Математичні парадокси
Математичні парадокси · теорія ймовірностей

Задачі, у яких інтуїція помиляється

Відповіді на ці задачі здаються хибними навіть тоді, коли їх доведено. Тому задачі тут не лише пояснюють: у кожну можна зіграти, перевірити її тисячами симуляцій і розібрати кількома способами, від таблиці до формули.

Обрати задачу Почати з Монті Голла
  1. 1СпробуйтеЗіграйте й зафіксуйте, що підказує інтуїція.
  2. 2ПеревіртеЗапустіть тисячі експериментів у браузері.
  3. 3ЗрозумійтеОберіть пояснення, яке вам ближче.

Задачі

Кожна задача має окрему сторінку: умова, гра, симуляція, кілька пояснень і ускладнені варіанти.

Теорія ймовірностей · 3 двері

Парадокс Монті Голла

Ви на телешоу й обрали одні з трьох дверей. Ведучий, який знає, де авто, відчиняє інші двері з козою й пропонує змінити вибір. Змінювати?

Інтуїція50 / 50
Насправді2/3 за зміну

Найвідоміша задача про умовну ймовірність. Її правильну відповідь у 1990 році заперечували тисячі читачів, серед них математики з науковими ступенями.

  • сцена з фільму «21»
  • гра з трьома дверима
  • симуляція 10 000 ігор
  • п'ять пояснень
  • 20 і 100 дверей
Розібратися з парадоксом Монті Голла →
Спробуйте тут

Експоненційне зростання · 30 днів

Задача про ряску в озері

Ряска щодня подвоюється, і одна рослина вкриває озеро за 30 днів. За скільки днів упораються дві рослини?

Інтуїція15 днів
Насправді29 днів

Класична задача про експоненційне зростання і подвоєння, і пояснення, чому інтуїція тут помиляється.

  • вгадайте відповідь
  • озеро, що заростає
  • криві для 1–1 000 рослин
  • п'ять пояснень
  • бактерії в пляшці
Розібратися із задачею про ряску →
Спробуйте тут

Комбінаторика · 365 днів

Парадокс днів народження

Скільки людей має зібратися в кімнаті, щоб двоє з них, імовірно, народилися в один день?

Інтуїція≈ 183 людини
Насправді23 людини

Задача про збіги, у якій інтуїція помиляється в рази. На тій самій ідеї побудована «атака днів народження» на криптографічні хеші.

  • вгадайте відповідь
  • кімната на календарі
  • симуляція 10 000 кімнат
  • п'ять пояснень
  • PIN-коди, хеші, трійки
Розібратися з парадоксом днів народження →
Спробуйте тут

Теорема Баєса · медичні тести

Парадокс хибнопозитивного тесту

Хворобу має 1% людей. Тест точний на 99%, і ваш результат позитивний. Який шанс, що ви справді хворі?

Інтуїція99%
Насправді50%

Задача про помилку базової частоти: що насправді означає позитивний результат точного тесту, коли хвороба рідкісна.

  • вгадайте відповідь
  • тисяча людей у сітці
  • симуляція 100 000 тестів
  • п'ять пояснень
  • повторний тест, спам, шахрайство
Розібратися з хибнопозитивним тестом →
Спробуйте тут

Оптимальна зупинка · 100 кандидатів

Задача про секретаря: коли зупинитися

100 кандидатів приходять по одному, і про кожного треба вирішити одразу. Який шанс найняти найкращого?

Інтуїція≈ 1%
Насправді37%

Класична задача оптимальної зупинки: скільки кандидатів варто пропустити, перш ніж обирати, і на який шанс тоді можна розраховувати.

  • вгадайте відповідь
  • гра на 20 кандидатів
  • симуляція для будь-якої межі
  • п'ять пояснень
  • трійка найкращих і друга спроба
Розібратися із задачею про секретаря →
Спробуйте тут

Статистика · таблиця 2×2

Парадокс Сімпсона

Метод A лікує і малі, і великі камені в нирках краще за метод B. Чи може B бути кращим для всіх пацієнтів разом?

ІнтуїціяНі, A кращий
НасправдіB: 83% проти 78%

Класичний парадокс статистики на реальних даних про камені в нирках: як читати загальні відсотки і навіщо для рішень потрібна причинна схема.

