Словник / Біноміальний розподіл
Монетка чесна, тож половина орлів — це те, чого всі чекають. Рівно 50 справді випадає частіше за будь-яке інше число: частіше, ніж 49, 51 чи 60. Але чи означає «найімовірніше», що так буде зазвичай? Спершу вгадайте, потім підкиньте кілька тисяч монет.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Хтось підкидає монетку 100 разів і рахує орли. Потім ще 100 разів, і ще. У якій частці таких серій орлів буде рівно 50?
Виберіть варіант, і монетки полетять.
Кожен стовпчик — скільки серій дали саме стільки орлів. Показано від 30 до 70: за ці межі за 100 кидків виходить приблизно одна серія з 31 000.
Уявіть 101 кошик, від «0 орлів» до «100 орлів», і серії, що розкладаються по них. Кошик «50» отримує найбільше, але ненабагато: 49 і 51 випадають майже так само часто (по 7,8% проти 8,0%), трохи рідше 48 і 52, і так далі. Усі ці сусіди разом забирають решту. Найімовірніший результат лише трохи кращий за десяток своїх найближчих суперників, тому сам по собі він рідкісний.
Це пояснення простими словами, без формул. Точні числа і звідки береться саме 8% — нижче, у строгому шарі.
Що більше монет, то складніше влучити рівно в половину: варіантів стає більше, і кожен окремий стає рідшим. А от потрапити «приблизно в половину», від 40% до 60% орлів, стає дедалі легше. Рухайте повзунок кількості монет.
Точні ймовірності, не симуляція. По горизонталі частка орлів, сіра смуга — від 40% до 60%. Висоту кожного графіка підібрано під його вершину.
Обидва факти правдиві одночасно, і в цьому немає суперечності. Частка орлів дедалі щільніше тисне до половини: це закон великих чисел. Але кількість орлів розкидається дедалі ширше, приблизно на √n в обидва боки, тож улучити в одне конкретне число все важче.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Беремо n однакових спроб. Кожна вдається з тим самим шансом p, і спроби не впливають одна на одну. Рахуємо, скільки з них вдалися. Біноміальний розподіл каже, наскільки ймовірне кожне можливе число успіхів, від 0 до n. Монетка, кістка, покупець, що купив або ні, деталь, справна чи з браком, — однаково.
Найпростіше побачити на чотирьох монетках. Різних послідовностей орлів (О) і решок (Р) 2 · 2 · 2 · 2 = 16, і всі однаково ймовірні. Групуємо їх за кількістю орлів:
РРРРОРРР …ООРР …ОООР …ООООЧисла 1, 4, 6, 4, 1 — рядок трикутника Паскаля: скількома способами можна вибрати, які саме монети ляжуть орлом. Середина виграє, бо до неї веде найбільше шляхів. Але навіть тут «рівно навпіл» буває лише в 6 випадках з 16, тобто 37,5%.
P(k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k
C(n, k) — кількість способів вибрати k успішних спроб з n, pk(1 − p)n − k — імовірність кожного такого способу. Середня кількість успіхів np, стандартне відхилення √(np(1 − p)). Для 100 монет: середнє 50, відхилення 5, а P(50) = C(100, 50) / 2100 ≈ 0,0796.
1693 року англійський чиновник і автор знаменитого щоденника Семюел Піпс написав Ісааку Ньютону листа з питанням про кістки. Яка ставка має найбільший шанс?
Виберіть ставку, і кістки покотяться.
Піпс ставив на третій варіант: більше кісток — більше шансів. Ньютон відповів, що найкращий перший, і навів точні числа. Здається, що ставки однакові: в усіх трьох у середньому випадає рівно стільки шісток, скільки треба (6/6 = 1, 12/6 = 2, 18/6 = 3). Але це той самий ефект, що з монетками: «рівно середнє» з більшою кількістю кісток стає рідшим, і шанс «хоча б стільки, скільки в середньому» сповзає до половини. Для 600 кісток і щонайменше 100 шісток він уже близько 51,7%.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
P(рівно n/2 орлів) = C(n, n/2) / 2n ≈ √(2 / (πn)) ≈ 0,8 / √n
Наближення випливає з формули Стірлінга для факторіалів. Сенс простий: розкид кількості орлів дорівнює √n / 2, тож уся ймовірність розмазана приблизно по √n сусідніх числах, і на кожне з них припадає частка порядку 1/√n. Щоб шанс рівно половини впав удвічі, монет треба вчетверо більше.
| Монет n | Точно | √(2 / (πn)) |
|---|---|---|
| 10 | 24,61% | 25,23% |
| 100 | 7,959% | 7,979% |
| 1 000 | 2,523% | 2,523% |
| 10 000 | 0,7979% | 0,7979% |
Підкиньте серії монет угорі, і тут з'явиться ваш результат для 100 кидків.
Абрагам де Муавр 1733 року шукав, як швидко рахувати суми біноміальних імовірностей для великих n, бо множити гігантські факторіали вручну неможливо. Він помітив, що стовпчики біноміального розподілу з середнім np і відхиленням √(np(1 − p)) лягають на одну й ту саму гладку криву. Пізніше її назвали нормальним розподілом. Тому всі графіки повзунка вгорі при великих n виглядають як той самий дзвін, лише вужчий.
n → ∞, p → 0, np = λ: C(n, k) pk (1 − p)n − k → e−λ λk / k!
Якщо спроб дуже багато, а шанс кожної мізерний, важить лише середня кількість успіхів λ. Тисяча спроб із шансом 1/1000: жодного успіху з імовірністю 0,9991000 ≈ 0,3677, а формула Пуассона дає e−1 ≈ 0,3679. Рівно один успіх: 0,3681 проти 0,3679. Сімеон Дені Пуассон вивів цю межу 1837 року в книзі про ймовірність судових вироків. Так само рахують рідкісні події, розкидані навмання в часі, — пуассонівський потік: дзвінки в службу підтримки, аварії, розпади атомів.
Наука про те, скількома способами можна впорядкувати або вибрати речі: перестановки n!, сполучення C(n, k).
Добре перетасована колода майже напевно лежить у порядку, якого ще не бачив ніхто й ніколи.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Правило, як змінювати впевненість, коли з'являються нові докази: апріорні шанси × сила доказу.
Два слабкі докази разом бувають сильними, а один яскравий нічого не важить, якщо твердження було малоймовірним.