Словник / Експоненційне зростання
За старою легендою, винахідник шахів попросив у правителя скромну нагороду: одне зернятко на першу клітинку дошки, два на другу, чотири на третю, і так далі, щоразу вдвічі більше. Правитель засміявся з такої дрібниці. Здається, що там вийде кілька мішків. Експоненційне зростання — це коли величина щоразу множиться на те саме число, і саме його інтуїція недооцінює найсильніше.
Шар «На пальцях» приховано на всіх задачах.
Рухайте повзунок клітинка за клітинкою. Яскравість кожної клітинки показує, скільки на ній рису порівняно з поточною. Подивіться, що відбувається з попередніми клітинками, коли ви йдете далі.
З якої клітинки рису на ній одній більше, ніж:
Зернятко рису важить близько 20 мг: у кілограмі їх приблизно 50 тисяч.
На 64-й клітинці 263 ≈ 9,2 · 1018 зерен, тобто приблизно 184 мільярди тонн. Світ нині збирає за рік трохи більше ніж пів мільярда тонн очищеного рису. Отже, остання клітинка — це врожай усієї планети приблизно за 350 років. За всю історію людство стільки рису не виростило: від 1961 року, відколи ФАО веде облік, зібрано близько 33 мільярдів тонн рису-сирцю, ще в лушпинні, а раніше врожаї були значно менші.
Шар «Строго» приховано на всіх задачах.
Експоненційне зростання — це коли за однакові проміжки часу величина збільшується в однакову кількість разів, тобто на однаковий відсоток. Звичайне, лінійне зростання щоразу додає те саме число. Експоненційне щоразу множить на те саме число.
Покладіть 10 000 гривень під 10% річних і щороку залишайте відсотки на рахунку. Кожен рік сума множиться на 1,1. Скільки треба чекати, щоб вона подвоїлася?
1,1T = 2 → T = ln 2 / ln 1,1 ≈ 7,27 року
І це однаково для будь-якої суми: 10 000 стають 20 000 за 7,27 року, 20 000 стають 40 000 за наступні 7,27 року, і так далі. Сталий відсоток означає сталий час подвоєння. За 30 років вийде 10 000 · 1,130 ≈ 174 494 гривні. Якби відсотки щороку забирали, а не додавали до суми, було б лише 10 000 + 30 · 1 000 = 40 000.
Вам пропонують на вибір: щодня отримувати по 1 000 гривень або отримати 1 копійку сьогодні, 2 завтра, 4 післязавтра й так далі. Рухайте повзунок днів і перемикайте шкалу. Що таке логарифмічна шкала і чому на ній експонента стає прямою, пояснено в статті про логарифм.
Три тижні лінійна пропозиція виграє з величезним відривом: на 20-й день у неї 20 000, а в копійки 10 485,75. На 22-й день копійка вже попереду. На 30-й у неї понад 10,7 мільйона, а в тисячі щодня — лише 30 000.
Експоненційне зростання триває, поки кожен новий шматочок росте так само вільно, як перші. Бактеріям вистачає їжі, допис ще знаходить людей, які його не бачили. Але будь-який ресурс скінченний. Що більше його зайнято, то повільніше ріст, і крива з вибуху перетворюється на літеру S: спершу майже експонента, потім вигин і вихід на стелю. Таку криву називають логістичною. Небезпека в тому, що на початку S-крива й експонента однакові, і з перших даних не видно, де буде стеля.
Шар «Глибше» приховано на всіх задачах.
N(t) = N₀ · 2t/T = N₀ · ert, r = ln 2 / T, T = ln 2 / r
Це два записи тієї самої кривої. Перший рахує подвоєння: за час t їх відбувається t / T. Другий використовує основу e і швидкість росту r. Якщо за крок величина зростає на p (наприклад, 10% = 0,1), то r = ln(1 + p), а час подвоєння T = ln 2 / ln(1 + p). Звідси й «правило 70» зі статті про логарифм: для малих p маємо ln(1 + p) ≈ p, тож T ≈ 0,693 / p ≈ 70 / p%.
–
S = 1 + 2 + 4 + … + 2n−1, 2S − S = 2n − 1
Помножте суму на 2: кожен доданок зсувається на клітинку вперед. Віднявши від подвоєної суми звичайну, ви скоротите все, крім 2n і 1. Отже, на перших n клітинках разом 2n − 1 зерен, а на наступній, (n + 1)-й, — 2n, рівно на одне більше.
