі. Для мільярда й більше вона зазвичай показує менше: виграші понад 10 мільйонів трапляються рідше, ніж раз на 8 мільйонів ігор, і їхні долари просто не встигають потрапити у вибірку. Це той самий ефект, що й у раунді 3.
Для Бернуллі корисність додаткового долара обернено пропорційна тому, скільки в людини вже є. Звідси логарифм. Тоді питання «скільки заплатити» має відповідь, яка залежить від статків: для бідного гравця навіть $5 за вхід завеликий ризик, а мільйонер спокійно віддасть $20.
Слабке місце такого розв'язку: для будь-якої необмеженої функції корисності можна придумати гру, де виграші ростуть ще швидше, і парадокс повернеться. На це 1934 року вказав Карл Менгер. Наприклад, для логарифма достатньо виплачувати 2 в степені 2k доларів.
Нескінченне середнє означає ось що: за будь-якого фіксованого внеску частка гравців у плюсі з кількістю ігор прямує до 100%. Але що вищий внесок, то більше терпіння потрібно. Із внеском $10 після 1000 ігор у плюсі близько 4 гравців із 5. Із внеском $20 навіть після мільйона ігор приблизно кожен п'ятий ще в мінусі.
Вільям Феллер запропонував дивитися саме на серію: справедливий внесок за n ігор разом близько n · log₂ n доларів, тобто log₂ n за гру. За кожною точкою тут стоять кілька сотень незалежних серій, і для кожної кількості ігор симуляція рахує, яка частка серій закінчилася в плюсі.
Задачу вперше поставив Ніколай Бернуллі в листі до французького математика П'єра Ремона де Монмора від 9 вересня 1713 року. Сам Ніколай пропонував пояснення, що люди просто нехтують дуже малоймовірними подіями.
Двоюрідний брат Ніколая, Даніель Бернуллі, опублікував розв'язок через корисність грошей у «Записках» Петербурзької академії наук (Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae). Звідси й назва парадоксу. Бернуллі писав, що будь-яка розсудлива людина з радістю продала б свій шанс за двадцять дукатів. У його версії банк починався з одного дуката.
За десять років до Даніеля Бернуллі женевський математик Габріель Крамер у листі до Ніколая Бернуллі запропонував рахувати цінність грошей через квадратний корінь. Він зауважив, що математики оцінюють гроші пропорційно їхній кількості, а розсудливі люди цінують їх за те, що на них можна зробити.
Жорж-Луї Леклерк де Бюффон описав 1777 року 2048 зіграних ігор. Найдовша гра тривала 9 кидків (таких було 6), а 1061 гра закінчилася першим кидком. У наших доларах це $20 114, або близько $9,82 за гру. У Бюффона перший виграш був 1, а не 2, тому він отримав 10 057 одиниць, близько 4,9 за гру. Це один із перших статистичних експериментів в історії.
Вільям Феллер довів закон великих чисел для цієї гри в незвичній формі: сума виграшів за n ігор, поділена на n · log₂ n, прямує до 1. Тож чесний внесок за серію з n ігор близько n · log₂ n. Цікаво, що за такого внеску гравець у симуляціях виграє серію приблизно в 4 випадках із 5, тож казино навряд чи погодилося б на таку ціну.
Якщо корисність грошей дорівнює логарифму, середня корисність гри дорівнює log₂ 4 = 2. Отже, без урахування інших статків гра варта гарантованих $4. Людина зі статками $2 мала б позичити $1,35 і заплатити до $3,35, а з $1000 до $10,95.
Поділіться своїм поясненням, запереченням чи варіантом задачі. Для коментаря потрібен акаунт GitHub.
Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.
Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.