  • оберіть лікування
  • редактор таблиці 2×2
  • тисячі випадкових таблиць
  • п'ять пояснень
  • бейсбол і Берклі
Розібратися з парадоксом Сімпсона →
Спробуйте тут

Умовна ймовірність · 2 дитини

Парадокс двох дітей

У сім'ї двоє дітей, і хоча б один із них хлопчик. Який шанс, що обидва хлопчики? А якщо хоча б один із них хлопчик, народжений у вівторок?

Інтуїція1/2
Насправді1/3 і 13/27

Класична задача Мартіна Гарднера про умовну ймовірність: що насправді означає «хоча б один хлопчик» і чи важить день тижня народження.

  • три фрази на вгадування
  • колода випадкових сімей
  • симуляція 100 000 сімей
  • сітка 14 × 14
  • рідкісні деталі, троє дітей
Розібратися з парадоксом двох дітей →
Спробуйте тут

Геометрична ймовірність · π

Голка Бюффона

Сірник завдовжки як ширина дошки падає на дерев'яну підлогу навмання. Як часто він перетинає шов між дошками?

Інтуїція≈ 50%
Насправді2/π ≈ 63,7%

Випадковий експеримент без жодного кола, з якого виходить число π. Один із найперших прикладів методу Монте-Карло.

  • вгадайте частку
  • підлога й сірники
  • мільйон кидків
  • звідки береться π
  • сітка, кільце, точки
Розібратися з голкою Бюффона →
Спробуйте тут

Теорія графів · середні

Парадокс дружби

У кого більше друзів: у вас чи, в середньому, у ваших друзів?

Інтуїціяпорівну
Насправдіу друзів більше

Парадокс Скотта Фелда з теорії графів: як чесно порівняти кількість своїх друзів із кількістю друзів у ваших друзів, формула E[d²]/E[d] і той самий ефект у класах, автобусах і епідеміях.

  • вгадайте частку
  • мережа з 36 людей
  • мережі з тисяч людей
  • п'ять пояснень
  • класи, автобуси, грип
Розібратися з парадоксом дружби →
Спробуйте тут

Геометрія · 40 075 км

Мотузка навколо Землі

Мотузку навколо екватора подовжили на 1 метр і рівномірно підняли. Яка щілина між нею і землею?

Інтуїціямікроскопічна
Насправді15,9 см

Задача про довжину кола: наскільки додатковий метр мотузки піднімає її над кулею, від апельсина до Сонця.

  • вгадайте щілину
  • п'ять куль у масштабі
  • графік від апельсина до Сонця
  • п'ять пояснень
  • мотузка-намет
Розібратися із задачею про мотузку →
Спробуйте тут

Перестановки · 100 коробок

100 в'язнів і 100 коробок

Кожен із 100 в'язнів може відкрити 50 коробок зі 100, щоб знайти свій номер. Усіх звільнять, лише якщо свій номер знайде кожен. Який шанс у найкращої стратегії?

Інтуїція≈ 0%
Насправді31,2%

Задача про випадкові перестановки й цикли: чи може стратегія врятувати в'язнів, які не можуть радитися під час пошуку.

  • вгадайте відповідь
  • зіграйте в'язнем
  • симуляція 10 000 тюрем
  • чотири пояснення
  • підступний наглядач
Розібратися із задачею про 100 в'язнів →
Спробуйте тут

Психологія мислення · 3 питання

М'яч і бита: тест когнітивної рефлексії

Бита й м'яч разом коштують 1,10 $. Бита на 1 долар дорожча за м'яч. Скільки коштує м'яч?

Інтуїція10 центів
Насправді5 центів

Три питання тесту Шейна Фредеріка, на які хочеться відповісти миттєво. Про Систему 1 і Систему 2 та звичку перевіряти першу думку.

  • тест на час
  • смужкова модель і цех
  • статистика сесії
  • п'ять пояснень
  • нові задачі-пастки
Розібратися з тестом когнітивної рефлексії →
Спробуйте тут

Ймовірність · 50 наліпок

Скільки наліпок потрібно, щоб зібрати альбом

В альбомі 50 місць, а наліпки в пакетиках випадкові. Скільки наліпок у середньому треба купити, щоб заповнити весь альбом?

Інтуїція≈ 70 наліпок
Насправді≈ 225 наліпок

Задача про збирача купонів: скільки пакетиків іде на повний альбом і як допомагає обмін дублікатами.