Для клітинки з повзунка вище: –
експонента: dN/dt = rN · логістична: dN/dt = rN (1 − N/K)
N(t) = K / (1 + (K/N₀ − 1) · e−rt)
Експонента — це ріст, швидкість якого пропорційна розміру. Логістична модель додає гальмо: множник 1 − N/K, частку ресурсу, що ще вільна. Поки N мале порівняно зі стелею K, гальмо майже не діє. Порівняйте обидві криві на прикладі допису, який щогодини подвоює кількість глядачів, починаючи з одного. Стеля — кількість людей, яким він узагалі може трапитися.
Відношення двох кривих дорівнює 1 + N₀(ert − 1)/K. Тож експонента обганяє логістичну криву на 10%, щойно сама перевищить десяту частину стелі, хоч якою б та була. До цього моменту за даними їх не розрізнити.
Число посередині: якщо всіх вишикувати за зростанням, половина буде нижче, половина вище.
До бару заходить мільйонер, і середній дохід відвідувачів злітає, а медіана ледь ворухнеться.
Сума всіх значень, поділена на їхню кількість: скільки дісталося б кожному, якби поділити порівну.
Майже кожна людина має більше ніг, ніж у середньому: середнє трохи менше за дві.
Середній результат, якого можна чекати, якщо повторювати те саме дуже багато разів.
У грального кубика сподівання 3,5, хоча такої грані немає.
Число від −1 до +1, що показує, наскільки дві величини рухаються разом.
Улітку ростуть і продаж морозива, і кількість утоплень. Морозиво тут ні до чого: обох розганяє спека.
Міра розкиду: наскільки значення в середньому відходять від середнього. Стандартне відхилення — корінь з дисперсії, у тих самих одиницях.
Два міста з однаковою середньою температурою: в одному весь рік близько +15, в іншому то −20, то +50.
Розподіл у формі дзвона: більшість значень біля середнього, а що далі від нього, то рідше.
Кожна кулька на дошці Гальтона падає навмання, а тисячі кульок щоразу складаються в той самий дзвін.
Що більше повторень, то ближче частка результату до його справжньої ймовірності.
Частка орлів підповзає до 50%, а різниця між орлами й решками в штуках зазвичай росте.
Шанс події за умови, що вже відомо щось інше.
Майже всі баскетболісти НБА високі, але майже всі високі люди не баскетболісти.
Події незалежні, якщо знання про одну не змінює шансів іншої.
Після п'яти орлів поспіль решка не стає ймовірнішою: монета нічого не пам'ятає.
Скільки разів треба помножити основу саму на себе, щоб отримати число: log₂ 8 = 3, бо 2 · 2 · 2 = 8.
Аркуш паперу, складений навпіл 42 рази, був би товщим за відстань до Місяця.
Вибірка, у яку одні потрапляють частіше за інших, тож вона погано описує всіх.
1936 року журнал опитав мільйони американців і все одно помилився з переможцем виборів.
Як часто сам лише випадок дав би розрив щонайменше такий, як у вас, якби різниці насправді не було.
Коли ефекту немає зовсім, p < 0,05 випадає так само часто, як p між 0,50 і 0,55.
Діапазон навколо виміряного числа, побудований методом, що накриває справжнє значення в обраній частці вибірок, наприклад у 95%.
Із двадцяти чесних 95% інтервалів у середньому один промахується, і жоден не знає, чи це він.
Імовірність, що тест помітить справжній ефект заданого розміру. Потужність 80% означає: один робочий ефект із п'яти тест пропустить.
Слабкий A/B-тест, який таки знайшов ефект, майже завжди його перебільшує: справжні +10% на дашборді стають +24%.
Наскільки зазвичай промахується середнє чи частка, пораховані з вибірки: σ, поділене на корінь з розміру вибірки.
Щоб удвічі зменшити похибку, треба вчетверо більше даних.
Наука про те, скількома способами можна впорядкувати або вибрати речі: перестановки n!, сполучення C(n, k).
Добре перетасована колода майже напевно лежить у порядку, якого ще не бачив ніхто й ніколи.
Сума 1 + ½ + ⅓ + ¼ + …: вона росте без меж, але неймовірно повільно.
Однакові книжки можна скласти так, що верхня нависатиме над краєм столу як завгодно далеко.
Правило, як змінювати впевненість, коли з'являються нові докази: апріорні шанси × сила доказу.
Два слабкі докази разом бувають сильними, а один яскравий нічого не важить, якщо твердження було малоймовірним.
Рух, у якому кожен наступний крок робиться навмання: вперед чи назад, ліворуч чи праворуч.
П'яний завжди дійде додому, а птах, що літає навмання, може не повернутися ніколи.
Потік незалежних випадкових подій зі сталою середньою частотою: дзвінки, клацання лічильника, краплі дощу.
У 1944 році лондонцям здавалося, що німецькі літаючі бомби влучають прицільно, а це була звичайна випадкова купчастість.