  • вгадайте відповідь
  • альбом і пакетики
  • симуляція 10 000 альбомів
  • п'ять пояснень
  • обмін і рідкісні наліпки
Розібратися із задачею про збирача купонів →
Спробуйте тут

Статистика · вміння + везіння

Регресія до середнього

Після похвали гравці грають гірше, а після критики краще. Чи означає це, що критика працює?

ІнтуїціяТак, критика діє
НасправдіТак було б і без слів

Задача про вміння, везіння і те, що насправді змінює результат після дуже вдалої чи дуже поганої гри. І навіщо медичним дослідженням контрольна група.

  • вгадайте відповідь
  • тренер і 30 гравців
  • 3 000 гравців і повзунок везіння
  • п'ять пояснень
  • ліки, обкладинки, зріст
Розібратися з регресією до середнього →
Спробуйте тут

Імовірність · логіка міркувань

Парадокс двох конвертів

В одному конверті вдвічі більше грошей, ніж в іншому. Ви взяли один. Чи варто його обміняти?

Інтуїціяміняти: +25%
Насправдібайдуже

Розрахунок «в іншому 2A або A/2, отже, 1,25A» здається бездоганним. Розбираємо, чи він правильний і що змінюється, коли ви бачите суму в конверті.

  • вгадайте відповідь
  • гра з ведучим
  • симуляція 100 000 раундів
  • п'ять пояснень
  • поріг Кавера і краватки
Розібратися з парадоксом двох конвертів →
Спробуйте тут

Ймовірність · 100 кидків

Серії в підкиданні монети

Якою буває найдовша серія однакових сторін, якщо підкинути чесну монету 100 разів?

Інтуїція3–4 кидки
Насправді≈ 7 кидків

Як насправді виглядає випадковість: серії однакових сторін, помилка гравця і «гаряча рука» в баскетболі.

  • вгадайте відповідь
  • обдуріть детектор
  • 100 000 послідовностей
  • п'ять пояснень
  • рулетка і гаряча рука
Розібратися із серіями в підкиданні монети →
Спробуйте тут

Геометрична ймовірність · хорди

Парадокс Бертрана

У колі навмання проводять хорду. Який шанс, що вона довша за сторону вписаного рівностороннього трикутника?

Інтуїціяодна відповідь
Насправді1/3 · 1/2 · 1/4

Задача Жозефа Бертрана 1889 року про геометричну ймовірність і про те, що насправді означає слово «навмання».

  • вгадайте шанс
  • проведіть хорди
  • 100 000 хорд
  • чому так
  • соломинки Джейнса
Розібратися з парадоксом Бертрана →
Спробуйте тут

Ймовірність · гра з монетою

Гра Пенні

Ви обрали трійку ООО, суперник після вас обрав РОО. Монету підкидають, доки одна з трійок не випаде поспіль. Який шанс суперника?

Інтуїція50 на 50
Насправді7/8

Гра з монетою, у якій виграє той, хто обирає другим: на будь-яку трійку є сильніша, як у грі «камінь, ножиці, папір».

  • вгадайте шанс
  • гра з комп'ютером
  • усі 56 пар
  • провідні числа Конвея
  • версія з картами
Розібратися з грою Пенні →
Спробуйте тут

Ймовірність · очікування

Парадокс автобуса

Автобус ходить у середньому раз на 10 хвилин, але без розкладу. Ви приходите на зупинку в довільний момент. Скільки в середньому чекатимете?

Інтуїція5 хвилин
Насправді10 хвилин

Парадокс інспекції: чому ви частіше потрапляєте в довгі інтервали, навіщо транспорту розклад і чому студенти бачать заняття більшими, ніж декан.

  • вгадайте очікування
  • п'ять годин автобусної лінії
  • 100 000 пасажирів
  • п'ять пояснень
  • розклад, пари автобусів, класи
Розібратися з парадоксом автобуса →
Спробуйте тут

Статистика · 4 номери

Задача про німецькі танки

Завод нумерує танки 1, 2, 3, … Вам трапилися чотири з номерами 4, 10, 15 і 60. Скільки танків випустив завод?

Інтуїція60
Насправді≈ 74 танки

Як за кількома серійними номерами оцінити все виробництво і чому такий підрахунок виявився точнішим за розвідку союзників.

  • вгадайте відповідь
  • ви проти формули
  • 100 000 вибірок
  • шість пояснень
  • історія і невідомий початок
Розібратися із задачею про танки →
Спробуйте тут

Ймовірність · монета і банк

Санкт-Петербурзький парадокс

Монету підкидають до першої решки. Банк починається з $2 і подвоюється з кожним орлом, наприкінці ви його забираєте. Скільки в середньому дає така гра?

Інтуїціякілька доларів
Насправдінескінченність

Гра з нескінченним середнім виграшем, за яку ніхто не заплатить і $100. Як її пояснювали Бернуллі, Крамер і Феллер.

  • вгадайте середнє
  • зіграйте з внеском
  • 6 мільйонів ігор
  • п'ять пояснень
  • статки казино і корисність
Розібратися із Санкт-Петербурзьким парадоксом →
Спробуйте тут

Статистика · перші цифри

Закон Бенфорда

Візьміть степені двійки 2, 4, 8, 16, … аж до 21000. Яка частка з них починається з цифри 1?

Інтуїція1/9 ≈ 11%
Насправді30,1%

Чому одиниця стоїть першою втричі частіше, ніж здається: логарифмічна шкала, складні відсотки і добутки випадкових чисел.

  • вгадайте частку
  • виростіть гроші
  • п'ять наборів чисел
  • чому так
  • друга цифра й інші основи
Розібратися із законом Бенфорда →
Спробуйте тут

Логіка · 1000 пляшок

Отруєне вино і щури

З 1000 пляшок вина одна отруєна. Отрута вбиває щура приблизно через 20 годин, а бенкет за добу, тож перевірити можна лише раз. Кожен щур може скуштувати скільки завгодно пляшок. Скільки щурів потрібно, щоб напевно знайти отруєну?

Інтуїція999
Насправді10

Задача зі співбесід, за якою стоїть групове тестування: від аналізів крові до пошуку помилок у коді.

  • вгадайте відповідь
  • зламайте стратегію
  • 100 000 отруєнь
  • код Геммінга
  • об'єднані аналізи крові
Розібратися з отруєним вином →
Спробуйте тут

Про проєкт

Це збірка інтерактивних пояснень відомих математичних парадоксів і задач із теорії ймовірностей: парадоксу Монті Голла, парадоксу днів народження та інших. Кожна сторінка поєднує умову задачі, гру, симуляцію, кілька незалежних пояснень і ускладнені варіанти.

Усе працює в браузері, без реєстрації, українською та англійською. Сайт створено разом з AI, і нові задачі з'являються поступово.

Задачі зручно використовувати й на співбесідах. Вони добре показують, як людина міркує: чи помічає хибне припущення, чи готова засумніватися в очевидній відповіді й чи вміє пояснити свою думку. Після розмови інтерактивна сторінка допоможе розібрати задачу разом.

Школярам і студентамПобачити, як працює ймовірність, а не лише вивчити формулу.
ВчителямГотові інтерактиви для уроку: гра, симуляція, пояснення.
Тим, хто проводить співбесідиДайте кандидату умову, вислухайте міркування, а потім разом перевірте відповідь грою і симуляцією.
Усім, хто сперечавсяПосилання, яке переконає співрозмовника краще за слова.
Про автора Дмитро Кудренко

Дмитро Кудренко

Співзасновник компаній

На співбесідах я люблю обговорювати логічні задачі, на які інтуїтивно хочеться відповісти неправильно, хоча в них є точне математичне рішення. Для мене ніколи не було важливо, чи правильно відповів кандидат. Важливо інше: чи може він у розмові поставити під сумнів хибне припущення, а якщо він правий, то наскільки добре пояснює свою ідею або спростовує чужу.

Якось я пояснював синові одну з найвідоміших таких задач, ту, що з фільму «21», а потім знайомим. І помітив, що кожному заходить своє пояснення, залежно від складу розуму. Так з'явилася ідея цього проєкту: візуалізувати такі задачі, давати кілька простих пояснень і ускладнювати їх для тих, хто математично допитливий.

Перші кілька задач я зробив разом з AI, щоб перевірити ідею. Але проєкт мені так сподобався, що зупинитися вже було важко, тож задач тут ставатиме більше.

Розсилка

Нові задачі, пояснення й обговорення

Я поступово додаю нові задачі, інші способи їх пояснити й розбори дискусій. Залиште email, і я напишу, коли з'явиться щось нове. Без спаму, відписатися можна в один клік.

Форма підписки з'явиться тут найближчим часом.